Распространение вычетного метода на смешанные задачи, содержащие в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении

Хорошо известны такие классические методы решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как метод Фурье, применяемые к задачам, решения которых допускают разложения в ряды Фурье по полным ортогональным системам собственных функций соответствующих спектральных задач, более общий метод^{урье-Биркгофа,} когда соответствующая спектральная задача и задача ей сопряженная имеют полные системы биортогональ-ных функций, метод теории потенциала, применяемые к граничным задачам для эллиптических уравнений, метод теории теплового потенциала, применяемые к смешанным задачам для уравнений параболического типа. Преимущество этих методов над другими прежде всего заключается в том, что помимо того, что они применяются к доказательству существования решения рассматриваемой задачи, они позволяют получить аналитические представления решений изучаемых ими задач. Как известно, эти аналитические представления позволяют изучать корректность задач, строить приближенные решения, провести численный расчет и т. д.

В связи с многочисленными задачами, встречающимися в приложении и неохватываемыми классическими методами в работах [ 1−6 ] был разработан вычетный метод решения широких классов смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, который в общих словах заключается в следующем:

Сначала рассматриваемой смешанной задаче сопоставляются более простые задачи, первая из которых есть спектральная задача (граничная задача с комплексным параметром), вторая задача Коти с комплексным параметром для обыкновенного дифференциального уравнения по временному переменному. Далее для соответствующей спектральной задачи доказывается теорема разложения функции действительного аргумента в ряд по вычетам решения спектральной задачи. Наконец, с помощью данной формулы разложения доказывается, что если рассматриваемая смешанная задача имеет решение, то оно представляется в виде полного вычета вполне определенной мероморфной функции, связанной с решениями спектральной задачи и задачи Коши с комплексным параметром для обыкновенного дифференциального уравнения по временному переменному.

Такая схема вычетного метода сначала в работах [ 1−4 ] была обоснована для решения смешанных задач, не содержащих в граничных условиях производных по времени старших порядков '.

Далее в связи с многочисленными задачами, встречающимися в приложении (см. например, С 8−9 /) оказалось необходимым обоснование вышеописанной схемы-вычетного метода для смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени старших порядков, что сделано в работах [ 5−6 ].

Оставалось открытым обоснование вышеописанной схемы вычетного метода для смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении, чему и посвящена настоящая диссертация. Исследование этих задач требовало особого подхода к их изучению. Прежде всего пришлось накладывать на решение изучаемой смешанной задачи (4.1)—(4.3) более жесткие требования гладкости в связи с тем, что рассматриваемую смешанную задачу необходимо было привести к эквивалентной, в некотором смысле, смешанной задаче, содержащей в граничных условиях производные по времени только младших порядков. Для этой цели в граничных условиях все произ.

Известно, что если граничные условия рассматриваемой смешанной задачи содержат производные по времени, то соответствующая спектральная задача, как правило, оказывается несамосопряженной. водные по времени высоких порядков заменялись другими использованием самого уравнения. После такого преобразования рассматриваемая смешанная задача приводится к смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени. Но спектральная задача, соответствующая этой задаче содержит в граничных условиях производные более высоких порядков, чем уравнения спектральной задачи. Более того получения вычетного представления решения последней смешанной задачи (5.6)—(5.8), не содержащей в граничных условиях производных по времени требует доказательства, необходимой формулы кратных разложений, чему и посвящена первая глава диссертации. В § I этой главы получены асимптотические представления характеристического определителя Д (Л) функции Грина G (*>J, Л) спектральной задачи, соответствующей исходной смешанной задаче и собственных значений (т.е. нулей характеристического определителя). В этом параграфе сформулированы основные условия, при выполнении которых доказана теорема I об асимптотическом представлении характеристического определителя Л (Я) и его нулей, которые являются полюсами решения спектральной задачи (см. теорему I).

Второй параграф первой главы посвящен изучению асимптотического представления функции Грина вне некоторой Sокрестности нулей характеристического определителя. В этом параграфе доказана теорема 2 об асимптотическом поведении функции Грина вне некоторой Sокрестности полюсов (нулей л (Я)) и дано определение регулярных спектральных задач. Для дальнейших целей в ней получены более точные асимптотические представления (2.15), (2.16) функции Грина спектральной задачи (см. теорему 3).

Третий параграф первой главы посвящен доказательству основной теоремы 10, о справедливости формулы кратных разложений.

3.27). Для этой цели предварительно доказаны вспомогательные теоремы 4−9, имеющие также самостоятельные значения: доказана теорема 4 об асимптотическом представлении решения спектральной задачи для непрерывно-дифференцируемой правой части /!(х) уравнения спектральной задачи (см. формулу (3.7)). Доказана теорема 5 о справедливости формул разложения произвольной непре-рывно-дафференвдуемой функции на /~0,1/ и трижды непрерывно-дифференцируемой функции ф0(х). Доказана теорема 6 об асимптотическом представлении решения однородного уравнения при неоднородных граничных условиях спектральной задачи, соответствующей исходной смешанной задаче. Доказана теорема 8 о полном вычете этого решения. Наконец доказана теорема 9 о полном вычете решения спектральной задачи, соответствующей исходной смешанной задаче. При этом заметим, что теоремы 2,4,5, 6,7,8,9,10 доказываются для случая, когда корни характеристического уравнения в смысле Биркгофа сохраняют разные знаки на интервале Сл> & J — Теоремы 11,12,13,14,15 и 16 аналогичные соответственно теоремам 4,5,7,8,9,10 доказываются при предположении, когда корни характеристического уравнения Lff, сохраняют одинаковый знак на интервале Го, ё] .

Вторая глава посвящена установлению вычетного представления решения смешанной задачи (4.1)-(4.3). Эта глава состоит из 4-х параграфов §§ 4−7. В параграфе 4 дается постановка изучаемой смешанной задачи и приводится соответствующая ей спектральная задача, которая может быть получена применением интегрального оператора Лапласа.

J е VfrV*. О к обеим частям уравнения (4.1), граничного условия (4.2) с учетом начальных условий (4.3).

Пятый параграф посвящен приведению поставленной смешенной задачи (4.1)—(4.3) к эквивалентной, в некотором смысле смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени. В этом же параграфе строится решение соответствующей ей спектральной задачи.

Шестой параграф посвящен получению вычетного представления решения изучаемой смешанной задачи. В нем прежде всего дано определение достаточно гладкого решения изучаемой смешанной задачи. Затем установлены условия, при которых решения изучаемой смешанной задачи представимо в виде полного вычета определенной мероморфной функции (см. формулу (6.21)). В этом параграфе при определенных вполне естественных условиях доказана теорема 17 о представимости решения приведенной смешанной задачи в виде полного вычета определенной мероморфной функции по комплексному параметру.

Наконец, при естественных условиях доказана теорема 18 о представимости решения изучаемой смешанной задачи в виде полного вычета определенной мероморфной функции, конструируемой с помощью решения соответствующей спектральной задачи (см. формулу (6.21)).

Параграф седьмой П главы посвящен разбору одного примера.

О (Л смешанной задачи, для уравнения струны, содержащей в граничных условиях производные по времени 3-го порядка, охватываемого изложенной здесь теорией. Характерной особенностью решаемого здесь примера является не только то, что граничные условия задачи может содержать производные более высокого порядка (порядка 3), чем в уравнении изучаемой смешанной задачи, но помимо того, в частности, если граничные условия не содержат производных по времени, то получаемая задача также не охватывается классическими методами (методом Фурье и методом Фурье-Виркгофа), в силу того, что все полюсы решения спектральной задачи оказываются кратными. В этом случае произведен полный расчет решения, который получен в виде ряда (7.59).

Наконец заметим, что результаты работы опубликованы в работах [ 14−17 ] автора.

1. М. Л. Расулов. Исследование вычетного метода решения некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений. — Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук. Баку, Азгосуниверситет им. С. М. Кирова, 1948, 95 стр.

2. М. Л. Расулов. Исследование вычетного метода решения смешанных задач для дифференциальных уравнений. Матем.сборн., 1952, вып.30, й 3, стр.509−528.

3. М. Л. Расулов. Вычетный метод решения смешанных задач для дифференциальных уравнений и формулы разложения произвольной вектор-функции. -Матем.сборн., 1959, т.48, $ 3, с.277−310.

4. М. Л. Расулов. Метод контурного интеграла. М, «Наука», 1964, 462 стр.

5. М. Л. Расулов. Об одном применении вычетного метода. -Дифференциальные уравнения, 1982, т. ХУШ, В 5, стр.877−885.

6. М. Л. Расулов. Формула разложения в случае спектральной задачи, содержащей в граничных условиях производные более высоких порядков, чем в уравнении. Диф. уравнения, 1982, № 12, стр.2149−2166.

7. Тамаркин Я. Д. 0 некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложение произвольных функций в ряды. Петроград, 1917, 308 стр.

8. Чарный И. А. Подземная гидромеханика. Гостехиздат, 1948, 195 стр.

9. Власов В. П. и Маркин С. А. Решение нестационарной задачи теплопроводности для стержня, на концах которого закреплены две массы. Журн.технич.физики, АН СССР, 30, 9, I960, стр.1128—1133.

10. Петровский И. Г. 0 проблеме Коши для систем линейных- 91 уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюлл. МГУ, секция А., 1938, вып.7, I, стр.2−72.

11. Намазов В. М. Применение метода контурного интеграла к исследованию одномерных смешанных задач для систем Ковалевской с разрывными коэффициентами. Кандидатская диссертация. Баку, Азгосуниверситет игл.С. М. Кирова, 1967, 109 стр.

12. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. -М., Гостехиздат: 1954, 351 стр.

13. Намазов В. М. О разрешимости одномерной смешанной задачи для системы Ковалевской с разрывными коэффициентами и формула разложения, связанная с ней. Уч.зап. Азгосуниверситета, серия физико-математическая, № 6, 1966, стр.18−27.

14. Вагабзаде Г. Б. Изучение одной спектральной задачи. -Материалы 1У республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, Баку, изд. «Злм», 1983, стр.92−96.

15. Вагабзаде Г. Б. Об одной формуле кратных разложений. -В сб.: Дифференциальные уравнения и их применения. Изд-во А1У, 1983, стр.22−26.

16. Вагабзаде Г. Б. Изучение одной спектральной задачи, содержащей в граничных условиях более высокие степени спектрального параметра, чем в уравнении. Депон. в АзНИИНШ JII2 (146), с. 149, 1983 г.

17. Вагабзаде Г. Б. Решение смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении. Депон. АзНШНТИ В 3 (149), 1984 г., с. 153.