Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени

Постановка задачи.

Пусть X, У иU — гильбертовы пространства, операторы L Е С (Х-У), ker L ф {0}, М Е С1(ХУ), В Е ЦК] У), функции и: [0,Т] U, у: [0, Г] —> У, Т Е Рассмотрим задачу оптимального управления.

0) = а-0, (0.1).

Lx{t) = Mx (t) + y (t) + Bu (t), (0.2) и E йд, (0.3).

J (x, u) = ^\x — wfHn{x) + у||и — щ\2НГ2[ы) inf, (0.4) где r Е {0,1}, Г2 Е No, xq Е X — заданный вектор, у, w, щ — заданные функции, константа N > 0, Н^ - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Нг2 (ZY).

Назовем сильное решение х Е Н1{Х) задачи (0.1), (0.2) состоянием системы (0.1), (0.2). При фиксированных xq и у воздействие на систему (0.1), (0.2) производится с помощью варьирования функции и, назыве-мой управлением или функцией управления. Естественные ограничения на функцию и приводят к появлению некоторого множества Цд, называемого множеством допустимых управлений.

Пара (х, и) называется допустимой для задачи (0.1) — (0.4), если она удовлетворяет условиям (0.1) — (0.3). Множество всех допустимых пар обозначим через 22J. Задача оптимального управления заключается в отыскании такой допустимой пары (ж, й), для которой выполняется соотношение.

J (x, u) = inf J (x.u).

V У (х, и) бШ) 4 '.

Минимизируемый функционал J при этом будем называть функционалом стоимости.

Управляющее воздействие может входить в исследуемую систему в качестве начального значения, и тогда рассматривается задача стартового управления х (0) = щ (0.5).

Lx (t) = Mx (t) +y (t), (0.6) u 6 На, (0.7).

1 N.

J (x, u) = 2 И* ~ wWn{x) + —\u — щ\2Ый inf. (0.8).

В этом случае itg — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Uq С U = X.

При некоторых естественных предположениях на операторы L и М, гарантирующих существование сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения Lx (t) = Mx (t), система (0.1), (0.2) является абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике. При этом заметим, что в приложениях часто более естественным оказывается вместо условия Коши (0.1) рассматривать так называемое обобщенное условие Шоуолтера [85, 122].

Рх{ 0) = Pxq, (0.9) где Р — проектор, являющийся единицей упомянутой полугруппы операторов. Задача стартового управления в таком случае вместо условия (0.5) содержит условие.

Рж (0) = и. (0.10).

Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач оптимального управления при различных п, Г2 в случаях N > 0 и N = 0 (случай жесткого управления) и нахождение необходимых и достаточных условий экстремума в этих задачах в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства. При этом взаимосвязанные параметры Г и Тч берутся по возможности минимальными в целях ослабления требований на гладкость функций состояния и, соответственно, управления. Увеличение одного из этих параметров в рассмотренных задачах позволяет уменьшить другой без потери функционалом стоимости свойства коэрцитивности. Особенности же вырожденного уравнения (0.2) таковы, что взять одновременно г = 0 и г2 = 0 без потери коэрцитивности не представляется возможным.

Полученные результаты используются при исследовании задач оптимального управления не разрешенными относительно производной по времени линейными распределенными системами, встречающимися в математической физике, такими, как линеаризованная система НавьеСтокса, линеаризованная система уравнений фазового поля, уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости и ДР.

Историография вопроса.

В настоящее время одной из основных областей практического использования математики является теория оптимального управления. С развитием науки и техники люди имеют дело со все более сложными системами и процессами, которыми необходимо управлять. Вместе с этим растет сложность задач математической теории оптимального управления.

Некоторые управляемые объекты можно характеризовать в каждый момент времени конечным набором параметров. Это так называемые объекты с сосредоточенными параметрами, они описываются системами обыкновенных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума JT.C. Понтрягина [69], методов динамического программирования [2], с результатами Н. Н. Красовского и его учеников, касающимися классической /-проблемы моментов, теории игр и др. [41, 42, 43, 47].

В то же время большинство реальных объектов управления можно рассматривать как объекты с распределенными параметрами, то есть объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями распределения. Для эффективного управления многими системами приходится рассматривать именно такие объекты, и в этом случае возникают задачи оптимального управления для систем дифференциальных уравнений в частных производных — распределенных систем. Дать хоть сколько-нибудь полный обзор по теории управления распределенными системами не представляется возможным. О многообразии сфер применения этой теории, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами [6, 7, 18, 19, 55], с теорией игр и задачами позиционного управления [33, 37, 59, 60, 62, 63], с обратными цр задачами динамики управляемых систем [28, 35, 36, 45, 46, 61].

В монографии Ж.-Л. Лионса [53] исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Ада-мару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Для этого состояние системы выражается через управление, и коэрцитивный функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Работы [54, 100, 101] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем — так называемое условие компактности.

В данной диссертации исследуются задачи оптимального управления с различными квадратичными функционалами для систем, описываемых задачей Коши (0.1) или обобщенной задачей Шоуолтера (0.9) для уравнения (0.6) с сильно (Ь, р)~радиальным оператором М, то есть в случае существования сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения.

Lx (t) = Mx (t). (0.11).

Поэтому важным моментом в диссертационной работе является исследование однозначной разрешимости задач (0.1), (0.6) и (0.6), (0.9) в смысле сильных решений.

Заметим, что исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной, во многом обусловленные интересом к системе Навье — Стокса, встречаются еще в работах Пуанкаре, Озина [118], Jlepe, Шаудера [113, 114]. Но первые, по-настоящему глубокие результаты, касающиеся начально-fP краевых задач для таких уравнений, получены С. Л. Соболевым [88, 89], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), часто называют «уравнениями соболевского типа» или «уравнениями типа Соболева» [14, 66, 77, 121]. Перечислим некоторые из наиболее существенных на наш взгляд результатов, касающихся уравнений соболевского типа.

Задача (0.1), (0.6) в конечномерном случае (X = У = Rm, L, Mпостоянные квадратные матрицы) исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и Л. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф. Р. Гантмахера [11, гл. XII]. (Пучок квадратных матриц М + цЬ называется регулярным, если определитель |М 4- цЬ| не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.).

Ю.Е. Бояринцевым и В. Ф. Чистяковым [3, 5, 4, 102, 103, 104] продолжены исследования конечномерной задачи в случае X = Еп, У = Шт. При этом используются различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (m ^ п) матриц. Исследуются также уравнения с матрицами, зависящими от t.

М.И. Вишиком [8] исследована задача (0.1), (0.6) в случае, когда У — сепарабельное гильбертово пространство, пространство X плотно и и непрерывно вложено в операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркина — Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана его непрерывная зависимость от y{t) и от начального значения xq.

А.Г. Костюченко и Г. И. Эскин [40, 107] установили разрешимость задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, в классе экспоненциально растущих функций.

R.E. Showalter и T.W. Ting в работе [123] рассматривают уравнение (0.6) с дифференциальными операторами жЕЙС Rn, fiограниченная область, domL и dom М плотны в гильбертовом пространстве 1²(0) — X — У. Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.

Однородную задачу (0.1), (0.2) изучали математики из школы С. Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейерштрассу и JI. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + цЬ [22, 23, 44].

А.П. Осколковым [64, 65] исследована разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи п п п w (x, 0) = Wо (х), X G fi, w (x, t) = О, (я, t) е дП х (0, Т), для системы уравнений в цилиндре Q х (0, Т).

Л — V2)^t — v у2 w + VP = /, V * w = 0.

Здесь w: ft x (О, T) Rn, р: ft х (О, Г) R, v > О, Л > -Ль Aiнаименьшее собственное число спектральной задачи.

Av + VP = Аг>, V • v — 0> v = 0 на 5ft.

Отметим работы Н. А. Сидорова и его учеников — О. А. Романовой, М. В. Фалалеева, B.C. Шароглазова [85, 86, 87, 105]. Н. А. Сидоров [85] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.1), (0.6) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредголь-мов. Н. А. Сидоров и М. В. Фалалеев [87] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева (0.6) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М, банаховыми пространствами X, УdomL С domM. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жорданов набор, a y (t) — достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения (0.6) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

Заметим также что R.E. Showalter [122] и Н. А. Сидоров [85] независимо друг от друга рассматривали начальную задачу.

Lx (0) = Lx о (0.12) для уравнений соболевского типа. Задача (0.6), (0.12) в точности совпадает с задачей (0.6), (0.9) в случае, когда оператор М сильно (L, 0)-радиален, то есть когда разрешающая полугруппа уравнения (0.11) вырождается только на ядре оператора L.

В работах В. Н. Врагова и его учеников [9, 15] исследуется разрешимость начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа. А. И. Кожанов [29], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида.

I-A)ut = Bu + f (x, t), где А, В — дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах, А и В. В работе [30] А. И. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Ви = f (x, t), где А, В — эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор, А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.

Монография Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [14] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В частности с использованием методов построения приближенных решений и получения? р-оценок решений [12, 13] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского # типа.

С задачей (0.1), (0.6) тесно связана задача исследования спектра пучка операторов fiL — М или, другими словами, L-спектра оператора М аь (М) = С {д G С: (цЬ — M)~l <Е C (FU)}. Спектральная задача fiLu = Ми исследовалась С. Г. Пятковым [20] в случае, когда М неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, L самосопряженный невырожденный оператор. В работах [73, 74] найдены достаточные условия базисности по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [74] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых М — дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, a L — оператор умножения на функцию. В работе [75] такие результаты были получены в случае самосопряженных операторов М, L. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Рисса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора.

А.А. Шкаликовым [106] спектральная задача уЬи = Ми рассматривалась в случае, когда оператор L симметричен и равномерно положителен, а М — самосопряженный положительный оператор, возмущенный оператором, подчиненным оператору L в смысле квадратических форм. Рассматриваемый линейный пучок операторов является абстрактной моделью для известной в гидромеханике задачи Орра — Зоммерфельда. В шкале соболевских пространств, связанных с заданными операторами, пучку операторов fiL — М ставится в соответствие оператор Т = L^M, где Lp — расширение по Фридрихсу оператора L. Область определения оператора Т подобрана таким образом, чтобы его спектр совпадал со спектром пучка. Исследован вопрос базисности Рисса корневых векторов оператора Т.

Современное состояние области исследования.

Одними из наиболее завершенных на данный момент представляются результаты, касающиеся задач оптимального управления, снабженных квадратическим функционалом стоимости, и касающиеся линейных систем, описываемых корректными краевыми задачами. В то же время предлагаемая для исследования задача (0.1), (0.2) с вырожденным оператором L является, вообще говоря, некорректной. Эти соображения во многом стали определяющими при выборе объекта исследования данной работы.

Необходимость в исследовании задачи (0.1) — (0.4) с вырожденным оператором L и с конечномерными пространствами X, У, U часто возникает при моделировании некоторых процессов в механике и технике. При этом соответствующая система называется дескрипторной (D.G. Luenberger [116], D. Cobb [108], E. Jonckheere [112]) или алгебро-дифференци-алъной (Ю.Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков [5]). Задачи управления алгебро-дифференциальными системами также исследуют в своих работах L. Рап-dolfi [119, 120], Г. А. Курина [48, 49, 50, 51], F.L. Lewis [115].

L. Pandolfi в работе [120] получены условия существования оптимальных решений конечномерной задачи (0.1) — (0.3) с функционалом стоимости управления J (?(0), w) и вычислено его значение на оптимальных траекториях.

Г. А. Курина [48] рассмотрела задачу минимизации функционала С (и), заданного в матричном виде, на траекториях системы.

4(Ls (t)) = M (t)x{t) + B{t)u{t), at.

Lx (to) = жо, где x (t) G Rm, u (t) € причем допустимые управления u{t) являются непрерывными функциями на фиксированном конечном интервале времени to < t < Т, переводящими систему из состояния, удовлетворяющего начальному условию, в произвольную точку пространства Rm. Матрица D предполагается вырожденной. Г. А. Куриной доказано равенство, которое определяет оптимальное управление в виде обратной связи, а также найдено минимальное значение функционала стоимости. Аналогичный результат для случая бесконечного интервала времени получен Г. А. Куриной в более поздней работе [50].

Ю.Е. Бояринцевым и В. Ф. Чистяковым [5] рассмотрена конечномерная задача (0.1), (0.2) с компромиссным квадратичным функционалом стоимости общего вида. При этом матрицы L и М являются квадратными, начальное значение хо берется из аффинного многообразия, определяемого значениями функций и их производных в правой части уравнения. Найдены необходимые и достаточные условия оптимальности пары (состояние, управление) в терминах сопряженной системы. Кроме того, в [4] показано, что задача Lx{0) = xq для уравнения (0.6) в Еп разрешима тогда и только тогда, когда разрешима некоторая задача минимизации квадратичного функционала на решениях краевой задачи для вспомогательной алгебро-дифференциальной системы.

В работах Г. А. Свиридюка и А. А. Ефремова [21, 79, 80] исследована задача минимизации квадратичного функционала (0.1) — (0.4) с г — 1, r2 = р + 1 в бесконечномерных пространствах. Рассмотрены случаи существования аналитической в С группы и аналитической в секторе полугруппы, разрешающей уравнение (0.11). Заметим, что для разрешимости задачи Коши ж (0) = а? о для неоднородного уравнения (0.6) с вырожденным оператором L необходимо выполнение некоторого условия согласования между проекцией начального значения xq этой задачи на ядро разрешающей полугруппы и проекцией вектора Ви (0) 4- у (0) [5, 77, 124]. Другими словами, начальное значение должно принадлежать некоторому аффинному многообразию, определяемому вектором Ви (0) + у (0). Это обстоятельство вынудило авторов работ [21, 79, 80] существенно сузить как множество начальных значений задачи Коши xq, так и пространство функций управления. А именно, ими используется пространство управлений {и Е НР+1(Ы): 0) = 0, к = 0, р+1}, а начальные значения задачи Коши берутся из множества.

1хеХ:(1-Р)х = -^2 GkMvl — Q) y^{ 0) 1, (0.13).

I к=о J где Р — единица упомянутой разрешающей полугруппы (или группы) операторов, Q — единица разрешающей полугруппы уравнения, эквивалентного уравнению (0.11), но заданного на пространстве У, а рнаибольшая длина цепочки относительно М-присоединенных векторов оператора L, на которых вырождается проектор Р. Г. А. Свиридюком и А. А. Ефремовым установлена однозначная разрешимость рассмотренных задач, полученные абстрактные результаты приложены к исследованию задач оптимального управления для уравнения БаренблаттаЖелтова — Кочиной и для уравнения свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости.

Актуальность темы

исследования.

Как уже было замечено, математическая теория оптимального управления является весьма востребованной с точки зрения ее практического применения. Это касается и задач управления линейными системами, поскольку с одной стороны часто изучение линейных систем становится первым шагом на пути изучения нелинейных объектов, а с другой стороны линейные системы могут представлять и самостоятельный интерес в смысле приложений — например, при моделировании в экономике.

С другой стороны системы вида (0.1), (0.6) или (0.6), (0.9), не разрешенные относительно производной по времени, часто встречаются при моделировании различных процессов в естественных и технических науках. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или алгебро-дифференциальные системы), так и о распределенных системах. И если даже исследования задач оптимального управления дескрипторными системами в настоящее время весьма далеки от завершения, то исследование задач управления вырожденными распределенными системами находится только в начальной стадии развития. Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется весьма актуальной.

Методы исследования задачи.

А.В. Балакришнан подчеркивал [1], что удобным инструментом исследования задач оптимального управления распределенными системами, описываемыми линейными эволюционными уравнениями с постоянными коэффициентами, является теория полугрупп операторов. В то же время в настоящее время весьма популярным подходом к исследованию разрешимости абстрактной задачи (0.1), (0.6) является подход, основанный на идеях и методах теории полугрупп операторов. Особо отметим, что характерной чертой полугруппы, разрешающей однородное уравнение (0.11) с вырожденным оператором L, является наличие у ее единицы нетривиального ядра.

Вырожденные полугруппы операторов исследуются в работах A. Favini и A. Yagi [109, 110], И. В. Мельниковой и ее учеников [56, 57, 58]. В данной работе будут использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [77, 84, 93, 124]. В работе предполагается, что оператор М в уравнении (0.11) сильно (L, р)-радиален (или в частном случае — сильно (L, p)~ секториален). Выполнение такого условия, как уже было сказано, влечет существование сильно непрерывной (или, соответственно, аналитической в секторе) разрешающей полугруппы однородного уравнения, вырождающейся не только на ядре оператора L, но и на его М-присоединенных векторах высоты не больше р. Кроме того, отсюда следует представление пространств Х, Ув виде прямых сумм ядра и образа единиц полугрупп операторов и расщепление действий операторов L, М вдоль этих подпространств. При этом на одном подпространстве непрерывно обратим оператор М, а на другом — оператор L. Все это позволяет редуцировать исходное уравнение (0.6) к системе, двух уравнений ж (£) = Sx (t) + L^Qy (t), (0.14).

Gx{t) = x{t) + MqI — Q) y (t), (0.15) заданных на взаимно дополнительных подпространствах X1 и Х° соответственно. При этом оператор S = L^Mi порождает Co-полугруппу и поэтому задача Коши для уравнения (0.14) является корректно поставленной и для исследования задачи оптимального управления системой (0.14) могут быть использованы классические методы [1, 53].

Возникающий в уравнении (0.15) оператор G является нильпотент-ным, что позволяет получить однозначную разрешимость уравнения (0.15) без какого бы то ни было начального условия. По этой причине задача Коши для уравнения (0.15), а значит и для всего уравнения (0.6), разрешима лишь при начальных значениях Xq из аффинного многообразия (0.13). Поэтому, чтобы пара (ж, и) была допустимой, надо, чтобы выполнялось условие р+1.

I — Р) х о = - ОкМц1 — Q){BvSk) + 2/(fc)(0)) (0.16) fc=0 на управление и. В отличие от упомянутых работ [21, 79, 80] мы ищем оптимальное управление при любом начальном значении задачи Коши жо, а пространство управлений, вообще говоря, берем более широким, вплоть до L2(U). Достигается это за счет использования удобной для систем, описываемых некорректными краевыми задачами, схемы исследования задач оптимального управления, предложенной в монографии А. В. Фурсикова [101]. Эта схема позволяет, не выражая функции состояния х через функции управления it, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления при выполнении условий ограниченности снизу, полунепрерывности снизу и коэрцитив-ности функционала стоимости и так называемого условия нетривиальное&trade-. Последнее означает условие существования хотя бы одной пары функций (х, и), удовлетворяющей условиям (0.1) — (0.3), например, существование достаточно гладкой функции управления, для которой выполняется условие (0.16) с заданными в задаче а^о и у. При этом для остальных функций управления задача (0.1), (0.2) может вообще оказаться неразрешимой.

Все трудности, связанные с согласованием начального значения xq с правой частью уравнения, исчезают при рассмотрении обобщенного условия Шоуолтера (0.9) вместо условия Коши (0.1). В этом случае условие нетривиальности для задачи, скажем, (0.2) — (0.4), (0.9) означает лишь существование хотя бы одного достаточно гладкого управления класса НР+1(Ы) без других дополнительных условий.

Новизна полученных результатов.

В диссертационной работе исследуются задачи оптимального управления с квадратичными функционалами стоимости для систем, описываемых уравнением (0.6), не разрешенным относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. Заметим, что условие сильной (L, р)-радиальности оператора М является более слабым, чем условие сильной (L, р)-секториальности или (L, cг)-ограниченности с несущественной особой точкой у L-резольвенты оператора М в бесконечности. Тем самым охвачен более широкий класс систем, чем рассмотренный в работах [21, 79, 80]. Но даже для случая сильно (?, р)-секториального оператора полученные в данной работе результаты являются более общими, чем результаты упомянутых работ (см. предыдущий раздел). Кроме того, в работе рассмотрены различные варианты функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального наблюдения состояния системы, а также задачи с жестким управлением и задачи стартового управления, которые ранее для бесконечномерных систем вида (0.6), по-видимому, не рассматривались.

Задачи оптимального управления для бесконечномерных систем с обобщенным условием Шоуолтера ранее в общем виде также не рассматривались. При этом условие Шоуолтера естественным образом возникает при рассмотрении различных систем уравнений математической физики и даже часто является более «физичным», как, например, при рассмотрении линеаризованной системы Навье — Стокса или системы уравнений фазового поля (см. третью главу).

Особо отметим, что впервые получен критерий разрешимости уравнения (0.15) с нильпотентным оператором G, показывающий, что такое уравнение разрешимо не при всякой правой части д = Mq1{I — Q) y G ½(0, Т]У). Гарантирует же разрешимость уравнения лишь принадлежность функции д пространству Нр+1(0,Т', У). Это согласуется с утверждением Р.С. Muller [117] о том, что в общем случае управление дескрип-торными системами осуществляется не только функцией управления, но и ее производными.

В отличие от упомянутых ранее результатов о задачах оптимального управления для распределенных систем соболевского типа почти для всех рассмотренных в данной работе задач в случае, когда оператор М в уравнении (0.2) сильно (?, р)-секториален, получены так называемые системы оптимальности, то есть необходимые и достаточные условия на оптимальное управление и соответствующее ему состояние системы в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства.

Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для линеаризованной системы НавьеСтокса, линеаризованной системы уравнений фазового поля, а также для уравнения (0.6), в котором операторы L и М являются многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка. Частными случаями такого уравнения являются уравнение БаренблаттаЖелтова — Кочиной, уравнение Дзекцера и многие другие уравнения математической физики.

Краткое содержание диссертации.

Диссертационная работа содержит Введение, четыре главы и Список литературы.

1. Валакришнан, А. В. Прикладной функциональный ана-4 лиз / А. В. Валакришнан — М.: Наука, 1980 — 384 с.

2. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман.- М.: Иностр. лит., I960 333 с.

3. Вояринцев, Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев.-Новосибирск: Наука, 1988. 158 с.

4. Вояринцев, Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. ВояринцевНовосибирск: Наука, 2000 223 с.

5. Вояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю. Е. Вояринцев, В. Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998 224 с.

6. Вутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Вутковский М.: Наука, 1975. 568 с.

7. Васильев, Ф. П. Методы решения экстремальных задач /Ф.П. Васильев.- М.: Наука, 1981; 400 с.

8. Вишик, М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М. И. Вишик // Мат. сб.- 1956 Т.38, вып.1 — С.51−148.

9. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов Новосибирск: НГУ, 1983; 179 с.

10. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. ЗахариасМ.: Мир. 1978 336 с.И. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер.- М.: Наука, 1967. 576 с.

11. Демиденко, Г. В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г. В. Демиденко // Сиб. мат. журн.- 1997. Т.38, № 6. С.1251−1266.

12. Демиденко, Г. В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши Ковалевской / Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева // Тр. ин-та математики СО РАН.- 1994, — Т.26. С.42−76.

13. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с.

14. Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т. Д. Джураев.- ТашкентФАНГ 1979. 155 с.

15. Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // ДАН СССР.- 1972.-Т.202, № 5. С.1031−1033.

16. Дубовицкий, А. Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений / А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин // ЖВМиМФ 1965 — Т.5, № 3-С.395−453.

17. Егоров, А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А. И. Егоров.- М.: Наука, 1978. 463 с.

18. Егоров, А. И. Основы теории управления / А. И. Егоров.- М.: Физ-матлит, 2004 502 с.

19. Егоров, И. Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.

20. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнения типа Соболева: 01.01.02 / А.А. ЕфремовЧеляб. гос. ун т.- Челябинск, 1996. 102 с.

21. Зубова, С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве / С. П. Зубова // ДАН СССР.- 1982. Т.264, вып.2. С.286−291.

22. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К.И. Чер-нышов // Дифференц. уравнения и их применения.- Вильнюс, 1976 Т. 14. С.21−39.

23. Ильин, A.M. О поведении решения одной краевой задачи при t —" оо / A.M. Ильин // Мат. сб.- 1972. Т.87, № 4. С.529−553.

24. Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / A.M. Ильин.- М.: Наука, 1989. 336 с.

25. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / A.M. Ильин, А. С. Калашников, О. А. Олейник // Успехи мат. наук.- 1962. Т.17, № 3. С.3−146.

26. Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров М.: Наука, 1974 — 479 с.

27. Ким, А. В. Оратные задачи динамики параболических систем / А. В. Ким, А. И. Короткий, Ю. С. Осипов // Прикл. матем. и механ.-1990. Т.54, № 5. С.754−759.

28. Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов.- Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1990. 132 с.

29. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А. И. Кожанов // ДАН СССР.- 1992.-Т.326, № 5. С.781−786.

30. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А. И. Кожанов // Сиб мат. журн- 1994 Т.35, № 2-С.359−376.

31. Короткий, А. И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами / А. И. Короткий // Изв. ВУЗов. Математика.- 1995. № 11- С.101−123.

32. Короткий, А. И. Восстановление множества управлений по измерениям состояний эволюционной системы / А. И. Короткий // Прикл. матем. и механ 1997 — Т.61, Вып. З — С.440−446.

33. Короткий, А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности / А. И. Короткий // Известия РАН. Теория и системы управления.- 2000. № 1. С.21−24.

34. Короткий, А.И. О позиционном управлении в системах с распределенными параметрами / А. И. Короткий, Ю. С. Осипов // Прикл. матем. и механ.- 1980. Т.44, № 4 С.611−617.

35. Корпусов, М.О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн / М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 1997. Т.37, № 5. С.617−620.

36. Корпусов, М.О. К задаче о колебаниях двустороннего отрезка в стратифицированной жидкости / М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 1997. Т.37, № 8. С.968−974., Щ.

37. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнения Соболева Гальпер-на / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Труды Моск. мат. о-ва.- 1961.-Т.Ю.- С.273−284.

38. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский М.: Наука, 1968 — 359 с.

39. Красовский, Н. Н. Управление динамической системой / Н. Н. Красовский М.: Наука, 1985 — 520 с.

40. Красовский, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин М.: Наука, 1974; 456 с.

41. Крейн, С. Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, К. И. Чернышов.- Новосибирск, 1979 18 е.- (Препринт / АН СССР, СО, ИМ).

42. Кряжимский, А.В. О моделировании управления в динамическойсистеме / А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернет- 1983 № 2 — С.51−60.

43. Кряжимский, А.В. О позиционном моделировании в динамических системах / А. В. Кряжимский, В. И. Максимов, Ю. С. Осипов // Прикл. матем. и механ.- 1983 Т.47, № 6. С.883−889.

44. Куржанский, А. В. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. В. Куржанский.- М.: Наука, 1977. 392 с.

45. Курина, Г. А. Управление с обратной связью для линейных систем, не разрешенных относительно производной / Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика.- 1984. № 6 С.37−41.

46. Курина, Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной / Г. А. Курина // Обзор. Изв. РАН. Сер. техн. киберн- 1992 № 4-С.20−48.

47. Курина, Г. А. О регулировании дескрипторной системой на бесконечном интервале / Г. А. Курина // Изв. АН. Тех. кибернет.- 1993;№ 6. С.33−38.

48. Курина, Г. А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г. А. Курина // Мат. заметки.-2001 Т. 70, вып. 2 — С.230−236.

49. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская, — М.: Наука, 1970.— 288 с.

50. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972. 412 с.

51. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987 — 456 с.

52. Лурье, К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К. А. Лурье М.: Наука, 1975 — 478 с.

53. Мельникова, И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И. В. Мельникова // Сиб. мат. журн.- 2001. Т.42, № 4. С.892−910.

54. Мельникова, И. В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И. В. Мельникова, М. А. Алыпанский // ДАН.- 1994. Т.336, № 1- С.17−20.

55. Мельникова, И. В. Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах / И. В. Мельникова, А. В. Гладченко // ДАН.- 1998. Т.361, № 6. С.17−20.

56. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами / Ю. С. Осипов // ДАН СССР.- 1975.-Т.223, № 6. С.1314−1317.

57. Осипов, Ю. С. Позиционное управление в параболических системах / Ю. С. Осипов // Прикл. матем. и механ. 1977. Т.2, № 6.-С.195−201.

58. Осипов, Ю. С. Динамическое моделирование параметровв гиперболических системах / Ю. С. Осипов, А. И. Короткий // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернет- 1991. № 2. С.154−164.

59. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в параболических системах / Ю. С. Осипов, С. П. Охезин // ДАН СССР.- 1976. Т.226, № 6. С.1267−1270.

60. Осипов, Ю.С. К теории позиционного управления в гиперболических системах / Ю. С. Осипов, С. П. Охезин // ДАН СССР.- 1977.-Т.233, № 4. С.551−554.

61. Осколков, А.П. О некоторых линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР 1976. Т.59.-С.133−177.

62. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР.- 1988 — Т.179 — С.126−164.

63. Осколков, А. П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравненийтипа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ.-1991. Т.198 С.31−48.

64. Плотников, П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников, А. В. Клепачева // Сиб. мат. журн.- 2001 Т.42, № 3. С.651−669.

65. Плотников, П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников, В.Н. Старовой-тов // Дифференц. уравнения 1993. Т.29, № 3. С.461−471.

66. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко М.: Наука, 1976 — 392 с.

67. Прилепко, А. И. Обратные задачи теории потенциала, эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса / А. И. Прилепко // Мат. заметки 1973 — Т. 14, № 5 — С.755−767.

68. Прилепко, А. И. Обратная задача с финальным переопределением для абстрактного эволюционного уравнения в упорядоченном банаховом пространстве / А. И. Прилепко, И. В. Тихонов // Функц. анализ и его приложения 1993 — Т.27, № 1- С.81−87.

69. Прилепко, А. И. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении / А. И. Прилепко, И. В. Тихонов // Изв. РАН. Сер. Мат.- 1994. Т.58, № 2. С.167−188.

70. Пятков, С. Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / С. Г. Пятков // Сиб. мат. журн 1989. Т. ЗО, № 4 — С.111−124.

71. Пятков, С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков / С. Г. Пятков // Мат. заметки.- 1992. Т.51, вып.1.-С.141−148.

72. Пятков, С. Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков / С. Г. Пятков // Мат. сб.- 1994. Т.185, № 3. С.93−116.

73. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения, — 1987. Т.23, № 12. С. 2168−2171.

74. Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Успехи мат. наук 1994 — Т.49, № 4 — С.47−74.

75. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г. А. Свиридюк // ДАН.- 1994. Т.337, № 5. С.581−584.

76. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Дифференц. уравнения.- 1995.Т. 31, № И С. 1912;1919.

77. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Изв. вузов. Матем 1996 — № 12 — С. 75−83.

78. Свиридюк, Г. А. Об относительной р-секториальности дифференциальных операторов / Г. А. Свиридюк, Г. А. Кузнецов // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. С.49−57.

79. Свиридюк, Г. А. Об относительно сильной р-секториальности линейных операторов / Г. А. Свиридюк, Г. А. Кузнецов // ДАН-1999. Т. 365, № 6. С. 736−738.

80. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения 2002. Т.38, № 7 — С.997−998.

81. Свиридюк, Г. А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн.- 1998.-Т.39, № 3. С.604−616.

82. Сидоров, Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н. А. Сидоров.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1982. 211 с.

83. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова // Дифференц. уравнения.- 1983. Т.19, № 9-С.1516−1526.

84. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987 — Т.23, № 4.-С.726−728.

85. Соболев, C. J1. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных / С. Л. Соболев // ДАН СССР 1951. Т.81, № 6.-С.1007−1009.

86. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1954. Т.18 С.3−50.

87. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998. № 3.-С.47−54.

88. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000 — Т.36, № 8 — С.1106−1112.

89. Трибель, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. ТрибельМ.: Мир, 1 980 664 с.

90. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ.- 2000. Т.12, вып.З.-С.173−200.

91. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения.- 2001. Т.37, № 12. С.1646−1649.

92. Федоров, В. Е. Единицы вырожденных аналитических полугрупп операторов и относительная р-секториальность / В. Е. Федоров // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С.138−155.

93. Федоров, В. Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Мат.- 2003. Т.67, № 4. С.171−188.

94. Федоров, В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения.- 2004 Т.40, № 5 — С.702−712.

95. Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Мат. сб.- 2004 Т.195, № 8. С.131−160.

96. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн — 2005. Т.46, № 2. С.426−448.

97. Фурсиков, А. В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье Стокса и Эйлера / А. В. Фурсиков // Мат. сб.-1981. Т.115, № 2. С.281−307.

98. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков.- Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.

99. Чистяков, В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / В. Ф. Чистяков // Функции Ляпунова и их применения: сб. науч. тр.- Новосибирск: Наука, 1987. С.231−239.

100. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1996.— 278 с.

101. Чистяков, В.Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков // Уравнения соболевского типа: сб. науч. тр.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С.156−177.

102. Шароглазов, B.C. О некоторых свойствах решений вырожденных дифференциальных уравнений / B.C. Шароглазов // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: сб. науч. тр.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1993. 214 с.

103. Шкаликов, А. А. Как определить оператор Орра-Зоммерфельда? / А. А. Шкаликов // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика 1998 — № 4 — С.36−43.

104. Эскин, Г. И. О единственности решения задачи Коши для уравнений не типа Ковалевской / Г. И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва.- 1961.-Т.Ю.- С.285−295.

105. Cobb, D. Descriptor variable systems and optimal state regulation / D. Cobb // IEEE Trans. Autom. Control 1983. Vol. 28. C.601−611.

106. Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. Pur. et Appl 1993;Vol.CLXIII.- C.353−384.

107. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. YagiNew York etc.: Marcel Dekker Inc., 1999 324 c.

108. Fedorov, V.E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary value problems / V.E. Fedorov // Contemporary Mathematics and Its Applications 2003. Vol.9. C.215−223.

109. Jonckheere, E. Variational calculus for descriptor problems / E. Jonckheere // IEEE Trans. Autom. Control.-1988. Vol. 33. C.491−495.

110. Leray, J. Essai sur mouvement plans d’un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray //J. Math. Pures Appl. Ser. IX 1934 — Vol.13, fasc.4. C.331−418.

111. Leray, J. Topologie et equations fonctionnelles / J. Leray, J. Schauder // Ann. Sci. Ecole Norm. Super Ser. 3 1934. Vol.51. C.45−78.

112. Lewis, F.L. A survey of linear singular systems / F.L. Lewis // Circuits, Systems and Signal Processing 1986 — T. 5, № 1- C.3−36.

113. Luenberger, D.G. Dynamic equations in descriptor form / D.G. Luenberger // IEEE Trans. Autom. Control 1977 — Vol. 22-C.312−321.

114. Miiller, P.C. Linear control design of linear descriptor systems / P.C. Muller // 14th Triennial World Congress.- 1999 Beijing, P.R. China.- C.31−36.

115. Oseen, C.W. Neuere methoden und ergebnisse in der Hydrodynamik / C.W. Oseen Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., 1927.-C.353.

116. Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi //J. Optimiz. Theory and Appl.- 1980. Vol. 30, № 4. C.601−620.

117. Pandolfi, L. On the regulator problem for linear degenerate control systems / L. Pandolfi // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1981. V. 33, № 2, — C.241−254.

118. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R. E Showalter // Appl. Anal.- 1975. Vol.5, № 1. C.15−22.

119. Showalter, R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R. E Showalter // SIAM J. Math.Anal.- 1975. Vol.6, № 1. C.25−42.

120. Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations / R. E Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal.- 1970 Vol.1, № 1- C. l-26.

121. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov.- Utrecht etc.: VSP, 2003. C.216.

122. Yagi, A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators / A. Yagi // Osaka J. Math 1991; Vol.28. C.385−410.Основные публикации по теме диссертации.

123. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления с относительно р-радиальным оператором / М. В. Плеханова // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т.- 2002.-С.206−214.

124. Плеханова, М. В. Совокупность соотношений, характеризующих оптимальное управление для уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова // Вестник Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика 2003. № 1. С.108−118.

125. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности управления для линейных уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова // Вестник МаГУ. Математика 2003 — Вып.4- С. 100−110.

126. Плеханова, М. В. Задачи стартового управления для линейных уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Физика. Химия.- 2005. № 6 (46).- С.43−49.

127. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления 2004 — № 5 — С.40−44.

128. Федоров, В. Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Вычислительные технологии 2004 — Т.9, К0- 2 — С.92−102.

129. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференциальные уравнения 2004 — Т.40, № 11- С.1548−1556.

130. Федоров, В. Е. Исследование одной задачи оптимального управления / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Вестник ЧГПУ. Сер.4. Естественные науки.- 2005. № 6. С.23−31.

131. Плеханова, М. В. Оптимальное управление уравнениями соболевского типа с относительно р-радиальными операторами / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф.- Екатеринбург, 2001. С.173−174.

132. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления с неотрицательным функционалом для уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения.Мат. модели: тез. докл. Междунар. науч. конф.- Челябинск, 2002.-С.82.

133. Плеханова, М. В. Оптимальное управление и относительно <�т-ограниченные операторы / М. В. Плеханова // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. Воронежск. зимн. матем. школы.- Воронеж, 2003. С.180−181.

134. Плеханова, М. В. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления для уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф.- Екатеринбург, 2003. С. 60.

135. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса начально-краевых задач / М. В. Плеханова // Студент и научно-техн. прогресс. Тез. науч. студ. докл.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003. С. 4.

136. Плеханова, М.В. О задаче оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Вестник Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки.- 2003. Т.8, вып.З.- С.432−433.

137. Плеханова, М. В. Оптимальное управление слабыми решениями уравнения соболевского типа/ М. В. Плеханова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. конф Екатеринбург, 2004 — С. 212.

138. Плеханова, М. В. Проблема квадратического регулятора для одной вырожденной системы / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Тез. докл. Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу, Абрау Дюрсо, 2004 — Ростов-на-Дону, 2004. С. 135−136.