Коэрцитивные оценки и разделимость некоторых обыкновенных дифференциальных операторов

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию разделимости некоторых обыкновенных дифференциальных операторов и получению коэрцитивных оценок для них. В частности, в работе рассмотрен случай сингулярных коэффициентов, а также исследован случай сильного колебания потенциала.

Термин «разделимость» и фундаментальные результаты по разделимости принадлежат В. Н. Эверитту и М. Гирцу (W.N.Everitt, M. Gierz). В своих работах [1−5] они изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля.

P{y} = -y" (x) + q (x)y (x), (0.1) и его степеней.

Результаты этих работ позже были усилены в работах [6−12]. В частности в работе Бой-матова К.Х. 6], разделимость дифференциального выражения (0.1) получена без требования какой-либо гладкости на потенциал q (x). Отелбаев М [7] исследовал разделимость (0.1) в весовом пространстве Z/2,A-(-0s гДе I — открытый отрезок вещественной прямой.

Разделимость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка при различных условиях на потенциальную функцию исследовалась в работах Амановой A.A., Мурат-бекова М.Б. [13], Гриншпуна Э. З., Отелбаева М. [14] и др. авторов.

Разделимость дифференциальных выражений более высокого порядка рассматривалась в работах Абудова A.A. [15], Биргебаева А. [16], Биргебаева А., Отелбаева М. [17], Бойматова К. Х., Лизоркина П. И. [18], В. Н. Эверитта, М. Гирца [31−33], Аткинсона .B.(Atcinson F.V.) [34], Эванса В. Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А.) [35], Исхокова С. А. [39] и др. авторов.

В работах [15,36,37,40,41] рассмотрены дифференциальные операторы с матричными коэффициентами. В работе [41] допускалась нелинейность рассматриваемого дифференциального оператора за счет слабого возмущения линейного оператора. Нелинейные дифференциальные выражения рассматривались в работах [13,14,17,23,27,41,42].

В работе Гриншпуна Э. З., Отелбаева М. [14] доказано, что нелинейный оператор Штурма-Лиувилля, с положительным потенциалом всегда разделим в Ь (—со, +оо). Это показывает, что Ь (1) (I = (—оо,-Ьоо)) является «естественным» пространством в задаче о разделимости оператора Штурма-Лиувилля.

Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе Бойматова К. Х. 8]. Далее эти результаты были обобщены и развиты в работах [19−29].

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на двенадцать параграфов, а также списка литературы, включающего 50 названий. Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый их них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером параграфа, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы, утверждения или формулы в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена изучению коэрцитивных свойств и разделимости обыкновенных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами.

В первом параграфе приведены необходимые определения и обозначения, используемые в дальнейшем. В остальных четырех парагафах излагаются полученные автором результаты.

Приведем эти результаты.

Во втором параграфе в пространстве Ь^Я]) функций у (Ь) {Ь ^ Кг) с конечной нормой где 1(Ь) € С{—оо, +оо) -положительная функция, р € (1,-Ьоо), рассматривается оператор, определенный выражением с коэффициентами € ЬР, 10с{^) — Здесь и далее = -—у.

Символом обозначим пространство локально суммируемых со степенью р функций.

Через 1) обозначим пространство функций, имеющих всевозможные обобщенные производные данного порядка 2 т и суммируемые на с данной степенью р.

Будем говорить, что и{&euro-) € если для любых функций 6 С^-^Лг), функция р (Ь) ¦ и{{) принадлежит пространству.

Определение 0.1. Оператор Р, определенный равенством (0.2)называется разделимым в пространстве если для всех у (Ь) таких, что оо.

0.2) у е ь^я,) п УУ^Ш, Ру е Ы^). имеют место включения а3{1)у^{1) е Ь^Пу), [з =0,1,., 2т).

2т+.

Ру= YsM^Ktl yeW^o:Ri).

0.17).

Результат этого параграфа сформулирован в следующей теореме.

Теорема 0.4.(Теорема 5.1) Пусть выполнены условия (0.14), (0.18), (0.18'), тогда существуют числа е = е (т), к = к (т) > 0 такие, что имеют, место следующие утверждения: г) Имеет место неравенство.

2то+1.

ЧЫз]т¹<�М\Руи (0.19).

7=0 для всех у (£) е для которых конечна левая часть (0.19). Число М не зависит от у{Ь). и) Пусть, кроме того, А^ е С^(11\Еп (1Сп) и выполнены неравенства.

Тогда оператор Р разделяется в пространстве Lpj (Ri)n.

Замечание 0.2. В отличии от известных результатов [38] в нашем не требуется выполнения условия Aj{t) Еboo, ioc (-RiEnd Сп).

Во второй главе диссертации, состоящей из трех параграфов (§§ 6−8) исследуется разделимость оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом.

В пространстве Ьр{Я])1 вектор функций y (t) — (yi (t), y2(i), • • •, Ui[t)) с конечной нормой.

Aft)\.

0.20).

0.21) рассматривается дифференциальный оператор

Ly = -y" + q (t)y (t), с матричным потенциалом q (t) € ?оо,-ос (HiEndC).

Определение 0.5.Оператор L называется разделимыми в простанстве Lv из включений.

Ly е Lp (Ai)', у 6 ЬР (Й1)г П W^2iioc (?i)' всегда следует, что у", qy G LP{RX)1.

Определение 0.6. Будем говорить, что квадратная матрица q{t) порядка лежит классу если выполнены следующие условия: для всех t, т € i? i, удовлетворяющих неравенству e|t-T|-p>® < 1, где р (г) = min |&-(т)|, а г = 1,1 -собственные значения матрицы q® к.

Iarg qk (t) < тг — ?/, (Vfc = ~l, Vt G Ru 0 < v < тг).

9fe (i)| 0.

Предполагается, что функция arg z принимает значения на интервале (—7г, Результат этой главы сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 0.5.(Теорема 6.1) Д. ля произвольного р G (1,+оо) найдутся: числа 5, е. > 0. зависящие от v, c, p такие, что если q (t) G 'W^(?x), то дифференциальный оператор (0.22) разделяется е пространстве Lp (Ri)''.

Замечание 0.3. Здесь нами впервые исследована разделимость оператора L, когда условия положительной определенности и эрмитовости матрицы g (t) могут не выполнятся, причем матрица q (t) может иметь собственные значения из левой полуплоскости. Отметим, что полученный результат является новым и для случая 1 = 1, так как ранее в работах других авторов требовалось, чтобы Re q (t) > 0, Im q (t) < M Re q (i), мы же требуем только, чтобы Iarg q{t) | > и, где и — произвольное сколь угодно малое число из интервала (0.7Г).

В седьмом параграфе приведены вспомогательные леммы, используемые в дальнейшем. В восьмом параграфе приводится доказательство теоремы 0.5. Доказательство основывается на построении правого регуляризатора.

В рассмотрение вводится интегральный оператор F с ядром.

F (t, r) = 1 и ip (t) = sin{f (1 — i2)4} (-1 < t < 1)), oo a Ao (t, T) =? / e^)(s2I + q (T))-4s. —oo.

Далее доказывается, что оператор LF представим в виде LF = Е + G, где оператор G имеет явный вид, и если выбрать соответствующим образом числа е и <5, то он будет удовлетворять оценке.

Н^Имдо' - й.

13 ст' € (0,2), — < к < -. Пусть, кроме того, для любого 8 > 0 найдется число С > 0 2 2 такое, что, если 1¹, |г|2 < 5, — < 1, то гсЗе «1 € [0, /с].

Тогда оператор, А разделяется в Ь2(К) .

Полученные в диссертации результаты опубликованы в работах автора [47−50]. Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям академику АН РТ, доктору физико-математических наук Бойматову К'.Х. и доктору физико-математических наук Исхакову С. А. за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

1. Everitt W.N., Giertz. Some properties of the domains of certain differential operators.//-Proc.London.Math. Soc.(3), 1971,23, № 2, p 301−324.

2. Everitt W.N., Giertz., Some inequalities associated with certain differential operators // Mathematica 1972, Bd 126, № 4, p 308−326.

3. Everitt W.N., Giertz. Some properties of the power of a formally seff-adjoint differential expression // Proc. London Math. Soc.(3), 1972, vol 24, № 1, p 149−170.

4. Everitt W.N., Giertz. Some properties of the domains of the power of certain differential operators // Proc. London Math. Soc.(3), 1972, vol 24, № 4, p 756−768.

5. Giertz M. Report from the conference on ordinary and partial differential equations held in Dundee, March 30-Apr 2, 1976 Stockholm-Trita Mat .1976, 7.

6. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля, — Мат. заметки, 1973,14 № 3, с 349−359.

7. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля.- Мат. заметки, 1974, т 16,№ 6,с 969−980.

8. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости.-ДАН СССР, 1973, 213 № 5, с 1009—1011.

9. Отелбаев М. О гладкости решенний дифференциальных уравнений .// Изв А. Н. Каз ССР, Сер физ-мат, 1977, № 5, с 45−48.

10. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов.// ДАН СССР, 1977, 234 № 3, с 540−543.

11. Измайлов А. Л. Гладкость решений дифференциальных операторов и теоремыразделимости: Канд.дис. Алма-Ата, 1978.

12. Раимбеков Д. Ж. Гладкость решений в ?2 сингулярного уравнения.// Изв А. Н. Каз ССР. Сер физ-мат., 1974 N"3, с 78−83.

13. Аманова Т. Т., Муратбеков М. Б. Разделимость нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь{—оо,+оо) // Известия А. Н. Каз ССР, Серия физ мат, 1984, № 3, с 57−59.

14. Гриншпун Э. З., Отелбаев М. О гладкости решений нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь{—оо, +оо) // Известия А. Н. Каз ССР, Серия физ мат, 1984, № 5, с 26−29.

15. Абудов А. А О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференци-альным выражением // В сб: Спектральная теория операторов. -Баку, 1982, с 4−11.

16. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в Ьр // Известия А. Н. Каз ССР, Серия физ мат, 1984, № 5, с 26−29.

17. Биргебаев А., Отелбаев М. О разделимости нелинейного дифференциального оператора третьего порядка // Известия А. Н. Каз ССР, Серия физ мат, 1984, № 3, с 11−13.

18. Бойматов К. Х. Лизоркин П.И. Оценки роста решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, № 4, с 578−588.

19. Бойматов К. Х. О спектре эллиптического оператора: Автореферат канд.дис. М. МГУ 1974.

20. Бойматов К. Х. Асимптотика спектра оператора Шредингера с сингулярным потенциалом // УМН, 1976, т.31, № 1, с 241−242 .

21. Розенблюм Г. В. Асимптотика собственных чисел оператора Шредингера // Мат. сб, 1974, т. 93(135), № 3, с 347−367.

22. Бойматов К. Х.: Ь2 -оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальныхуравнений. // ДАН СССР, 1975, т.223,№ 3, с 521−524.

23. Бойматов К. Х., Шарипов А. Коэрцитивные свойства нелинейных операторов Шредин-гера и Дирака // ДАН России, 1992 г, 326, № 3, стр 393−398.

24. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам // ДАН СССР, 1979, т.247, № 3, с 532−536.

25. Бойматов К. Х, Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения // Труды МИАН, 1984, т.170, с 37−76.

26. Бойматов К. Х, Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка // ДАН СССР, 1988, т.301, с 1033—1036.

27. Бойматов. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка // Мат. заметки, 1989, т.46, № 6, с 110−112.

28. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для элиптических уравнений в Rn // Труды МИАН, 1983, т.161, с 195−217.

29. Ойнаров Р. О разделимости оператора Шредингера в пространстве суммируемых функций // ДАН СССР 1985, т.285, с 1062—1064.

30. Мынбаев К. Т., Отелбаев М.- Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторовМосква, Наука, 1988.

31. Everitt W.N., Gierts М., An example concerning the separation property for differential operators // Proc.Roy.Soc Edinburgh, 1973, Vol 71, p.159−165.

32. Everitt W.N., Gierts., Inequalities and separation for Schrodinger type operators in Ь-2(К") // Proc.Roy.Soc Edinburgh 1977, Vol 79, p.257−265.

33. Everitt W.N., Gierts M., A Dirichlet type results for odinary differential operators.Math.Ann., 1973, Vol 203, № 2, p 119−128.

34. Atcinson F.V. On some results Everitt and Gierts. Proc.Roy. Soc. Edinburgh A, 1973, Vol 71, p 151−158.

35. Evans W.D., Zettl A. Dirichlet and separation results for Schrodinger type operators.-Proc.Roy.Soc.Edinburgh A 1978, vol 80, p 151−162.

36. Бойматов K. X, Шарипов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциальных операторв произвольного порядка // Успехи мат. наук 1989 т.44 вып 3. с147−148.

37. Байрамоглы М., Абудов A.A. О существенной самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами // В сб: спектральная теория операторов.-Баку, 1982, с 12−20.

38. Рахимов З. Х, Оценки роста решений дифференциальных уравнений нечетного порядка // канд. дис., Душанбе, 1993.

39. Исхаков С. А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений //В сб: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей.-М.Изд-во МГУ, 1984, с 130−131.

40. Мохамед A.C. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом // Доклады А. Н. Таджикистана -1992, т.35, № 3.

41. Мохамед A.C. О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом // В сб: Тезисы Республиканской научной конференции «Теория приближения и вложения функциональных пространств «.- Караганда 1991, с 88.

42. Каримов О. Коэрцитивные свойства нелинейных дифференциальных операторов второго порядка .// Канд.дис., Душанбе, 2000 г.

43. Юсупов А. К. О разделимости обыкновенного дифференциального выражения с сингулярными коэффициентами.// Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана, 18−21 апреля 1991 г. Кургантюбе, 1991 г.

44. Левитан Б. М., Саргесян И. С.

Введение

в спектральную теорию // М., 1970.

45. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы // М., 1969.

46. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве // М. Наука. 1971.

47. Бакоева М. М, Рахимов З. Х. Коэрцитивные свойства обыкновенных дифференциальных, операторов с сингулярными коэффициентами // Докл. А.Н.Р.Т, 1996 т. XXXIX № 9−10 с 75−81.

48. Бакоева М. М. Разделимость дифференциального оператора с матричным коэффициентами //Материалы международной конференции «Диффернциальные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, Таджикистан, 17−19 ноября 1996 г), с. 20.

49. Бакоева М. М. Разделимость дифференциального оператора нечетного порядка с сингулярными коэффициентами // Материалы юбилейной научно теоретической конференции посвященной 50- летию ТГНУ, Душанбе 1998 г), с. 10.

50. Бакоева М. М. Исхоков С.А. О разделимости оператора Штурма-Лиувилля с несимметричным матричным потенциалом // Вест. Хорогского университета, 2002, серия 1, № 5. с. 43−51.