Модули стабильных пучков ранга два с классами Черна c1 = — 1, c2 = 2, c3 = 0 на проективном пространстве

Актуальность темы

.

Пространство модулей — это один из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии, который появился в связи с проблемой классификации алгебраических объектов, таких как алгебраические кривые, поверхности, многообразия, векторные расслоения и когерентные пучки. Актуальность изучения пространств модулей обусловлена приложениями в дифференциальной геометрии, топологии и теоретической физике.

Например, в калибровочной теории пространства инстантонов с зарядом п интерпретируются как подмножества многообразий модулей стабильных векторных расслоений Е ранга 2 на СР3 с классами Черна с = 0 и С2 — гь, удовлетворяющих условию Н1(£^(—2)) = 0. Проблема классификации неприводимых компонент пространств модулей пучков ранга два на 3-мериом проективном пространстве с произвольными классами Черна в настоящий время далека от завершения. Поэтому рассмотрение частных случаев является актуальным исследованием, которое может помочь в развитии средств для решения общей проблемы.

Маруяма [5] показал, что для стабильных векторных расслоений с фиксированным многочленом Гильберта над проективным алгебраическим многообразием существует грубое пространство модулей и оно алгебраично. Для поверхностей это было доказано Гизекером [15].

Геометрия пространств модулей МРз (2- сь п, 0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с — 0 или -1, С2 = п, Сз — 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 к настоящему моменту изучена только для малых п. А именно при С — 0 полная классификация всех компонент пространства Мрз (2- 0, п, 0) получена лишь для п = 1 Бартом [18] и Уивером [16] и для п = 2 Хартсхорном [19] и Ле Потье [17]. При С = —1 число п принимает только четные значения, и известно, что для любого четного п пространство модулей Мрз (2- ~1,п, 0) непусто и содержит компоненту Мрз (—1,п), которая является замыканием открытого множества Мрз (—1,п) локально свободных пучков. Р. Хартсхорн и И. Сольс [9] показали, что пространство модулей Мрз (—1,2) стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с — —1, с^ = 2 на Р3 является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. Х. Мезегер, И. Сольс и С. А. Стрёмме [10] описали замыкание Мрз (—1,2) многообразия МРз (—1,2) в схеме Мрз (2- —1,2,0).

Цель работы.

Целью диссертационной работы является классификация всех неприводимых компонент схемы модулей Мрв (2- —1,2,0).

Основные методы исследования.

В работе используется техника универсальных семейств, конструкция Серра и техника СЗио1>схем для описания множеств стабильных пучков с классами Черна с = —1, С2 = 2 и сз = 0 на 1Р3.

Научная новизна.

В работе впервые описаны все неприводимые компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С = — 1, сг = 2 и сз = 0 на трехмерном проективном пространстве.

Р3.

Теоретическая и практическая значимость.

Настоящая работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения схем модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на Р3.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского в 2007, 2009 годах, на всероссийских школ ах-конференциях по алгебраической геометрии и комплексному анализу в 2008 и 2009 годах, на конференции «Чтения Ушинского» (Ярославль, 2004, 2006, 2009, 2010), на международных конференциях «Колмогоровские Чтения — УДЧН» (Ярославль, 2007, 2010).

Публикации автора.

Результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Они указаны в списке литературы в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В первой главе имеется 4 параграфа, первый из которых имеет два пункта, во второй главе — 4 параграфа: первый, третий и четвертый параграфы имеют 2 пункта.

Список литературы

состоит из 23 наименований. Общий объем диссертации — 86 страниц.

1. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves. Math. Ann. 254, 1980, 121−176.

2. К. О конек, M. ШнеЙдер, X. Шпиндлер. Векторные расслоения на комлексных проективных пространствах. М. Мир, 1984.

3. D. Huyberchts, М. Lehn. The Geometry of moduli spaces of sheaves. A Publication of the Max-Planck-Institut fur Matematik, Bonn, 1997.

4. Chang M.-C. Stable rank 2 reflexive sheaves on IP3 with small Cn and applications. Trans. Amer. Math. Soc. 284, 1984, no. 1, 57−89.

5. Maruyama M. Moduli of stable sheaves II. J. Math. Kyoto Univ. 18, 1978, 557−614.

6. Stromme S.-A. Ample Divisors on Fine Moduli Spaces on Projective Plane. Math. Z. 187, 1984, 405−423.

7. G. Ellingstrud, M. Lehn. Irreducibility of Punctual Quotient Scheme of a Sufaces. arXiv: alg-geom/9 704 016, 1, 1997.

8. P. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. Мир. Москва. 1981.

9. Hartshorne R. Sols I. Stable rank 2 vector bundles on P3 with C — -l, c2 = 2 (English). // J. Reine Angew. Math. 325, 145−152 (1981).

10. Meseguer J., Sols I., Stromme S. A. Compactification of a family of vector bundles on P3 (English). 18th Scand. Congr. Math., Proc., Aarhus 1980, Prog. Math. 11, 474−494 (1981).

11. A. Grothendieck. EGA. Ch. III, Publ. Math I.H.E.S. 17, 1963.

12. Д. Мамфорд. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. Мир. Москва. 1968.

13. С. Banica, M. Putinar, G. Schumacher. Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer Raume. Math. Ann. 250, 1980, 135−155.

14. H. Lange. Universal families of extentions. Journal of algebra 83, 1983, 101−112.

15. Gieseker D. On the moduli of vector bundles on an algebraic surface. -Ann. of Math., 1977, v. 106, p.45−60.

16. Wever G.P. The moduli of a class of rank 2 vector bundles on projective 3-space. Thesis, Univ. Calif. Berkley, 1977.

17. J. Le Potier. Systemes coherents et structures de nuveau. Asterisque, 1993.

18. W. Barth Some properties of stable rank 2 vector bundles on F71 Mathematische Annalen v.226, pp. 125−150.

19. Hartshorne R. Stable Vector Bundles of Rank 2 on Vs.- Mathematische Annalen v.238, pp. 229−280.Публикации по теме диссертации.

20. M. А. Заводчиков. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с = — 1, Со = 2, Сз — 0 на трехменом проективном пространстве. I Ярославский педагогический вестник. 2011, № 3, том 3(естественные науки).

21. М. А. Заводчиков. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с = — 1, с2 = 2, сз — 0 на трехменом проективном пространстве. П Ярославский педагогический вестник. 2011, № 4, том 3(естественные науки).

22. М. А. Заводчиков. Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с — — 1, С2 = 2, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Ярославский педагогический вестник. 2012, № 1, том 3(естественные науки).

23. М. А. Заводчиков. Новые компоненты схемы модулей Мрз (2- —1,2,0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерном проективном пространстве Р3 МАИС. 2012, № 2, стр 5−17.