Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [13], [42−4б] и [49]. В [42], [43] исследованы отображения полиномов классов и с помощью полиномиальных нижнетреугольных матриц, идея и постановка основных задач принадлежит В. А. Какичеву. В § 3 это исследование получило дальнейшее развитие. В статье [*1з] сформулированы результаты дипломной работы автора. Задачи работы [4б] также поставлены В. А. Какичевым, а доказательство принадлежит диссертанту. В статье ?49] автором осуществлено сведение задачи о базисности полиномов из Л и примитивных функций к двумерной краевой задаче Римана. Решение краевой задачи и окончательная формулировка теоремы принадлежит В. А. Какичеву.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах в Ростовском госуниверситете (1977, рук. проф. B.C.Рогожин, 1982, рук. проф. Ю. Ф. Коробейник, 1984, рук. доц. В.П.Захарюта), в Московском госуниверситете (1977, рук. проф. Ю.А.Казьмин), в Черновицком госуниверситете (1982, рук. доц. Н.И.Нагнибида), в Ленинградском госпединституте (1982, рук. проф. В.С.Веденский), на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и уравнениям матем. физики (г.Ленинград, 1982, рук. проф. Н.М.Матвеев), в институте математики и механики АН АзССР (рук.академик АН АзССР И. И. Ибрагимов, 1983), в Одесском отделении института экономики АН УССР (1984, рук. проф. Г. С.Литвинчук), на 1У конференции математиков Белоруссии (г. Минск, 1975), на Ш конференции «Комплексный анализ и его приложения» (Черноголовка, 1983), на конференции «Герценовские чтения» (г. Ленинград, 1983), на УШ научно-технической конференции факультета математических знаний Куйбышевского политехнического института (1983), в УШ школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Рига, 1983), а также на семинарах научного руководителя доцента В. А. Какичева (г.Таганрог, I98I-I983 г. г.).
Автор приносит свою искреннюю благодарность В. А. Какичеву за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе, чтение рукописи диссертации, И. И. Ибрагимову, Ю. Ф. Коробейнику, Ю. А. Казьмину, Г. С .Лит винчуку, Н. М. Мат вее ву, Н. И. Нагнибиде, В. С. Веденскому, В. Б. Ожегову, В. П. Подпорину, А. В. Братищеву за полезные советы и замечания.
Глава 2.
ОТОБРАЖЕНИЯ КЛАССОВ ПОЛИНОМОВ.
§ 3. Матричные отображения.
3.1. Постоянные матрицы.
Через будем обозначать оператор с нижнетреугольной матрицей «к «где — постоянные. Следовательно, функции ш) у введенные формулой (1.2), не зависят от?, а производящая функция последовательности Ц-Т^р согласно (1.4) такова: ^ к=о.
3.1.1. Отображение мз в м$ .
Найдем матрицу оператора, отображающего р= ]¦ в ~ { В, Ь}. Приравнивая коэффициенты при 2*" «в равенстве к Й) Х Ш = 5(Ш) Ф[лк (иг)], получим систевд^ бесконечного числа уравнений.
3.1).
РктТк к-т' m=0>i, 2 ,., относительно неизвестных Тк (иг), ,.
Систему (3.1) можно записать в виде матричного уравнения так.
Ф-Т (= й (иг)-М-О (их), (3.2) где.
— вектор-столбцы, XI = { /- бесконечная диагональная матрица, а Ф" { рпк < оо — верхнетреугольная матрица, составленная из коэффициентов полиномов последовательности см. (0.3), (0.4)).
Из (0.4) видно, что все элементы главной диагонали матрицы ф отличны от нуля и поэтому Ф имеет единственную обратную матрицу IP. Согласно [7] (Р — также верхнетреугольная матрица, образованная элементами последовательности|ЛИК порожденной равенствами (0.6). Решая матричное уравнение (3.2), найдем, что Ты* В (ur)-9-JU-Q (w) и, значит,.
2,.. (з.з).
Тп.
Утверждение 3.1. Существует единственный оператор, отображающий заданную последовательность р=в заданную последовательность Cj =¦ { Й, h { - элементы inh, соответствующей ему матрицы Т порождены функциями (3.3).
Если р и Cj — последовательности одного класса {*, • }, то, как легко видеть, функции имеют особенно простой вид.
Тк * d (lV)pK (w), ., (3.4) где сl (0)*û-, р (0)*0, р'(0)Ф0.
Заметим, что результаты Брауна и Голдберга [il] представляют собой частный случай утверждения 3.1 для последовательностей из класса Sk.
Легко показать, что оператор, у которого элементы in и «< о®j соответствующей ему матрицы Т порочены функциями (3.4), отображает любой класс ' } на себя, при этом последовательность { Л, Ш, J указанный оператор отображает на последовательность Cj —, } .
Очевидно, для произвольной пары р и Cj аппелеподобных последовательностей соотношение (3.4) не имеет место. Например, для р=.
ФУ^Ч1"* Ti Си/) таковы:
— 39 -/ ^.
Сформулированные результаты позволяют легко строить матрицы операторов Тс, отображающих известные полиномиальные проследовательно сти друг в друга (см. например, таблицу 2, в которой через Ак (иУ) обозначены степенные ряды.
А Ул &bdquo-Л- 2ми-]^^.
Птгк {п/ и ®-К «и/ ' где уЦ — произвольное вещественное число).
1. Ожегов В. Б. О некоторых экстремальных свойствах обобщенных полиномов Алпеля.-Докл. АН СССР. 1964, т.159, № 5,с.985−987.
2. Какичев В. А., Деревянченко Г. Д. Определение и некоторые формальные свойства аппелеподобных полиномов двух переменных. В сб: Матем. анализ и теория функций, М, МОПИ. 1973, № 2, с. 146−158.
3. Висков О. В. Операторная характеризация обобщенных полиномов Аппеля. Докл. АН CCGP. 1975, т.225, № 4, с. 749−752.
4. Хапланов М. Г. Линейные преобразования аналитических пространств Докл. АН СССР. 1951, т. 80, № I, с. 21−24.
5. Хапланов М. Г. Матричный признак базиса в пространстве аналитических функций. Докл. АН СССР. 1951, т. 80, № 2, с. 177−180.
6. Литвинчук Г. С., Хапланов М. Г. О базисах и полных системах в пространстве аналитических функций двух переменных. Успехи матем. наук. 1957, т. 4 (76), № 12, с. 319−325.
7. Литвинчук Г. С. О некоторых базисах в пространстве аналитических функций двух переменных. Научные доклады высшей школы, физ.-мат. науки. 1959, № 2, с. 49−55.
8. Казьмин Ю. А. О полиномах Аппеля. Матем. заметки. 1969, т. 6, № 2,. с. I6I-I72.
9. Коробейник Ю. Ф. Составные операторные уравнения в обобщенных производных и их приложения к последовательностям Аппеля. -Матем. сборник. 1977, т. 102,. № 4,л. 445 498. 132.
10. Линчук С. С., Нагнибцца Н. И. О квазистепенных базисах в аналитических пространствах. Сиб.матем.журн. 1974, т. 15, № 3, с.555−561.
11. Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М: Наука, 1971. — 520 с.
12. Казьмин Ю. А. Сингулярные точки и разложения Аппеля. Math & ticci. 1970, т. 12, № I, с. 78−85.
13. Казьмин Ю. А. О разложении в ряды по полиномам Аппеля. Матем. заметки. 1969, т. 5, № 5, с. 509−520.
14. Казьмин Ю. А. О базисе из последовательных примитивных. -Матем. заметки. 1968, т. 3, с. 237−246.
15. Ибрагимов И. И., Нагнибида Н. И. Матричный метод и квазистепенные базисы в пространстве аналитических в круге функций. Успехи матем. наук. 1975, т. 30, № 6, с. 101−146.
16. Нагнибида M.I. Ще раз про многочлены Аппеля, Матер'|али Ювлей.конферен.молодих науковц}в Буковини з проблем, природ, наук. Черновцы. 1970.
17. Нагнибида Н. И. К вопросу о баэисности полиномов Аппеля в пространстве аналитических функций.-Тезисы докл. УП Всесоюзной конферен. по теории функций комплекс, перем. Харьков, 1971, с.155−157.
18. Коробейник Ю. Ф. Исследование дифференциальных уравнений бесконечного порядка с полиномиальными коэффициентами с помощью операторных уравнений интегрального типа.-Матем.сборник. 1959, т. 49 (91), № 2, с. 195−206.
19. Коробейник Ю. Ф. Об аналитических решениях уравнения бесконечного порядка с многочленными коэффициентами. Известия ВУЗов, сер.математика. 1959, т.10, № 3, с. 130−146.
20. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе дифференциальных уравнений бесконечного порядка с переменными коэффициентами.- Известия вузов, математика. 1962, т. 29, № 4, с. 73−80.
21. Коробейник Ю. Ф. Некоторые применения теории нормально разрешимых операторов к дифференциальным уравнениям бесконечного порядка. ?ví-á-TeM.сборник. 1967, т. 72(114), № I, с. 3−37.
22. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных.- Лит.матем.сб. 1967, т. 4, № 4, с. 497 515.
23. Коробейник Ю. Ф., Донсков Ю. М. Аналитические решения уравнений Эйлера бесконечного порядка.- Известия вузов, математика. 1969, т.90, № II, с. 44−52.
24. Гече Ф. Н., Курей А. И. 0 целых решениях линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка в частных производных.- Известия АН Арм.ССР. 1973, т. 8, № 2, с. 123−143.
25. Моржаков В. В., Решение дифференциального уравнения бесконечного порядка в классе экспоненциальных функций нескольких комплексных переменных.- в сб: Физико-матем. исслед. Ростов н/Д, РГУ, 1972, с. 85−90.
26. Моржаков В. В. 0 целых решениях дифференциальных уравнений бесконечного порядка с полиномиальными коэффициентами.- Известия СКНЦ ВШ, сер.естест.наук. 1973, № 4, с. 65−70.
27. Брайчев Г. Г. 0 разрешимости уравнений в частных производных бесконечного порядка в некоторых классах целых функций.-Матем.заметки. 1976, т. 9, № 2, с. 225−235.
28. BuckhuuJ ЗЛ). appdt polynomials and dtffe.-гепйat equations of infinite otdet. fians. Атег. Math. Soc. 1973, v.185, № II, p. 463−476.-134.
29. Какичев В. А., Сторчевая Г. Д. Отображение последовательностей аппелеподобных полиномов с помощью оператора свертки. В сб.: Актуальные вопросы матем. анализа. Ростов н/Д, 1978, с. 84−91.
30. Сторчевая Г. Д. Отображения некоторых классов последовательностей полиномов с помощью полиномиальных треугольных матриц. -Ростов н/Д, 1979. 28 е.- Рукопись представлена Ростовским госуниверситетом. Деп. в ВИНИТИ 8 июня 1979, № 2075;79.
31. Сторчевая Г. Д. Отображение классов обобщенных полиномов Аппеля с помощью операторов обобщенного дифференцирования.- В сб.: Диф. уравнения (качественная теория). Рязань, РГПИ, 1980, с.138−149.
32. Сторчевая Г. Д. Отображение аппелеподобных полиномов с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.- Известия вузов, математика. 1982, т. 241, № 6,с. 57−59.
33. Деревянченко Г. Д., Какичев В. А. О разложении целых функций двух переменных по аппелеподобным полиномам.- В сб.: Матем. анализ и теория функций, М, МОПИ. 1974, № 4, с. I6I-I74.
34. Ронкин Л. И. О типах целой функции двух переменных.- Матем. сб. 1956, т. 39(81), № 2, с. 253−265.
35. Коробейник Ю. Ф. Об одном функциональном уравнении. I.- В сб.: Теория функций, функц. анализ и их приложения, Харьков, 1978,30, с. 72−82.
36. Деревянченко Г. Д., Какичев В. А. Задача Римана и разложение целых функций двух переменных по квазистепенным базисам.- Матем. заметки. 1977, т. 21, № 4, с. 473−483.
37. Копаев A.B. О разложении голоморфных функций двух переменных по квазистепенным базисам.- В сб.: Матем. анализ и теория функций, М, МОПИ. 1980, с. 46−54. 135.
38. Jlf-SafomU)!A, 1fctiiio? Genetufcjeef She f fez poiinomLciEs.-SDufce JUath. JJ. 1970, v. 37, № 2, p. 361−365.
39. PommLeij M. Sur ies testes successifs ele seiies Je (ЦЕог.- Comptes Rendus. I960, v. 250, № 15, p. 2669−2671.
40. Шабат Б. В.
Введение
в комплексный анализ, т. II.- М: Наука. 1976. 400 с.
41. Какичев В. А. Методы решения краевых задач линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- В сб.:Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков, 1971, № 14, с.3−15.
42. Исправления сделаны после защиты диссертации.
43. Стр. 43 (теорема 3.3). где ¡-с (V) и Хм произвольные формальные степенные ряды с ненулевыми значениями 1(0) и 71. Стр. 48.
44. Утверждение. Оператор отображает: а> на {-, еи9Ц — б) на} ф ^ д |, тогда и только тогда, когда: а) ± = {-?, 6?)."°!0 в % е^ -б) ¿-е{- у}.и1. Стр. 116 (с 10й строки).
45. В то же время, неоднородная задача (9.14) разрешима единственным образом тогда и только тогда, когда частичные индексы (см. 56 .) функции Д («Ш-^Со) Ф 0 равны нулю. Вследствие аналитичности функций это будет в том случае, когда В Ю1у> .
