Полугрупповые алгебры

Алгебра функций — одно из основных понятий функционального анализа. Существует много разных алгебр функций, разнообразие которых определяется множествами с которыми они связаны. Эта работа посвящена описанию некоторых свойств алгебр функций, порождённых полугруппами.

Теория полугрупповых алгебр является одним из актуальных направлений функционального анализа, имеющее применение в других областях математики. Она тесно переплетается с теорией почти-периодических функций, теорией динамических систем, теорией представления, теорией полугрупповых С*-алгебр, К-теорией. С помощью методов этой теории удалось дать ответ на многие вопросы.

Интерес к теории полугрупновых алгебр обусловлен еще и тем, что она нашла широкое применение в теоретической физике, особенно в квантовой механике. Современные сулсрсимметричныс теории элементарных частиц связаны с полугрупповыми обобщениями супермногообразий, для описания которых вместо фундаментальной группы используется так называемая башенная полугруппа. Точечные дифференцирования алгебры последней несут информацию об исходных супермногообразиях.

Основным объектом исследования в данной работе являются полугрупповые алгебры, порождённые некоторой полугруппой характеров компактной абелсвой группы. Такие алгебры иногда называют алгебрами Аренса и Зингера, так как именно эти авторы впервые установили связь между полугрупповыми алгебрами и алгебрами почти-гюриодических функций [22, 23]. Дальнейшее развитие идей Р. Аренса и И. Зингера проявилось в работах Г. Хсльсона и Д. Лауденслагера [37, 38, 39], К. Гофмана [11], Ф. Форелли [26], К. дс Лю и И. Гликсберга [41], В. Рудина [47], Т. Гамелина [6, 27], С. А. Григоряна [12, 13, 14, 28−33].

Естественным обобщением полугрупповых алгебр являются инвариантные алгебры функций на группах Ли и на однородных областях. Исследования таких алгебр функций можно проследить по работам М. JI. Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Золотаревского [10], В. М. Гичева [8].

Данную диссертационную работу можно условно разбить на три части. В первой части (глава II) описываются точечные дифференцирования полугрупповых алгебр. Во второй (глава III) исследуются нелокальные полугрупповые алгебры, у которых есть нелокальное дифференцирование. Последняя часть (глава IV) посвящена долям Глисона алгебр Бляшкеиндуктивному пределу простейших полугрупповых алгебр.

Перейдём теперь к более подробному разбору диссертации по главам.

1. Аграновский М. Л. Инвариантные алгебры на границах симметрических областей. //ДАН СССР. — 1971. — Т. 197. — № 1. — С. 9 — И.

2. Батикян Б. Г., Горин Е. А. Заметка о не локальных алгебрах. // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1973. — № 65. — С. 172 — 177.

3. Варшавский А. Д. Функциональная алгебра второй степени нелокальности. // Мат. сб. 1969. — Т. 80. — № 2. — С. 266 — 280.

4. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973.

5. ГарнеттДж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

6. Гичев В. М. Инвариантные алгебры функций на группах Ли. // Сиб. матем. журнал. 1979. — Т. 20. — № 1. — С. 23 — 36.

7. Горин Е. А. Подалгебры конечной коразмерности. // Матем. заметки. 1969. — № б. — С. 321 — 328.

8. Горин Е. А., Золотаревский В. М. Максимальные инвариатные алгебры в алгебрах с инволюцией. // Матем. сб. 1971. — Т. 85. — N2 3. -С. 373 — 387.

9. Гофман К. Банаховы простанства аналитических функций. -М.:ИЛ., 1963.

10. Григорян С. А. Алгебра конечного типа на компактных группах. // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1979. — Т. 14. — № 3, — С. 168 — 183.

11. Григорян С. А. Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1981. — Т. 16. — № 5. -С. 168 — 183.

12. Григорян С. А. Обобщённые аналитические функции. // Успехи матем. наук 49. 1994. — № 2. — С. 3 — 42.

13. Клифорд А., Престон. Г. Алгебраическая теория полугрупп. -М.: Мир, — 1972, Т. 1, 2.

14. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: ГИТТЛ, — 1953.

15. Лснг С. Алгебра. М.: Мир, — 1965.

16. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.:ГИФМЛ, — 1960.

17. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, — 1974.

18. Форстер О. Римановы поверхности. ~ М.: Мир, 1980.

19. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука, — 1985.

20. Arens R. The boundary integral of logip for generalized analytic functions. // Т. A. M. S. 1957. — Vol. 86. — P. 57 — 69.

21. Arens R. and Singer I. Generalized analytic functions. // Т. A. M. S. -1956. Vol. 81. — P. 379 — 393.

22. Batikyan В. T. Point derivations on algebraic extension of Banach algebra. // Lobachevskii J. Math. 2000. — Vol. 6. — P. 33−37.

23. Browder A. Point derivations and analytic structure in the spectrum of a Banach algebra. // J. Funct. Anal. 1971. — Vol. 7. — P. 156−164.

24. Forelli F. Analytic measures. // P. J. M. 1963. — Vol. 13 — P. 571 — 578.

25. Gamelin T. Remarks on compact groups with ordered duals. // Rev. U. Math Arg. 1967. — Vol. 23. — P. 97 — 108.

26. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Inner automorphisms of shift invariant algebras on compact groups. // Из. АН. Армения. -1998. Т. 34. — No 5. — C.57 — 62.

27. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Invariant algebras on groups and completeness of their generating semigroups. // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 1999. -С. 260−261.

28. Grigoryan S. A., Pankrateva Т. N., Tonev Т. V. The validity range of two complex analisis theorems. // Complex variables. 2002. — Vol. 47. -No 12 — P. 1085 — 1095.

29. Grigoryan S. A., Tonev Т. V. Blaschke inductive limits of uniform algebras. // IJMMS 27: 10. 2001. — P. 599 — 620.

30. Grigoryan S. A., Tonev Т. V. Shift invariant algebras on groups. // Contemporary Math. — 363. — P. 111−127. — American Mathematical Society. Providence. RI. — 2003.

31. Grigoryan S. A., Tonev Т. V. Linear multiplicative junctionals of algebras of S analytic functions on groups. // Lobachevsky. Math. J. — 9 (2001).- P. 29 35.

32. Hallstrom A. On bounded point derivation and analytic capacity. // J. Funct. Anal. 1969. — Vol. 4. — P. 153 — 165.

33. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. // Acta Math. 1958. — Vol. 99. — P. 165 — 202.

34. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. // II, Acta Math. 1960. — Vol. 103. — P. 175 — 213.

35. Helson H. Lectures on invariant subspaces. N.Y.:Acad. Press, — 1964.

36. Hoffman K. and Singer I. Maximal subalgebras of С (Г). //Amer. J. Math.- 1957. Vol. 79. — P. 295 — 305.

37. Kallin E. A nonlocal function algebra. // Proc. Nat. Acad. Sci. 1963. -Vol. 49. — P. 821 — 824.

38. B. J. Cole One point parts and the peak — point conjecture. // Ph. D. Dissertation, Yale University, New Haven, Conn. — 1968.

39. Lecuw K. and Glicksberg I. Quasi invariance and measures on compact groups. // Acta Math. — 1963. — Vol. 109. — P. 179 — 205.

40. Leeuw K. de. and Mirkil H. Translation invariant function algebras on ahelian groups. // Bull Soc. Math. Franse. — 1960. — Vol. 88. — P. 345 -370.

41. Leiboitz G. M. Lectures on Complex Function Algebras. Scott, Foresman and Co., Illinois, 1970. MR 55#1072. Zbl 219.46 037.

42. Loomis L. Introduction to abstract harmonic analysis. // Van Nostrand. Princction. N.J. 1953.

43. Read Т. T. The powers of a maximal ideal in a Banach algebra and analytic structure. // Trans. Amcr. Math. Soc. 1971. — Vol. 161. — P. 235 -248.

44. Rider D. Translation invariant Dirichlet algebras on compact groups. // P. A. M. S. — 1966. — Vol. 17. — No 5. — P. 977 — 985.

45. Rudin W. Fourier analysis of groups. :Interscicnce. N. Y., 1962.

46. Sawon Z., Warsecha A. On the general from of subalgebras of codimension 1 of В algebras. // Studia Math. — 1968. — Vol. 29. — P. 249 — 260.

47. Sidney S. High order nonlocal uniform algebras. // Proc. Arner. Math. Soc. — 1971. — Vol. 23. — P. 735 — 752.

48. Sidney S. Point derivations in certain sup norm algebras. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 131. — P. 119 — 127.

49. Taylor J. L. Measure algebras. // Expository Lectures from the CBMS Regional Conference held at the University of Montana. June 1972.

50. Toncv Т. V. Big-planes, boundaries and function algebras. // NorthHolland Math, studies. 1992. — Vol. 172.

51. Tonev Т. V. Generelized-analytic functions recent results. // C. R. Acad. Bulgare Sci. 34 — 1981. — No 8. — P. 1061 — 1064.

52. Tonev Т. V., Grigoryan S. A. Analytic functions on compact groups and their applications to almost periodic functions. // Contemporary Math. -328. P. 299 — 322. — American Mathematical Society. Providence. — 2003.

53. Wermer J. Dirichlet algebras. // J. Duke Math. 27 (1960). P. 373 — 382.

54. Wolf J. Translation invariant function algebras on compact groups. // P. J. M. — 1965. — Vol. 15. — No 3. — P. 1093 — 1099.

55. Яшагин E. И. О размерности точечных дифференцирований инвариантных равномерных алгебр. // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 1999. — С. 257 — 259.

56. Яшагин Е. И. О нелокальных точечных дифференцированиях на инвариантных равномерных алгебрах на двумерном торе. // XVI Петровские чтения. Волга'16. 2004. — С. 79 — 80.

57. Яшагин Е. И. Точечные дифференцирования алгебры ^(S) в Ids- // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2005. — Т. 30 — С. 170 — 171.

58. Яшагин Е. И. О взаимосвязи между подполугруппами полугруппы S и иденпотентами спектра алгебры ll (S). // XVII Петровские чтения. Волга'17. 2005. — С. 54- 55.

59. Яшагин Е. И. Об одноточечных долях Глисона. // Функциональный анализ и его приложения. 2006. — Т. 40 — № 1. — С. 92 — 94.

60. Яшагин Е. И. Точечные дифференцирования в Ids полугрупповой алгебры S). // Новейшие проблемы теории поля. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, — 2006. — Т. 5. — С. 252 — 258.

61. Яшагин Е. И. О сравнении Ids и ids* для полугруппы S и её расширения гранями S* // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2007. — Т. 35 — С. 288 — 289.

62. Яшагин Е. И. О геометрической интерпретации дифференцирований полугрупповых алгебр. // XIX Петровские чтения. Волга'19, 2007. -С. 53.

63. Яшагин Е. И. Об одном примере максимальной унимодулярной алгебры Дирихле. // Сиб. матем. журнал. 2007. — Т. 48 — № 4. — С. 951 — 956.