О необходимых условиях экстремальности в задачах с односторонними ограничениями

Математическая теория оптимальных процессов, основополагающая роль в создании которой принадлежит советским ученым, возникла в середине 50-х годов в связи с запросами науки и техники. В последующие годы интенсивное исследование задач оптимального управления продолжалось как в нашей стране, так и за рубежом* В современной технике встречается целый ряд задач оптимального управления, характерной особенностью которых является необходимость учета, ограниченный на управление и траектории изучаемых систем. Они представляют собой большой интерес как для решения внутренних проблем математики, так и для ее разносторонних приложений* Такие задачи рассматривались в работах [1−2], [5−8], [12−13] и других* Тем не менее, даже для линейных систем еще не получены достаточно простые и удобные для приложений условия оптимальности при естественных предположениях на управляемую систему* Причина этого, на наш взгляд, в неудачном выборе пространства управлений* Обычно управления берут либо из класса кусочно непрерывных на некотором интервале функций (см* [2], [8], [121), либо из банахова пространства существенно ограниченных измеримых по Лебегу функций (см. [5−7], [13]) — первое не является банаховым пространством, а второе имеет неудобное сопряженное* В работе [I] было предложено рассматривать управления из банахова пространства, получаемого пополнением по равномерной норме множества кусочно непрерывных функций* Однако отсутствие изометрического представления для сопряженного пространства значительно усложнило окончательные результаты* Учитывая, что это пространство все чаще появляется в приложениях, полезно иметь для него более короткое название* В настоящей работе мы предлагаем использовать с этой целью название «пространство прерывистых функций» * Характеризующим свойством функций из этогб пространства является наличие конечных пределов справа и слева в каждой точке области определения* Оно представляет самостоятельный интерес как минимальное расширение пространства непрерывных функций, сохраняющее большую часть его основных свойств* Помимо теории оптимального управления, оно естественным образом возникает в теории случайных процессов* С этой точки зрения геометрия этого пространства рассмотрена в работах [14], [15]. Оно естественным образом возникает также в теории дифференциальных уравнений*[16] и других областях математики*.

Целью работы является исследование пространства прерывистых функций, изучение на этой основе задач оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями, получение для этих задач более удобных условий оптимальности, пригодных также и для случая бесконечномерного фазового пространства*.

Работа состоит из трех глав* В первой главе в целях единства изложения приводится с некоторыми модификациями способ исследования экстремальных задач, получивший в литературе название «метода совместного накрывания» [17]. Исторически он восходит к работам Грейвса [18] в полном и законченном виде, допускающем рассмотрение задач оптимального управления, метод развит в работах К*Ш.Цискаридзе [I]. Изложение метода следует, в основном, работе [I]* Вторая глава посвящена изучению пространств прерывистых функций и содержит результаты общего характера* В третьей главе изучается задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями впространствах*.

В первом параграфе показано, как экстремальная задача в Впространствах может быть сведена к задаче нахождения критических точек некоторого отображения > • JUL"—>- Id*, где cU-множество из В-пространства J, UВ-пространство. Пространства 3 и «множество Jiи отображение Р стандартным образом строятся по исходной экстремальной задаче».

Во втором параграфе вводится понятие дифференцируемости отображения на конусе. Приводится ряд свойств, характеризующих это понятие" Основным результатом этого параграфа и первой главы является необходимое условие критичности, которое сформулировано в конце параграфа — теорема 2.6.

Вторая глава (§§ 3−8) работы посвящается подробному изучению пространства прерывистых функций.

В третьем параграфе приводятся некоторые свойства, характеризующие пространство прерывистых функций и его подпространство, образованное непрерывными слева прерывистыми функциями.

В четвертом параграфе вводятся основные обозначения, приведены некоторые определения и факты, связанные с пространствами функций ограниченной вариации и ограниченной со-вариации. Обобщены некоторые результаты работы [3]. Определены конечно-аддитивные функции множества, порожденные функциями ограниченной вариации и ограниченной совариации. Приведен ряд свойств, характеризующих как функции ограниченной вариации и ограниченной <*> -вариации, так и порожденные ими конечно-аддитивные функции множества.

В пятом параграфе стандартным образом строится интеграл см. [9−10]) от непрерывных слева прерывистых функций по конечно-аддитивным функциям множеств, порожденных как функциями ограниченной вариации, так и функциями ограниченной со-вариации. Приведен ряд свойств этого интеграла" Эти свойства являются аналогами свойств интеграла Стильтьеса, приведенных в работах [17−18], Приведен аналог теоремы Хелли для функций ограниченной со-вариации — теорема 5*2″ С помощью приведенных свойств известная теорема Рисса о представлении линейных ограниченных функционалов на пространстве непрерывных функций сформулирована с помощью конечно-аддитивных функций множества порожденных функциями ограниченной вариации. Такая формулировка интересна тем, что в указанной форме функционал на пространстве непрерывных функций автоматически определен на пространстве прерывистых функций, с сохранением нормы.

В шестом параграфе изучаются изометрические интегральные представления линейных ограниченных функционалов и операторов, определенных как на пространстве прерывистых функций, так и на его подпространстве, образованном непрерывными слева прерывистыми функциями. Построено В-пространство слабо интегрируемых по точечной мере функций. Изучаются изометрические интегральные представления линейных ограниченных функционалов и операторов, определенных на подпространстве пространства прерывистых функций, образованном функциями со счетным носителем.

В седьмом параграфе изучаются положительные функционалы на пространстве непрерывных слева прерывистых функций. В частности, выведены условия ортогональности неотрицательного линейного функционала и неотрицательной функции. Эти условия естественным образом оказываются связанными с условием скачка в задачах оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями* В восьмом параграфе рассмотрен вопрос о расщеплении функционалов на пространстве непрерывных слева прерывистых функций при помощи проекторноэначных непрерывных слева прерывистых функций* Исследован вопрос о выделении регулярной составляющей в интегральных тождествах методом расщепления вектор-нозн&чной конечно-аддитивной функции множества с помощью проекторноэначных функций — теорема 8*6* Вопросы, изученные в параграфах семь и восемь, естественно возникают в третьей главе при анализе необходимых условий оптимальности и представляют самостоятельный интерес*.

В третьей главе (§§ 9−10) изучается задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями в В —пространствах.

В девятом параграфе выводятся необходимые условия оптимальности для общей задачи оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями* Они выводятся в классе непрерывных слева прерывистых управлений без дополнительных предположений на управляемую систему*.

В десятом параграфе исследуется линейная задача оптимального управления со смешанными односторонними ограничениями в Впространствах. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности в классе непрерывных слева прерывистых управлений* Эти условия получены без дополнительных предположений типа кусочного постоянства множества активных индексов и условий общности положения (см. [8], стр.399−400). Они удобны для приложений, могут быть полезны при разработке численных алгоритмов решения задач указанного класса. Интересно отметить следующий факт: прерывистая функция, удовлетворяющая достаточным условиям оптимальности, реализует оптимальное значение также и в классе измеримых управлений — теорема 10*5″.

Условимся в заключение, что термины и обозначения, используемые на протяжении всей работы без специальных пояснений, употребляются в том же смысле, что и в книге Н. Данфорда и Дж.Т.Шварца [91.

1. Цискаридзе К. Ш. Сб. Некоторые вопросы математической теории оптимального управления, Тбилиси, 1975.

2. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. В. Математическая теория оптимальных процессов, М., Наука, 1983.

3. Batt J., Koning Н., Darstellung linearer transformationen durch vector-wertige Eiemann-Steltjes-Integrale, Arch. Math., 10(1959), p. 273−287.

4. Batt J., Integral darstellungen linearer transformationen und schwache kompaetheit, Math. Annalen., 174- (1967), p.291−304.

5. Дубовицкий А. Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенства, ЖВММФ, 1968, 8, № 4, 725−779.

6. Дубовицкий А. Я., Милютин A.A. Принцип максимума в классе вариации, малых по абсолютной величине, для задач оптимального управления со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства. Докл. АН СССР, 1969, 189, № б, II77-II80.

7. Дубовицкий А. Я., Милютин A.A. Необходимые условия экстремума в некоторых линейных задачах со смешанными ограничениями, ОИХФ АН СССР, препринт, 1976.

8. Болтянский В. Г. Математические метода оптимального управления. М., Наука, 1969.

9. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. т.1, ИЛ, 1962.

10. Bartie R. G-., A general bilinear vector integral, Studia Math., 15 (1956), p.337−552.

11. Зулих Б.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств, М., ФМП, 1961.

12. Цинцадзе З. А. Оптимальная задача со смешанными ограничениями и общими концевыми условиями. Сб. Теория и устройства систем автоматического управления. Тбилиси, I98I.

13. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М., ФМП, 1977.

14. Гихман И. И., Скороход A.B.

Введение

в теорию случайных процессов. М., Наука, 1977.

15. Биллингсли П., Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1977.

16. Толстоногов A.A. Об одной зависимости от параметра решения дифференциального включения с невыпуклой правой частью. Дифференциальные уравнения, 9(1982), 1559−1570.

17. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н. П. Теорема Люстер-ника и теория экстремума. УМН, 1980, 35:6(216), 11−46.

18. Graves L.M., Some mapping theorems, Duke Mathem. J., 17 (1950), p.11−114.

19. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.

20. Bochner S., Taulor А.Е., Linear functionals on certain spaces of abstractly-valued functions, Ann. Math., (2)59(1953), p.915−944.

21. Maccepa X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М., Мир, 1970.

22. Картан А. Дифференциальное исчислениедифференциальные формы. М., Мир, 1971.

23. Michael E., Continuous selections, Ann. Math.,(2)63(1956), p. 361−382.

24. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М. Мир, 1964.

25. Джгаркава Д. Т. О некоторых задачах оптимального управления со смешанными ограничениями, П конференция молодых ученых закавказских республик по автоматическому управлению. Тезисы докладов, 1980, Тбилиси, с. 8−10.

26. Джгаркава Д. Т. О необходимых условиях оптимальности в задачах со смешанными ограничениями. Сообщения АН ГССР, т.97,3, 1980. с. 557−560.

27. Джгаркава Д. Т. Об условиях оптимальности для линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями. Тезисы докладов конференции молодых ученых и специалистов по проблемам прикладной математики и механики, 1981, Тбилиси, с. 59−62.

28. Джгаркава Д. Т. О необходимых и достаточных условиях оптимальности для линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями. Сообщения АН ГССР, т. Ш, № 2, 1983, с. 253−256.