О средних значениях арифметических функций

Основным предметом исследований, составляющих содержание настоящей диссертации, является многомерная проблема делителей Дирихле.

Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, распространенных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей Тк (п) называется количество представлений натурального п в виде п = х. х^ где — натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.

Следует сказать, что начиная с классической работы Л. Дирихле 1849 г. [21], посвященной выводу асимптотической формулы для количества целых точек под гиперболой, проблема делителей Дирихле остается одной из центральных задач аналитической теории чисел.

Современная постановка проблемы делителей включает в себя много различных аспектов, наиболее важным из которых является задача получения новых оценок остаточного члена в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей вида.

Здесь предполагается, что х сю, и функция Рк~{у) представляет собой некоторый многочлен с вещественными коэффициентами степени к — 1 от аргумента у — lux.

Верхней оценкой остатка при различных значениях величины к занимались многие известные математики. Кроме упомянутой выше работы JI. Дирихле 1849 г., в которой получена оценка вида можно указать на работы Г. Ф. Вороного [6], Е. Ландау [22], Г. Харди и Ж. Литтвуда [23], Ж. ван дер Корпута [24], К. Тонга [25], А. Вальфиша.

А2(Ж).

26], Ф. Аткинсона [27], Т. Чи Джан Тао [25], Х.-Е. Рихерта [29], Чен Джин Рана [13], А. А. Карацубы [14], Г. А. Колесника [15], а также на работы А. Ивича [16] и А. Ивича и М. Квелета [5]. Отдельно отметим результаты, полученные Е. Е. Баядиловым в работах [8], [12], [19], [35] и [36], некоторые из которых улучшаются в данной диссертации.

Подчеркнем, однако, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент еще далеки от окончательного решения проблемы, которая предполагает получение оценки типа.

Ак (х) .

2 2 для любого е > 0 соответствующей ?1 — теореме Г. Харди [38] для величины Д/с (ж), утверждающей, что верхняя оценка типа.

Ак (х) .

2 2 к с уже не имеет место.

Заметим также, что к проблеме делителей относят еще целый класс задач, состоящий в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функции тк (п), когда п пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции тк ([пс]), рассмотренную А. Закзаком [33], X. М. Солибой [18], Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым [32].

В исследованиях по верхним оценкам остатка Ак (х) используется стандартное обозначение показателя апонимаемое как наименьшее вещественное число, обладающее свойством, что при х ->¦ сю справедлива оценка вида.

Ак{х) «е хак+£.

Приведенная выше нижняя оценка Г. Харди для остатка Ак (х) показывает,.

1 1.

В этих обозначениях проблема верхней оценки остатка в проблеме делителей Дирихле сводится к нахождению более точных верхних границ для величины ак.

Современные оценки величины ак, приведенные в работе [5], имеют следующий вид.

— 4 ", п 35 41 7 при 4 < А- < 8, а9 < —, «ю < —, аи ^ —, к — 2 к — 1 «к < т—т: при 12 О < 25, < —— при 26 < к < 50, к + I к + 4.

31Л- - 98 Г1 ^ 7 / г&bdquo- 7к — 34.

А < —при 51 < к ^ 57, ак ^ ——— при /г ^ 58.

С другой стороны, в предположении справедливости оценки, а + И) С 1п* * в этой работе доказано, что ак Цак)~*.

Здесь, а > 0 — некоторая постоянная, значение которой последовательно улучшается. Последние оценки для параметра, а дают значения, а ^ 15.21, полученное Е. Е. Баядиловым [12] и, а — 4.45, полученное К. Фордом [17].

Что же касается числа к, которое характеризует размерность функции делителей Тк (п), то хотя формально можно считать, что к принимает все натуральные значения, но фактически применение этой оценки целесообразно только при достаточно больших значениях к, например к > 50, ввиду того, что существующие оценки параметра, а еще не достаточно хороши.

Остановимся на истории получения последней оценки для с^. Ясно, что при растущих к она принципиально точнее, чем оценка типа, с0 Р где со — любая фиксированная постоянная.

В 1960 г. Х.-Е. Рихерт доказал [9], что имеет место оценка вида ак ^ 1 — ск~*, причем числовое значение константы с не было указано.

В 1971 г. А. А. Карацуба [34] установил справедливость этой оценки при с — с0а^, где со = 2″ ^ «0.31 498.

А. Фуджи в работе [31] анонсировал оценку того же типа со значением с0 = 2−5(^8 — 1)-*" 0.57 826, но полного доказательства в этой работе приведено не было.

Упомянутый выше результат А. Ивича и М. Квелета соответствует значению.

1 2 с0 = -23 «0.52 913. о.

Наконец, в 2001 г. Е. Е. Баядилов в работе [12] получил оценку вида.

2 — X -1 которая означает, что при любом 5 > 0 для всех к ^ к (6), где Н (5) > 0 — некоторая функция, зависящая от.

В первом параграфе третьей главы нами доказана теорема.

Теорема 3.1. Пусть п, к — натуральные числа, к ^ 186, Тк (п) — количество представлений п в виде произведения к натуральных сомножителей. Пусть, далее,.

П^Х XI. X к^Х.

Предположим также, что для дзета — функции Римана в области Не (в) = а > 0.9, /т (й) =? > 1 выполняется неравенство, а 6 [1,20].

Тогда при х —>¦ сю и любом г > 0 справедлива асимптотическая формула.

Ок{х) = хРк^{1пх) + Ак{х), Ак (х) <е хак+£, 2 где ак = 1 —, к = 79.95- а многочлен Рк~ 1(1пж) определен ранее.

Из этой теоремы следует справедливость оценки 2 ак ^ 1 — с0(ак)~з 2 со значением со = (|)3 ~ 0.763 143. Данное значение сд является улучшением не только результата А. Ивича и М. Квелета, но и анонсированных результатов А. Фуджи и Е. И. Пантелеевой [30] вида.

Доказательство данной теоремы опирается на новые оценки моментов дзета — функции Римана, составляющие содержание второй главы. Основным методом исследования являются теоремы о новых оценках абсциссы и экспоненты Карлсона. Нам потребовалось получить обобщение известной теоремы Карлсона об оценке абсциссы Карлсона с целых значений к на случай произвольных вещественных значений к. Более точно, в первом параграфе второй главы доказана следующая теорема.

Теорема 2.1.3. Пусть к — любое вещественное число, к > 0 и оь — нижняя грань чисел а, таких, что для любого е > 0 выполняется с0 = к 0.62 996. оценка Т 1.

Пусть также при некотором а, где 1 ^ а ^ 20 и всех? ^ 1 и, а? 1) выполняется оценка.

Тогда для любого, а? 1) справедливо неравенство.

Во втором параграфе второй главы с помощью данной теоремы для абсциссы Карлсона ак получена новая оценка вида.

Эта оценка улучшает результат работы Г. И. Архипова, Е. Е. Баядилова и В. Н. Чубарикова [1].

В следующем параграфе второй главы получено новое значение для экспоненты Карлсона т (ст). Данная оценка содержится в следующей теореме.

Оценка данной теоремы улучшает результат работы Г. И. Архипова, Е. Е. Баядилова и В. Н. Чубарикова [1] при к ^ 93, а также является улучшением оценки А. Ивича и М. Квелета [5].

Второй параграф третьей главы посвящен еще одному направлению исследований в проблеме делителей Дирихле, состоящему в оценке порядка среднеквадратичного отклонения Як (х) для величины Ас (ж) от главного члена ее асимптотической формулы, то есть среднеквадратичное отклонение остатка Ак (х).

В этой тематике в качестве стандартного обозначения определяется величина /Зк, которая обозначает точную нижнюю грань чисел /5 > 0 таких, что при х чоо справедливо неравенство 1.

История оценок величины (Зк начинается с работы Е. Титчмарша [11], который установил связь между значением (Зк и сходимостью интеграла при к ^ 45.

Теорема 2.3. При и > с — 1 — ^ справедлива следующая оценка для экспоненты Карлсона ш (сг)^-з + где = 79.95.

За (1 — а) 2 X.

00 в некоторой полуокрестности точки, а = 1.

В уже упоминавшейся работе А. Ивича и М. Квелета [5] получены следующие оценки величины.

35 ^ 0.45 625, /37 < 0.55 469, /38 < 0.60 167, < 0.63 809, Ао < 0.66 717, а если, а + И) С^-^Ы)2.

Рк < 1 — 1(ак)~1.

Последняя оценка величины ¡-Зк при к ^ 93 улучшена нами во втором параграфе третьей главы. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 3.2. При к ^ 93 и к = 79.95 выполняется следующая оценка где кз — к — к, а = 4.45 иЬ = 2.5.

Сравнение результата этой теоремы с последней приведенной оценкой А. Ивича и М. Квелета показывает, что константа | = 0.666. улучшена нами до значения 3 «0.885 549.

В третьем параграфе третьей главы рассматривается еще один аспект в многомерной проблеме делителей, связанный с нахождением средних значений специального типа для функции делителей Тк (п). Имеются в виду средние Рисса для арифметических функций. При каждом фиксированном значении, а ^ 0 средние Рисса порядка, а для последовательности /(п) при х оо определяются по формуле.

Ф (*) = Ф (а,/, а) = ]Г/(гО (1—Г Ж / п^х.

Асимптотические формулы для средних Рисса от арифметических функций при натуральных значениях, а являются одновременно инструментом з.

ТО и объектом изучения при решении различных проблем теории чисел. В случае, а = 0 среднее Рисса представляет собой обычную сумматорную функцию для данной арифметической последовательности.

Нами получена асимптотическая формула для средних Рисса от многомерной функции делителей г^(п) при произвольном значении а.

Доказана следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть, а > 0 — произвольное вещественное число. Тогда имеет место асимптотическая формула г / 71а.

Dk (x, а) — ч (п) (1 — -J = а) + °0> где А (х, а) = хНк-1(Inж, а), причем Hk~i (y, а) — многочлен с вещественными коэффициентами степени k — 1 от аргумента у — In х, такой, что Hk~(y, 0) = Pk-(y), Afe (aJ, а) <е xx<" k^+?, где е > 0 — сколь угодно малое и величина х (к, а) удовлетворяет условию где d = к2 = к- 2кь к ^ 186, h = 79.95.

Эта теорема улучшает аналогичный результат Е. Е. Баядилова [12], отвечающий значению, а = 1.

Доказательство последней теоремы проводится с помощью методов, использованных в предыдущих двух параграфах. Кроме того, оно опирается на результаты первой главы, в которой нами получена новая формула обращения, позволяющая при каждом, а > 0 выразить среднее Рисса Ф (ж, /, а) через контурный интеграл с остаточным членом, который при, а = 0 совпадает в точности с известной формулой Перрона для сумматорной функции от арифметической последовательности.

Основная теорема первой главы имеет вид.

Теорема 1.2. Пусть функция h (s) комплексного переменного s = a+it представляется рядом Дирихле вида.

00 п=1 который сходится абсолютно при Яе (в) = а > 1. Далее, пусть А{п) — монотонно возрастающая функция отп и ап ^ А (п) при всех п. Пусть, также, (3 > 0, <5 > 0 и при, а -> 1+ выполняется асимптотическая оценка оо п= 1.

Тогда при всех + любом х вида х = N + где — натуральное число, и Т ^ 2 справедливо равенство.

Ь+гТ л / ТТЛа 1 С.

0 Г ^ + о.

Далее остановимся кратко на структуре диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации изложен на 68 страницах.

Список литературы

содержит 43 наименования.

1. Архипов Г. И., Ваядилов Е. Е., Чубариков В. Н. Об абсциссе и экспоненте Карлсона в проблеме моментов дзета — функции, Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. № 1 (2004) 42−45.

2. Титчмарш Е. К. Теория дзета функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

3. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

4. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета функция Римана. М.: Физ-матлит, 1994.

5. Ivic А., Quellet М. Some new estimates in the Dirichlet divisor problem., Acta Arithmetica 52№(1989), 241−253.

6. Вороной Г. Ф. Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques, Fur die reine und angewandte math. 126 (1903), 241−282.

7. Ivic A. Riemann Zeta function, Wiley, New — York, M, 1985.

8. Ваядилов E. E. О проблеме далителей для значений тернарной кубической формы, Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. № 5 (2001) 29−32.

9. Richert Н. Е. Einfuhrung in die Theorie der starken Rieszchen Summierbarkeit von Dirichletreihen, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen (Math. Physik) (1960), 17−75.

10. Arkhipov G. I, Buriev K. Refinement of an estimate for the Riemann zeta function a neighbourhood of the line Re s = 1, Integral Transforms and Spesial Functions. 1 (1993), 1−7.

11. Titchmarsh E. C. On the remainder in the formula for N (T), the number of zeros of ((s) in the strip 0 < t < T, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 27 (1928), 449−458.

12. Ваядилов E. E. О среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы, Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. наук, (2002).

13. Chen Jing-run On the divisor problem for? з (п), Sei. Sinica 14 (1965), 19−29.

14. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле, Изв. АН СССР. Сер. матем. 36 № 3 (1972), 475−483.

15. Колесник Г. А. Улучшение остаточного члена в проблеме делителей, Матем. заметки 2 (1969), 117−128.

16. Ivic A. Some recent results on the Riemann zeta function, Proc. of the Intern. Number Theory Conf. (1989).

17. Ford K. Vinogradov’s integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), 565−633.

18. Солиба X. M. О среднем значении тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натуральных чисел, Материалы Междун. Конф. по анал. теории чисел, Москва, МГУ, (1997). 30.

19. Балдилов Е. Е. Об оценках дзета функции Римана на критической прямой, тезисы Межд. конф. «Совр. состояние и перспективы развития матем. в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии (Алматы, 26−28 окт. 2000), (2000), 30.

20. Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. Ч. 2. М.- Л.: ГТТИ, 1934.

21. Dirichlet L. Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie, Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49−66). (1849), 69−83.

22. Landau E. Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen, Gottingen Nachrichten (1912), 687−771.

23. Hardy G. H., Littlewood J. E. The approximate functional equation in the theory of the zeta function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz, Proc. London Math. Soc. (2) (1922), 39−74.

24. Corput J. G. van der Verscharfung der Abschatzungen beim Teilerproblem, Math. Ann. 87 (1922), 39−65.

25. Tony К. C. On diviser problems, Acta Math. Sinica 2 (1952), 258−266.

26. Walfisz A. Uber zwei Gitterpunktprobleme, math, annalen 95 (1926), 6983.

27. Atkinson F. A. A divisor problem, Quarterly Joun. Math. (Oxford) 12 (1941), 193−200.

28. Chih T. T. The Dirichlet divisor problems, Science report of Tsing Hua Univ. (1950), 402−427.

29. Richert H. KVersharfung der Abscharzung beim Diriehietschen Teilerproblem, Math. Z. 58 (1953), 204−218.

30. Пантелеева E. И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях, Матем. заметки 44 № 4 (1988), 494−505.

31. Fujii A. On the problem of divisors, Acta aritnm. 31 M (1976), 355−360.

32. Архипов Г. ИЧубариков В. Н. О распределении простых в последовательности вида п% Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем. Мех. № 6 (1999), 25−35.

33. Закзак А. Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях, Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. наук, (1993), 1−80.

34. Карацуба А. А. Оценки тригонометрических сумм И. М. Виноградова и их применения, Труды МИАН СССР 112 (1971), 245−255.

35. Баядилов Е. Е. Об оценках дзета функции Римана в окрестности прямой Re (s) = 1, Интегральные преобразования и специальные функции. Информ. бюллетень 2 (2001), 42−49.

36. Баядилов Е. Е. О среднем значении функции делителей Дирихле на значениях тернарной кубической формы, IV Межд. конф. «Совр. пробл. теории чисел и ее прилож.», тезисы докладов, Тула (2001), 20.

37. Титчмарш Е. К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

38. Hardy G. H. On Dirichlet’s divisor problem, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 15, (1915), 1−25.

39. Колпакова 0. В. О теореме Карлсона для нецелых степеней дзета функции Римана, Тезисы докладов V Междун. Конф. «Алг. и теор. чис.: совр, пробл. и прилож.» (Тула, 19−20 мая 2003) (2003), 138.

40. Колпакова 0. В. О средних Рисса для обобщения функции делителей, Тезисы докладов VI Междун. Конф. «Алг. и теор. чис.: совр. пробл. и прилож.» (Саратов, 13−17 сент. 2004) (2004), 72.

41. Колпакова 0. В. Об одном аналоге формулы Перрона, Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Мех. (2003) № 1, 23−25.

42. Колпакова О. В. Об оценках абсциссы Карлсона для нецелых показателей степени осреднения, Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Матем. Мех. (2006). № 6, 45−48.

43. Колпакова 0. В. Об одном обобщении формулы Перрона, Тезисы докладов IV Междун. Конф. «Совр. пробл. теор. чис. и ее прилож.» (Тула, 10−15 сент. 2001) (2001), 69−70.