Определяемость абелевых групп своими подгруппами и почти изоморфизм

Актуальность темы

Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы [J]. Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [К] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение [К], однако П. Кроули привел пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы [Сг]. В ряде работ исследуются, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (например, [G], [Р1], [Ш], [Г1], [Г2]).

Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна являлась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [С] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] теоретико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (например, [Bu], [Н], [Р2]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ([Во], с. 20−21).

Существует также логический аспект задачи о почти изоморфизме, основанный на том, что если модули почти изоморфны по чистым подмодулям, то они элементарно эквивалентны [Е].

Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернш-тейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.

Абелева группа, А называется корректной, если для любой абелевой группы В из того, что, А = В' и В = А', где, А В' подгруппы групп, А и В соответственно, следует изоморфизм, А = В [Г1].

Для абелевой группы, А обозначим соответственно через S (A) и.

Sub (A) — множества ее подгрупп и ее собственных подгрупп. Будем t говорить, что группы, А и В t-изоморфиы (обозначение, А = JB), если существует биективное отображение множества S (A) на множество S (B), при котором соответствующие подгруппы групп, А и В изоморфны. Будем говорить, что группы Aw В s-изоморфиы (обознаs чение, А = В), если существует биективное отображение множества Sub (A) на множество Sub (B), при котором соответствующие подгруппы групп, А и В изоморфны. Естественно возникает вопрос: в каких случаях^{-изоморфные} (s-изоморфные) группы изоморфны. Если абелева группа, А такова, что для любой абелевой группы В t S из, А = В (А = В) вытекает, А = В, то будем говорить, что группа, А определяется своими подгруппами (своими собственными подгруппами).

Вопрос об определяемости группы своими подгруппами (своими собственными подгруппами) представляет самостоятельный интерес и как оказалось этот вопрос тесно связан с исследованием корректных абелевых групп.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование корректных групп и групп, определяющихся своими подгруппами и своими собственными подгруппами в ряде классов абе-левых групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

• Установлены связи между t-изоморфизмом, s-изоморфизмом и почти изоморфизмом абелевых групп, а также — между опреде-ляемостью групп своими подгруппами или своими собственными подгруппами и корректностью.

• Получены критерии определяемости прямой суммы циклических групп своими подгруппами и своими собственными подгруппами, а также — корректности такой группы.

• Получено полное описание корректных периодически полных (замкнутых) р-групп.

• Исследована корректность и определяемость групп своими подгруппами или своими собственными подгруппами в классе абелевых р-групп, у которых не все инварианты Ульма-Капланского конечны.

• Получен критерий корректности обобщенно вполне разложимых групп в классе обобщенно вполне разложимых групп, а также найден критерий определяемости обобщенно вполне разложимой группы своими подгруппами в классе обобщенно вполне разложимых групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XXII и XXIII Конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2000 г. и 2001 г.), на Международной конференции «Математика в Восточных регионах Сибири» (Улан-Удэ, 2000 г.), на Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск,.

2000 г.), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург,.

2001 г.), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002 г.), на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях. В совместной статье постановка задачи и выбор метода исследования принадлежит С. Я. Гриншпону. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства всех теорем.

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Первая и вторая главы содержат по три параграфа, третья глава — два параграфа. Работа изложена на 69 страницах.

Список литературы

содержит 37 наименования.

1. Бо. Борсук К. Теория ретрактов. — М.: Мир, 1971.

2. Г1. Гриншпон Я. f.i.-корректность абелевых групп без кручения/ / Абелевы группы и модули. — 1989. — Вып. 8. — 65−79.

3. Г2. Гриншпон Я. f.i.-корректные абелевы группы / / Успехиматем. наук. — 1999. — Я 6^. — 155−156.

4. ГЗ. Гриншпон Я. Вполне характеристические подгруппыабелевых групп и вполне транзитивность: Дисс. … докт. физ.мат. наук. — Томск. — 2000.

5. Ку1. Куликов Л. Я. К теории абелевых групп произвольноймощности / / Матем. сб. — 1941. — Jf^ 9. — 165−182.

6. Ку2. Куликов Л. Я. К теории абелсвых групп произвольноймощности / / Матем. сб. — 1945. — X¹⁶. — 129−162.

7. П. Приходько И. А. Е-корректные абелевы группы / / Абелевыгруппы и модули, — 1984. — 90−99.

8. Р1. Росошек К. Строго чисто корректные абелевы группы безкручения / / Абелевы группы и модули. — 1979. — 143−150.

9. Р2. Росошек К. Чисто корректные модули / / Изв. ВУЗов.

10. Математика. — 1978. — Я¹⁰. — 143−150.

11. Ф1. Фукс л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. — М.: Мир, 1974.

12. Ф2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. — М.: Мир, 1977.

13. Ш. Шерстнева А. И. U-последовательности и почти изоморфизмабелевых р-грунп по вполне характеристическим подгруппам / / Изв. ВУЗов. Математика. — 2001. — JV^ 5. — 72−80.

14. Ва. Baer R. Der Kern, eine charakteristische Untergruppe / / Compositio Math. — 1934. — K l^ - P. 254−283.

15. Bu. Bumby R. Modules which isomorphic to submodules each other/ / Arch. Math. — 1965. — V. 16. — P. 184−185.

16. C. Cornel I. Some ring theoretic Schroder-Bernstein theorems / /.

17. Trans. Amer. Math. Soc. — 1968. — V. 132. — P. 335−351.

18. Cr. Crawly P. Solution of Kaplansky’s test problem for primaryabelian groups / / J. Algebra. — 1965. — No. 4. — P. 413−431.

19. E. Eklof P., Sabbagh G. Model-completions and modules / / Ann.

20. Math. Log. — 1971. — V. 2. — P. 251−299.

22. G. de Groot J. Equivalent abelian groups / / Canad. J. Math. — 1957. No. 9. — P. 291−297.

23. H. Holzsager R., Hallahan C. Mutual direct summands / / Arch.

24. Math. — 1974. — V. 25. — P. 591−592.

25. J. Jonson B. On direct decomposition of torsion free abelian groups/ / Math. Scand. — 1959. — No. 2. — P. 361−371.

26. K. Kaplansky I. Infinite abelian groups. — Michigan: Univ. of Michigan Press. Ann Arbor, 1954.

27. Meg. Megibben Ch. Separable mixed group / / Comment. Math. Univ.

28. Carolin. — 1980. — No. 4. — P. 755−768.

29. Prl. Priifer H. UnendHche abelsche Gruppen von Elementen endUcher.

30. Ordnung, Dissertation / / BerUn. — 1921.

31. Pr2. Priifer H. Untersuchungen iiber die Zerlegbarkeit der abzahlbarenprimaren abelschen Gruppen / / Math. Z. — 1923. — № 17. — P. 35−61.

32. S. Szele T. On the basic subgroups of abehan p-groups / / Acta Math.

33. Acad. Sci. Hungar. — 1954. — V. 5 — P. 129−141.

34. TK. Trnkova V., Koubek V. The Cantor-Bernstein theorem for fuctors/ / Comment. Math. Univ. Carol. — 1973. — V. 14. — P. 197−204.

35. Ml. Мордовской A. K. Абелевы группы с соответственноизоморфными подгруппами / / Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ2000), посвященный памяти М. А. Лаврентьева (1900;1980):

36. Тезисы докладов, ч. IV — Новосибирск. — 2000. — 111−112.

37. М2. Мордовской А. К. Связь строения абелевых групп со строениемее подгрупп / / Математика и методы ее преподавания. — Улан1. Удэ. — 2000. — 57−60.

38. М4. Мордовской А. К. Изоморфизм подгрупп абелевых групп / /.

39. Абелевы группы и модули. — 2000, — Вып. 15. — 38−45.

40. М5. Мордовской А. К. Прямые суммы абелевых групп ссоответственно изоморфными подгруппами / / Аналитические и численные методы в математике и механике. Труды XXII.

41. Конференции молодых ученых механико-математическогофакультета МГУ. — М. МГУ. — 2001. — 120−121.

42. Мб. Мордовской А. К. Определяемость прямых сумм циклическихгрупп своими подгруппами / / Международный семинар по теории групп, посвященный 70-лети1о А. И. Старостина и 80летию Н. Ф. Сесекина. Тезисы докладов. — Екатеринбург. 2001. — 147−150.

43. М7. Гриншпоп Я., Мордовской А. К. Определяемостьабелевых групп своими подгруппами и почти изоморфизм / / Исследования по математическому анализу и алгебре.

44. Томск. — 2001. — Вып. 3. — 72−80.

45. М8. Мордовской А. К. Группы, определяюш, иеся своимиподгруппами / / Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. Часть II. — М.

47. М9. Мордовской А. К. Абелевы группы без собственных подгрупп, изоморфных группе / / Международная конференция «Алгебра и ее приложения». Тезисы докладов. — Красноярск. — 2002. — 88−89.

48. М10. Мордовской А. К. Факторно редуцированная корректностьпериодически полных р-групп / / Международная конференция по математике и механике. Тезисы докладов. 1. Томск. — 2003. — 51.