Устранимые особенности решений эллиптических уравнений

Задачи о продолжении решений дифференциальных уравнений с частными производными традиционно привлекают внимание большого числа исследователей. Центральное место среди них занимает задача об устранимых особенностях решений дифференциального уравнения в заданном множестве функций (функциональном классе). Рассмотренная впервые для аналитических и гармонических функций (т.е. для решений уравнения Коши-Римана и решений уравнения Лапласа) в теории функций одного комплексного переменного, эта задача может быть сформулирована в общем виде следующим образом.

Пусть в области G С Мп, п > 2, задано непустое множество Е ф Сг, замкнутое относительно этой области, функциональный классН" (6г), элементы которого в дальнейшем всегда предполагаются локально суммируемыми функциями в С, и класс Др (Сг), состоящий из всех решений дифференциального уравнения в частных производных Р/ = 0, при этом Др (Сг) П Н (0) ф 0 (во всех конкретных случаях, которые будут рассматриваться ниже, мы будем уточнять требования на класс Я ((7), дифференциальное уравнение Pf = 0, и то, в каком смысле понимаются решения этого уравнения). Спрашивается, при каких условиях на Е каждая функция из класса являющаяся решением уравнения Р/ = 0 на множестве С Е, может быть продолжена с С Е на С до функции из класса Ар (0) П Н (0)1 Если последнее имеет место, то мы говорим, что множество Е устранимо для решений уравнения Р/ = 0 (или Р-устранимо) в классе.

Первая теорема о стирании особенностей была получена Ри-маном. В своей докторской диссертации (1851, см. [43] и комментарии в [22]) он установил устранимость изолированной особой точки го для гармонической функции двух действительных переменных при условии, что модуль ее градиента ведет себя при 2 —"¦ ¿-о как о (г — В этой же работе он сформулировал теорему о стирании особенностей, расположенных на дуге кривой, на которой функция непрерывна и в окрестности которой она аналитична (голоморфна). Риман не привел строгого доказательства этого утверждения, которое без дополнительных ограничений на дугу может оказаться и неверным. Однако, как показал П. Пенлеве [101] (1888), оно справедливо при условии спрямляемости дуги, которое, по-видимому, неявно подразумевалось Риманом. Этот результат является частным случаем доказанной П. Пенлеве более общей теоремы об устранимости компактов с конечной длиной по Хаусдорфу для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на множество своих особенностей. Другим важным результатом, который был установлен в упомянутой работе П. Пенлеве, была устранимость компактов с нулевой длиной (по Хаусдорфу) для ограниченных голоморфных функций.

В обратном направлении, А. Данжуа [70] показал неустранимость для ограниченных голоморфных функций компактов положительной длины, расположенных на прямой. П. Пенлеве предполагал, что всякий всюду разрывный компакт К (т.е. компакт, содержащий лишь одноточечные компоненты связности) устраним для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на К, но эта гипотеза была опровергнута Д. Помпейю [103], построившим пример всюду разрывного компакта К С С с положительной площадью и непрерывной и ограниченной в С непостоянной функции /(г), голоморфной в С К. Однако, оригинальное доказательство Помпейю содержало пробел, устраненный в 1909 г. А. Данжуа [69].

Важную роль в дальнейшем развитии теории особых точек аналитических функций сыграла опубликованная в 1916 г. магистерская диссертация В. В. Голубева (см. [5]). В этой диссертации он построил пример типа Помпейю-Данжуа с компактом К нулевой площади (что оказалось существенно более сложным) и сформулировал гипотезу о том, что для компакта К, не разбивающего комплексную плоскость С на несколько частных областей, всякая однозначная аналитическая функция /(?), z Е С К, может быть представлена в виде /(г) = где — последовательность комплексных борелевских мер, сосредоточенных на К, а ряд сходится к /(г) равномерно на компактных подмножествах области С К. Простоявшая открытой почти полвека, гипотеза В. В. Голубева была опровергнута А. Г. Витушкиным [3], построившим удивительный пример функции f (z)1 непрерывной в С, голоморфной вне всюду разрывного совершенного компакта К, каждая точка которого является особой для нее, и не представимой рядом Голубева, при этом /(г) с1г = 0 для любого замкнутого контура 7 С С К.

Другой тип теорем об устранимых особенностях аналитических функций предложил в 1919 г. В. С. Федоров [48]. Он доказал, что любая функция непрерывная в области С С С, равная нулю во всех точках некоторого всюду разрывного компакта К С С и голоморфная в С К, является голоморфной в С. Опубликованная в малодоступном издании во время Гражданской войны, работа В. С. Федорова [48] была многие годы неизвестной широкому кругу специалистов, и сейчас результаты подобного типа обычно связывают с именем Т. Радо, который в 1924 г. снял в теореме В. С. Федорова условие всюду разрывности и компактности особого множества, на котором функция равна нулю (см. [105]). Наиболее сильный результат в направлении дальнейшего ослабления условий в теореме В. С. Федорова принадлежит к настоящему времени Ю. Ю. Трохимчуку [47]: если область (7 С С представлена в виде не более чем счетного объединения попарно непересекающихся множеств, а функция f (z) непрерывна в G и моногенна на каждом из этих множеств, то f (z) голоморфна в G. (Напомним, что моногенность функции f (z) на множестве Е С С означает, что в каждой точке z Е Е, являющейся предельной для Е, существует конечный предел lim ZKlzZiil).

Приведем еще один результат В. С. Федорова, в котором впервые появилась неоднократно используемая в дальнейшем идея классификации локально суммируемых либо непрерывных функций по скорости их локальных аппроксимаций в соответствующей метрике решениями дифференциального уравнения с частными производными. В работе [49] (1928) он доказал, что если компакт К не разбивает область G С С на несколько частных областей, то для того, чтобы любая функция f (z), непрерывная в G и голоморфная в G К, представлялась в виде f (z) = g{z) + fKp (()((- z? G К, где функция p (() существенно ограничена на К, а функция g (z) голоморфна в G, необходимо и достаточно, чтобы для каждого круга {|С — z < г} (е G нашелся полином p (z) такой, что.

SUP|C-Z|< C (f)r.

Существенное продвижение в изучении устранимых множеств для голоморфных функций одного комплексного переменного произошло на рубеже 1950;60 гг.

С одной стороны, в 1959 г. А. Г. Витушкин [2] построил пример компакта К, устранимого для ограниченных голоморфных функций, который имеет положительную линейную меру Хаусдорфа. Более простой пример такого компакта предложили позднее Л. Д. Иванов (см. [11]) и независимо Дж. Гарнетт [74]. Отличительной особенностью этих примеров является то, что для почти каждой прямой /, проходящей через начало координат О, линейная мера Лебега проекции К на I равна нулю, или, в других терминах, компакт К имеет нулевую меру Фава-ра. В связи с этим в начале 1960;х гг. А. Г. Витушкин высказал гипотезу о том, что устранимость компакта для ограниченных голоморфных функций равносильна равенству нулю его меры Фавара. Эта гипотеза в значительной степени определила дальнейшее направление исследований, связанное с названной именем Пенлеве проблемой описания компактов, устранимых для ограниченных голоморфных функций, и привела к формированию в 1990;х гг. понятия кривизны меры (М. С. Мельников), в терминах которого Х. Толса [112] получил в 2001 г. решение этой проблемы. Не приводя формулировки теоремы Тол-сы и результатов, непосредственно предшествовавших ей (см. [102, 95, 23]), отметим, что гипотеза Витушкина подтвердилась для компактов с конечной длиной (Г.Давид [66]), а в общем случае ответ на нее отрицательный (П. Маттила, 1986).

С другой стороны, в 1961 г. Е. П. Долженко (см. [7]) показал, что множество Е, замкнутое относительно содержащей ее области С С С, устранимо для решений однородного уравнения Коши-Римана в классе функций, удовлетворяющих в С условию Гельдера с показателем, а Е (0, 1), тогда и только тогда, когда хаусдорфова мера Е порядка 1 + а равняется нулю: т. ез1+аЕ = 0. Это был первый результат, в котором устранимые особенности решений дифференциального уравнения с частными производными были охарактеризованы в терминах хаусдорфовых мер, и в дальнейшем он получил значительное развитие.

Для формулировки следующих результатов напомним определения некоторых функциональных классов. Пусть — область в Мп и пусть, как обычно, [5] и {я} обозначают соответственно целую и дробную части действительного числа 5. По определению, класс Зигмунда Z{G) состоит из всех непрерывных функций / в области С, для которых конечна точная верхняя грань величины }{х — ^ — }(х + К)/К, взятая по всем х? й и 1 г Е Шп {0} таким, что замкнутый отрезок с концами х — Н и х + к целиком лежит в £г. Для заданного действительного, а > 0 определим класс Гельдера-Зигмунда Аа ((7) как множество всех непрерывных функций / в области С, таких, что при нецелом, а функция / является [а] раз непрерывно дифференцируемой и все ее частные производные порядка [а] удовлетворяют в С условию Гельдера с показателем {о:}, а при целом, а функция f имеет непрерывные частные производные всех порядков < а — 1, причем производные порядка, а — 1 принадлежат классу Z (G). Если к Е N0 := {0,1,.} и 0 < а < 1, то Ак+а (СГ) =: Ск+а© =: Ск>а (в) — Ск (в) и Ск>) — соответственно множество к раз непрерывно дифференцируемых функций вСи его подмножество, состоящее из функций, все частные производные порядка к которых удовлетворяют в G условию условию Гельдера с показателем, а = 1 (условию Лип-щица), C°(G) =: C (G) — множество всех непрерывных функций в области G.

В дальнейшем Е всегда обозначает непустое подмножество области G С Mn, Е ф замкнутое относительно этой области, т. е. такое, что множество GE открыто.

Сформулированный выше результат Е. П. Долженко об устранимых особенностях голоморфных функций справедлив и при, а = 1: достаточность условия mes2E = 0 была доказана для этого случая в [7], а необходимость установлена в 1977 г. Н. X. Уи [115,116] (более простое доказательство было предложено позднее С. В. Хрущевым [53], см. также [47]). В классе Зигмунда подобная характеризация уже невозможна: как показали X. Кар-мона и Х. Донэр [65] из равенства нулю хаусдорфовой меры mesдК компакта К С С относительно измеряющей функции g (t) := t2 л/log log log (1/t), 0 < t < exp (—ee), вытекает его устранимость для голоморфных функций в классе Z©, при этом существует неустранимый компакт К с mes^i^i < оо и устранимый К2 с mes^i^ — 00 (для голоморфных функций в классе Z (C)).

Результаты типа теоремы Долженко имеют место и для гармонических функций. А именно, для устранимости подмножества Е области G С Mn, п > 2, для гармонических функций в классе Aa (G%c, 0 < а < 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие mesп~2+аЕ = 0. Для случая a G (0, 1) этот результат был получен JI. Карлесоном [15, 64], при a G (1, 2) — Е. П. Долженко [8, 9], случай, а = 1 рассмотрен Д. Матеу pi Д. Оробичем [94] и независимо Д. Ульрихом [114]. X. Вер дера [117] показал, что условие mcsnE — 0 характеризует устранимость множества Е для гармонических функций в классе.

Си (<?) юс.

Важную роль в развитии результатов Е. П. Долженко pi Л. Кар-лесона сыграла работа Р. Харви и Дж. Полкинга [78], посвященная устранимым особенностям слабых решений линейного дифференциального уравнения Pf = 0 порядка ш, коэффициенты которого m раз непрерывно дифференцируемы в области G С W1. В этой работе было показано, что равенство mesп-т+к+аЕ = 0 является достаточным условием устранимости множества Е С G для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Ck’a (G), где к G N0, a G (0, 1], 0 < п — m + кf, а < п. Р. Харви и Дж. Полкинг [78] рассмотрели также устранимые множества для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Соболева W?(G) при к G No, 1<�р<�оо, 0 < п — q (jn — к) < п, где q = р/(р — 1), Wp (G) =: LP (G). Они установили, что в этом случае выполнение условия mes" < оо обеспечивает устранимость множества Е (для оператора Лапласа, А и к = 0 это было доказано ранее Л. Карлесоном [15]).

Результаты Р. Харви и Дж. Полкинга обобщались и развивались в нескольких направлениях. Так, в терминах введенных им анизотропных хаусдорфовых мер Й. Крал [86, 87] охарактеризовал устранимые особенности решений полуэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами в специальных анизотропных классах типа Кампанато. С другой стороны, И. Ю. Чесноков [54] рассмотрел линейный оператор Р с достаточно гладкими коэффициентами, порядок которого по какой-то группе переменных меньше его порядка по всем переменным, и в терминах равенства нулю хаусдорфовой меры проекции особого множества на одну из координатных гиперплоскостей обобщил приведенную выше теорему Р. Харви и Дж. Полкинга об устранимых особенностях слабых решений уравнения Pf = 0 в классах Гельдера.

В 1980 г. Р. Кауфман и Дж. М. Ву [82] получили достаточное условие голоморфности локально суммируемой функции в комплексной области в терминах ее локальных приближений в среднем голоморфными функциями. Б. Ж. Ищановым [12] этот результат был распространен на случай слабых решений линейных уравнений с гладкими коэффициентами. В дальнейшем, в терминах локальных приближений в среднем решениями соответствующего уравнения Б. Ж. Ищанов [13] выделил классы функций, в которых устранимость множества для полианалитических и полигармонических функций характеризуются условием равенства нулю его хаусдорфовой меры относительно произвольно заданной измеряющей функции. Обобщение этого результата на решения полуэллиптических уравнений с постоянным коэффициентами и квазиоднородной левой частью было получено автором [35, 37]. В качестве его следствия установлено, что для однородного эллиптического оператора Р порядка т с постоянными коэффициентами в R7' условие mesn~m+aE = 0 характеризует устранимость множества Е в области G С Мп для решений уравнения Р f = 0 в классе Гельдера-Зигмунда Аа (G)oc, где показатель гладкости, а > 0 удовлетворяет двойному неравенству 0 < п — т—а < п.

Остановимся теперь на развитии результатов B.C. Федорова и Т. Радо. В 1983 г. Й. Крал [88] доказал, что любая непрерывно дифференцируемая функция в области G С п > 2, равная нулю на замкнутом множестве Е С G и гармоническая в G Е, является гармонической в G. В работе [89] он распространил этот результат на решения линейных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. И. Ю. Чесноков [55] обобщил сформулированную теорему Крала на полигармонические функции порядка к в классе C2k~1(G) (к G N). В работе [81] результаты Крала распространены на широкий класс квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка, включающий рассматриваемое ниже уравнение div (| V/|P-2V/) = 0 и уравнение минимальных поверхностей.

С другой стороны, Б. Ж. Ищанов [14] установил гармоничность в области G С Rn, п > 2, функции и Е C (G), равной нулю на всюду разрывном компакте К С (2, гармонической в С К, и такой, что интеграл от ее нормальной производной равен нулю по любой замкнутой гладкой гиперповерхности, не пересекающей К. Этот результат обобщает теорему В. С. Федорова [50], который рассматривал случай п — 2 при условии непрерывной продолжаемости на К функции, гармонически сопряженной к и (х).

В упомянутых выше результатах гладкость коэффициентов линейного эллиптического уравнения играла существенную роль Она гарантировала совпадение его обобщенных решений с классическими и их принадлежность к рассматриваемому классу функций.

Для линейных равномерно эллиптических уравнений с негладкими, в частности, с разрывными коэффициентами, ситуация более сложная, и результаты об устранимых особенностях решений таких уравнений могут существенно отличаться от соответствующих результатов для уравнений с гладкими коэффициентами. Например, легко проверить, что любая не тождественная нулю линейная функция не является обобщенным решением в уравнения сНу (а (ж)7/) = 0, где а (х) = 1 внутри единичного куба и а{х) = 2 в Шп Это означает, что граница единичного куба не является устранимым множеством для обобщенных решений рассматриваемого уравнения в классе бесконечно дифференцируемых функций, в то время как для решений уравнения Лапласа (т.е. для гармонических функций) она устранима уже в классе непрерывно дифференцируемых функций. С другой стороны, Д. Гилбарг и Дж. Серрин [76] установили, что, в отличие от дивергентного случая, решения однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами могут иметь изолированные особенности даже в классах Гельдера.

Эти результаты объясняют причину отсутствия метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными коэффициентами: их получение связано как с новыми постановками задач об устранимых особенностях, так и с новыми условиями устранимости.

Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка основную массу известных результатов об устранимых особенностях их решений можно условно разделить на две группы. В первой из них, которая восходит к работе Дж. Серрина [109], исследуется связь структурных условий, накладываемых на уравнение, со степенью суммируемости либо допустимым порядком роста его решений вблизи особого множества, достаточных для устранимости этого множества. При этом основное внимание уделялось случаям, когда особое множество является либо изолированной точкой, либо гладким многообразием [109, 118, 45]. Вторую группу образуют результаты, в которых исследуется эффект продолжаемости всех решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка из заданной области без условия их принадлежности к какому-либо функциональному классу [57, 60, 68, 100, 96, 110, 62]. Классическим примером такого результата является теорема Л. Берса [60] об отсутствии изолированных особенностей у решений уравнения минимальных поверхностей.

Единственный результат о метрической характеризации устранимых множеств был получен для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в работе Т. Килпелайнена и Ч. Жонга [85]. В этой работе было показано, что устранимость множества Е в области (? С М" для обобщенных решений (из ]?1,р (С)ос) квазилинейного эллиптического уравнения сИу (|7/|р-2У/) = 0 в классе Са (О)с характеризуется условием шее п~р+Ф~1)е = 0- здесь 1<�р<�оо, 0<с*<1, п — р + а (р — 1) > 0.

Целью настоящей диссертационной работы является получение метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами и для решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Вначале напомним некоторые определения и введем обозначения, которые будут использоваться на протяжении всей работы.

Всюду далее, за исключением обозначений пространств непрерывных функций, выражения вида С (а, /3,.), /3,.), .обозначают действительные неотрицательные величины, зависящие только от а, (3 и т. д., при этом в разных формулах величины с одним и тем же обозначением, вообще говоря, различны между собой.

На протяжении всей диссертации мы рассматриваем только измеримые по Лебегу функции, которые в главах 1−3 принимают значения в поле действительных чисел I, а в главе 4 — в поле комплексных чисел С.

Напомним, что под функциональным классом в области в диссертации понимается произвольное непустое подмножество пространства Ь (0) 1ос функций, локально суммируемых в С. Если в каждой области С С Мп определен некоторый функциональный класс Н©, при этом для произвольной пары областей С С К77, сужение на С любой функции из принадлежит классу Н{Сг 1), то Н (Сг)ос обозначает множество всех функций из Ь (0) 10С, сужение которых на любую подобласть во^в принадлежит классу Н (Со).

Пусть С — область в или в С, 1 < р < оо. Как обычно, Ьр{Ст) — линейное пространство всех функций /, определенных в С, для которых конечна норма.

W1,P (G) — соболевское пространство всех функций /, имеющих обобщенные производные djf = J^-, j — 1, то, для которых конечна норма п / Г 1/р / Г г/р fW^(G)\ :=? Ц d3f (x)" dxj + f (x)" «dxj ,.

Wq, p (G) — замыкание множества Cq°(G) финитных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в G по норме пространства L^G) — линейное пространство всех существенно ограниченных в G функций / с нормой.

Ах>(<3)|| := supvrai^^ f (x).

Если х G W1 иг > 0, то В (х, г) обозначает открытый евклидов шар с центром в точке х и радиусом г: -В (ж, г) := {у Е Шп: х — у < г}.

Пусть ¿-о > 0- d{t) ~~ положительная непрерывная неубывающая функция, определенная при 0 < t < ¿-о, и пусть Е — множество в W1. Напомним, что (внешней) мерой Хаусдорфа mes^ Е множества Е относительно измеряющей функции g называется конечный или равный +оо предел при t —^ 0 величины inf Е^М), где точная нижняя грань берется по всем не более чем счетным наборам открытых шаров гг)}^ с.

П < образующих покрытие множества Е. Если g (t) = ta, а > 0, то хаусдорфова мера множества Е отосительно измеряющей функции g называется мерой Хаусдорфа порядка, а множества Е и обозначается mes" «Е.

В главе 1 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в дивергентной форме.

Пусть G — ограниченная область в 1″ «, п > 2, п п п.

Lf=Yl di (aij (x)djf) + ]Г di{bi{x)f) + а{хЩ/ + d (x)f i, j=l г=1 г=1 линейный дифференциальный оператор с измеримыми ограниченными коэффициентами а^{х) = a, ji (x), Ci (x) и d (pc) в области G (ijj = 1,., п), удовлетворяющий следующему условию равномерной эллиптичности: существует такое Л G (О, 1], что для всех? G Мп и для почти всех х G G выполняется неравенство п.

А|£|2< A-1 IfI2- (0−1) i, j=1.

Наибольшее такое Л называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора L и обозначается через А.

Под обобщенным решением уравнения L/ = 0 в области G мы понимаем, как всегда, функцию из соболевского класса W1,2(G)iocj удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. По теореме Де Джорджи и Нэша каждая такая функция непрерывна и локально гельде-рова в G с некоторым показателем 7, зависящем только от размерности п и постоянной эллиптичности Al. Множество всех обобщенных решений уравнения Lf = 0 в области G обозначим через Al (G).

Предположим, что для любой неотрицательной функции tp? Cq°(G) справедливо неравенство р п — < 0.

Тогда (см. [4]) для каждого шара В (х, г) <ш G и для любой функции / Е W1,2(B (x, r)) существует единственная функция fb, x, r? И/1'2(Б (ж, г)) П удовлетворяющая условию.

Пусть /i (t) — непрерывная положительная неубывающая функция, определенная при t > 0, такая, что при некотором г > 0 функция h (t) не убывает. Будем говорить, что функция / принадлежит классу W (L, G, h), если / Е W1,2(G)ioc и существует такая постоянная С > 0, что для любого шара В (х, г) Ш G выполняется неравенство [ Vf-Vfb, x, r2dy)½ < Ch® (V/ = (dtf,., dnf)).

KJB{x, r) J.

Пусть E — подмножество Gr, замкнутое относительно этой области, и пусть функция g (t) определена при t > 0 равенством g (t) := tn/2-lh (t).

В принятых обозначениях и при сделанных выше предположениях имеет место следующая.

Теорема 1.1. Множество Е устранимо для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе W (L, G1 h) oc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesgE = 0.

Во всех последующих теоремах первой главы предполагается, что оператор L не содержит младших членов: п.

Lf =Y1 hj=1.

При h (t) = tn!2+a, а > — 1, мы вместо W (L: G, К) будем в дальнейшем писать Wl (G).

В теореме 1.2 показано, что при 0 < а < 7 < 1 для оператора L с коэффициентами из С7(С)10С имеет место совпадение функциональных классов W?(G)ioc и C1, a (G)iocОтсюда и из теоремы 1.1 получаем, что в этом случае условие mesn~1+aE = О характеризует устранимость множества Е для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе C1, a (G)oc (теорема 1.4). Для оператора Лапласа, А теорема 1.4 дает упомянутый выше результат Е. П. Долженко [8, 9].

В теореме 1.3 для оператора L с непрерывными коэффициентами в G показано, что при — 1 < а < 0 для произвольной подобласти Go (Ш G и для любой функции /? W^(G)oc конечна величина sup г~п~2а / Vf2dy. По теореме вложения B (x, r)^G0 J B (x, r).

Морри это означает, что / Е C1+a (G)oc. Поэтому из теорем 1.1 и 1.3 вытекает, что при 0 < а < 1 и непрерывности коэффициентов оператора L в области G равенство mesn~2+aE = О является необходимым условием устранимости множества Е для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе Ca (G)oc. Это же условие, как показали Т. Килпелайнен и Ч. Жонг [85], обеспечивает устранимость множества Е для обобщенных решений уравнения Lf — 0 в классе Ca (G)ioc, 0 < а < 1, при.

23 этом непрерывность коэффициентов оператора L здесь не нужна. Следовательно, если 0 < а < 1 и коэффициенты оператора L непрерывны в области G, то условие mesn~2+aE = 0 полностью описывает устранимые множества для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе Ca (G)oc (теорема 1.5). Для оператора Лапласа, А теорема 1.5 дает упомянутый выше результат Л. Карлесона [64].

Если / Е C (G), то (см. [4]) для каждого шара В (х, г) ш G существует единственная функция fi, x, r? Al (B (x, г)), которая непрерывно продолжается на границу этого шара и имеет там предельные значения, совпадающие со значениями функции /.

Пусть, а > 0. Будем говорить, что функция / принадлежит классу U%(G), если она непрерывна в области G и существует такая постоянная С > 0, что для любого шара B (x, r) (е G выполняется неравенство sup |/ — fb, x, r < Сга.

В (х, г).

В следующей теореме К — компакт в G.

Теорема 1.6. Пусть 0 < а < 2. Компакт К устраним для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе U^(G) тогда и только тогда, когда выполняется условие mesn~2+a К = 0.

Отметим (см. [40]), что для оператора Лапласа, А класс функций ?/д (С%с совпадает при 0 < а < 2 с классом Aa (G)oc, поэтому в теореме 1.6 содержатся известные критерии устранимости компактов, установленные в работах Л. Карлесона [64] (0 < а < 1), Е. П. Долженко [8, 9] (1 < а < 2), Д. Матеу и.

Д. Оробича [94] и Д. Ульриха [114] (а = 1).

Чтобы сформулировать следующий результат, введем обозначение: если функция / непрерывна на замыкании шара В (ж, г), то ее колебание на этом шаре определяется равенством овс^г) / := вир / - Ы /.

В (х, г) В (ХЛ.

Во введенных обозначениях упомянутая выше теорема Де Джорджи и Нэша может быть сформулирована следующим образом: для любой тройки концентрических шаров В (х, г) (<= В (х, К) 0 и 7 Е (0, 1) зависят только от размерности п и постоянной эллиптичности А/,.

Из принципа максимума для обобщенных решений рассматриваемого уравнения вытекает, что при всех, а? (0, 1) имеет место включение Са (С)ос С 11%(О)ос. В теореме 1.7 показано, что при 0 < а < 7, где 7 — гельдеров показатель в только что приведенной формулировке теоремы Де Джорджи и Нэша, это включение превращается в равенство функциональных классов Са (в)юс = Щ (в)1ос.

Теорема 1.6 дополняется теоремой 1.8, в которой получено обобщение на решения уравнения Ь/ = 0 известной теоремы И. И. Привалова о достаточном условии гармоничности непрерывной функции в терминах введенных им верхнего и нижнего обобщенных параметров Лапласа. Из теоремы 1.8 следует, что при, а > 2 класс и2(0)ос состоит только из обобщенных решений уравнения Lf — 0 в области (2.

Из сравнения теорем 1.1 и 1.6 естественно возникает вопрос о связи между классами функций И7^ (6?) 10С и [/¿-+а-((7) 10С. Ответ па него дает теорема 1.9, в которой при всех, а > — 1 установлено включение И^(С)10с С и]^а (С1) 10С, становящееся при, а > О равенством функциональных классов У/^(С)ос = 1ОС.

В главе 2 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в недивергентной форме. п.

Пусть ?/ = V] (д^/ = ^¿-т) — линейный дифг ].

1,3=1 ференциальный оператор второго порядка с измеримыми ограниченными действительными коэффициентами = в Iй (г,, 7 = 1,., гг), такой, что при некотором, А е (0, 1] для всех? Е Мп и для почти всех х Е Мп выполняется условие равномерной эллиптичности (0.1). Наибольшее такое, А называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора? и обозначается через Ад.

Возьмем произвольно ограниченную область (?сМпс гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей непрерывную функцию д, определенную на <96?, и последовательность п дифференциальных операторов ?&/ = ^^ к Е Н, 1 такую, что все их коэффициенты а^х) определены и бесконечно дифференцируемы в Мп, операторы равномерно эллиптичны в!" с постоянными эллиптичности £к > ао (к Е М), и для любых г,^ Е {1,., п} последовательность функций сходится при к —ь оо к функции а^(х) почти всюду в 6 г. Тогда (см. [4]) для каждого к Е N существует единственная функция которая непрерывна на замкнутой области С, бесконечно дифференцируема внутри нее и такая, что? к/к = О в С, /к = д на Н. В. Крылов и М. В. Сафонов [18] показали, что из последовательности функций можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на С. Следуя М. В. Сафонову [106], мы называем предел такой подпоследовательности слабым решением задачи Дирихле ?/ = 0 в (7, / = д на <9Сг. Будем говорить, что оператор? обладает свойством слабой единственности, если для любой области (2 с гладкой границей и для любой непрерывной функции д на <9С эта задача Дирихле имеет единственное слабое решение.

Понятие слабой единственности было введено Крыловым [90], который показал, что если замыкание множества точек разрыва коэффициентов оператора? не более чем счетно, то этот оператор обладает свойством слабой единственности. Сафонов [107] установил слабую единственность оператора? в предположении, что множество точек разрыва его коэффициентов замкнуто и имеет достаточно малую хаусдорфову размерность (зависящую от п и Ая). С другой стороны, Н. С. Надирашвили [98] показал, что, в отличие от случая п = 2, слабая единственность для оператора? может нарушаться при п > 3.

Для формулировки основной теоремы второй главы нам потребуется следующий результат Л. Эскуриазы [73]: оператор? обладает свойством слабой единственности в том и только в том случае, когда существует единственная неотрицательная функция ИЛЕ Ь (Шп)ос такая, что ах = О? [ Ш?(х)(1х = 1.

ЛВ (0,1).

0.3).

Всюду ниже мы считаем, что для оператора? выполнено свойство слабой единственности в, а неотрицательная функция И^с Е Ь (Шп) 1оС удовлетворяет условиям (0.3).

Пусть, а > 0, ]?&(В (х, г)) := / ' Игй (у) (1у. Назовем (внеш.

JВ (х, г) ней) £-мерой порядка, а множества Е С1пи обозначим через теБ^Е конечный или равный +оо предел при t 0 величины где точная нижняя грань берется по всем не более чем счетным системам шаров {B (xj^rj)}j с гз < образующих покрытие множества Е.

Под слабым решением уравнения ?/ — 0 в области С мы будем понимать непрерывную в этой области функцию р, которая внутри любой подобласти (?о .

Пусть С — ограниченная область в К — компакт в С.

Заменяя в определении класса (6?) из гл. 1 обобщенные решения уравнения Lf = 0 на слабые решения уравнения ?/ = О, мы получаем определение функционального класса 11^(0).

В принятых выше обозначениях сформулируем основной результат второй главы диссертации.

Теорема 2.1. Пусть 0 < а < 2. Компакт К устраним для слабых решений уравнения ?/ = 0 в классе ?7о (С)1ос тогда и только тогда, когда выполнено условие ш= 0.

Для оператора Лапласа, А функция ТУд (ж) является, очевидно, неотрицательной и не тождественной нулю гармонической функцией в Iя, и, по односторонней теореме Лиувилля, она есть положительная постоянная. Отсюда следует, что мера шеБд-Е совпадает с точностью до постоянного множителя, не зависящего от множества Е С Мп, с мерой тез" .£7. Поэтому (см. комментарий после формулировки теоремы 1.6) в теореме 2.1 содержатся известные критерии устранимости компактов для гармонических функций [64, 8, 9, 94, 114]. С другой стороны, из теоремы 2.1 вытекает неустранимость изолированной особенности для непрерывных решений недивергентного линейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка в упомянутом выше примере Д. Гилбарга и Дж. Серрина [76] (пример 2.1).

В работе П. Бауман [59] было показано, что функция не может обращаться в нуль на множестве положительной лебеговой меры в lRn. Отсюда вытекает, что условия mes™ К = О и mesпК = 0 эквивалентны, поэтому устранимость компакта К для слабых решений уравнения ?/ = 0 в классе U^(G) характеризуется условием равенства нулю его меры Лебега.

Для дальнейшего изложения нам потребуется следующая теорема Н. В. Крылова и М. В. Сафонова [18] о локальной гельде-ровости слабых решений уравнения ?/ = 0: для произвольной тройки концентрических шаров В (х, г) <Ш B (x, R) B (x, Rq) с R < 1 и для любой функции / Е Ао (В (х, Rq)) справедливо неравенство (0.2), где С > 0 и 7 Е (0, 1] зависят только от п и.

Из известного описания классов Гельдера-Зигмунда Aa (G)oc при 0 < а < 2 в терминах локальных приближений линейными функциями и из принципа максимума для слабых решений уравнения ?/ = 0 вытекает включение Aa (G)oc С U^{G)C (0 < а < 2). В теореме 2.2 показано, что при 0 < а < 7, где 7 — гельдеров показатель в приведенной выше формулировке теоремы Крылова и Сафонова, это включение становится равенством функциональных классов Aa (G)oc = U^(G)iocИз теорем 2.1 и 2.2 вытекает теорема 2.3, дающая критерий устранимости компактов для слабых решений уравнения ?/ = 0 в классах Гельдера с малым показателем гладкости.

Теорему 2.1 дополняет теорема 2.4, в которой получено обобщение на слабые решения уравнения ?/ = 0 упомянутой выше теоремы И. И. Привалова о достаточном условии гармоничного сти непрерывной функции. Из теоремы 2.4 следует, что при, а > 2 класс {/?(Сг^ос содержит только слабые решения уравнения ?/ = 0 в области.

В теореме 2.5 показано, что при п>3и0<�а<2 выполнение равенства ше8п~2+аК = 0 является достаточным условием устранимости компакта К для классических решений уравнения ?/ = 0 в классе и^(С1)ос, если только коэффициенты оператора? непрерывны по Дини в области С (в этом случае множества слабых и классических решений этого уравнения совпадают, см. [11]).

В главе 3 рассматриваются квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка.

В первой ее части рассматриваются условия устранимости множества Е, замкнутого относительно содержащей его ограниченной области Сс1п, для решений уравнения с11у (|У/|р~2У/) = 0, 1 < р < оо. Под решением этого уравнения в области С мы понимаем, как обычно, функцию из Wl''p (G)C) удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. Множество всех таких функций обозначим через Ар (Ст), а его элементы будем называть, как обычно, р-гармоническими функциями. Хорошо известно, что каждая р-гармоническая функция принадлежит классу С1,1 (Сг)?ос, где 7 6 (О, 1) зависит только от п и р.

Если / 6 И¹, Р ((2)10С, то для каждого шара В (х, г) Ш С существует единственная функция /ж?г? У/1,р (В (х, г))ПАр (В (х, г)), удовлетворяющая условию / — /Х)Г Е г)) (см. [79]).

Пусть, а > 0. Будем говорить, что функция / принадлежит классу Ар ©, если / Е И¹'тах²'р^(С)1ОС и существует такая постоянная С > 0, что для каждого шара В (х, г) (д= С выполняется неравенство [ |V/ - < и В{х, г/2).

В принятых обозначениях справедлива следующая.

Теорема 3.1. Пусть 1<�р<�оои0<�а<1. Множество.

Е устранимо для р-гармонических функций в классе Ар (С)ос т, огда и только тогда, когда выполнено условие тез? г1+а Е = 0.

Отметим, что из доказательства теоремы 3.1 вытекает, что при, а > 1 класс Ар{О)С совпадает с множеством всех р-гармонических функций в области.

Для изложения дальнейших результатов введем обозначение: если х Е Мп, г > 0 и / Е Ь2(В (х, г)), то овс2(/, ж, г) := (—[ |/(2/) — /б (ж, г)|2^) 7, где <тп := / а /в (хг) ~ среднее значение функции /.

•/?(0,1) по шару В (х, г). Тогда теорема о гельдеровости градиента р-гармонической функции может быть сформулирована в следующей форме (см. [72]): существуют 7 Е (0, 1] и и > 0, зависящие только от п и р, такие, что для произвольной тройки концентрических шаров B (x:r) B (x, R) (s B (x, Rq) и для любой функции / G Ар (В (х, Rq)) выполняется неравенство osc2(V/, ir, r) < г/ ^)7osc2(V/, a-, Д). (0.4).

В последующих результатах третьей главы 7 = 7(п, р) является гельдеровым показателем^{-гармонической} функции в приведенной формулировке.

В теореме 3.2 показано, что при всех при р > 2 и a G (0, 1) справедливо включение Cl’a (G)oc С A^{G)ioc, которое остается в силе и при 1 < р < 2, если в нем заменить класс C1, a (G)oc его подклассом, состоящем из функций, имеющих ненулевой градиент всюду в области G. В обратном направлении эта теорема устанавливает, что при всех р G (1, 00) и a G (0, 7(п, р)) имеет место включение Ap (G)ioc С C1, a (G)oc.

С другой стороны, П. Линдквист и П. Ютинен [81, 80] показали, что каждая непрерывно дифференцируемая функция / в области G,^{-гармоническая} на множестве G {V/ = 0}, является р-гармонической в G. Сравнивая этот результат с теоремами 3.1 и 3.2 мы заключаем, что при всех р G (1, 00) и a G (0, 1) условие mesn~1+c* Е = 0 достаточно, а при, а < 7(щр) — необходимо и достаточно для того, чтобы множество Е было — устранимым для р-гармонических функций в классе C1, a (G)oc (теорема 3.3).

При р = 2 неравенство (0.4) выполняется с 7 = 1, поэтому теорема 3.3 содержит в себе результат Е. П. Долженко [8, 9] об устранимых особенностях гармонических функций. Теорему 3.3 интересно сравнивить с упоминавшейся выше теоремой Т. Килпелайнена и Ч. Жонга [85], которая утверждает, что при всех р 6 (1, оо) и a G (0, 1) таких, что п — р + а (р — 1) > О, множество Е устранимо для р-гармонических функций в классе Ca (G)ioc тогда и только тогда, когда выполняется условие mesn-p+a (p-1) fi q Сравнения этих теорем видно, что при р ф 2 зависимость критической размерности Хаусдорфа от показателя Гельдера и р имеет в них разный характер: у Т. Килпелайнена и Ч. Жонга она зависит от р, а в теореме 3.3 — нет.

Во второй части главы 3 рассматривается уравнение минимальных поверхностей div ((1 + | V/|2)1^2V/) = 0.

Под решением этого уравнения понимается, как обычно, дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пусть, как и выше, G — ограниченная область в ln, Е — подмножество замкнутое относительно этой области. Следующая теорема является основным результатом главы 3.

Теорема 3.4. Пусть 0 < а < 1. Множество Е устранимо для решений уравнения минимальных поверхностей в классе C1, a (G)ioc тогда и только тогда, когда выполнено условие mes = 0.

В связи с формулировкой этой теоремы напомним, для условие mes™-1 Е = 0 является достаточным для того, чтобы всякое решение уравнения минимальных поверхностей, определенное в G Е, продолжалась (как решение этого уравнения) на G (подчеркнем, что здесь не требуется никаких условий на поведение решений вблизи Е). Для случая, когда множество Е состоит только из изолированных точек этот результат был установлен JL Берсом [60], при п — 2-Й. Ниче [100], для компактных множеств Е — Э. Де Джорджи и Г. Стампаккья [68], в общем случае — М. Мирандой [96] (другие доказательства даны в [57, 110]).

Основную сложность в доказательстве теоремы 3.4 представляет проверка необходимости условия mesra~1+QЕ = 0 для устранимости множества Е. В диссертации она преодолевается при помощи применения теоремы Шаудера о неподвижной точке.

В теореме 3.5 дано обобщение теоремы 3.4 на более широкий класс квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Не приводя определения этого класса, укажем, что к нему принадлежат уравнение капиллярности div ((1 + |V/|2r½V/) + с/ = 0 (с = const < 0), уравнение Эмдена-Фаулера А/ — fp~1f = 0 при р > 2 и уравнение А/ - /|V/12 = 0.

В главе 4 рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с гладкими коэффициентами.

Пусть Р — линейный дифференциальный оператор порядка га, коэффициенты которого являются m раз непрерывно дифференцируемыми функциями в области G С Жп (принимающими, вообще говоря, комплексные значения). Под слабым решением уравнения Р/ = 0 мы понимаем, как обычно, локально суммируемую функцию, удовлетворяющую этому уравнению в смысле распределений по JI. Шварцу.

Пусть 1 < р < оо, s > 0, / G L (G)ьеДля шара В (х, г) <Ш G обозначим.

E[s](f, x, r) := infr~n f |f (y) — g (y)dy: g E V[a], k J B (x, r) } где [s] — целая часть s, V[s] — множество всех алгебраических полиномов степени не выше [s] (по совокупности переменных). Определим в области G максимальную функцию.

M8f (x):= sup r~8Esi (f, x, r).

B (x, r).

По определению, функция f принадлежит классу Cp (G)oc, если Msf Е LP (G)ioc (отметим, что последнее условие обеспечивает принадлежность / к Lp (G)i0C). В случае натурального s можно определить в области G еще одну максимальную функцию.

М-/(®-):= sup r~sE*s (f, x, r),.

B{x, r) mG где E*(f, ж, г) обозначает усредненную по мере Лебега величину наилучшего приближения в среднем функции / на шаре В (х, г) пространством алгебраических полиномов степени не выше 5 — 1. По теореме А. Кальдерона [83] функция / принадлежит классу Соболева W?(G)C тогда и только тогда, когда.

M*f? Lp{G)ioc, откуда вытекает включение.

Wp (G)C С Cp (G)oc.

Классы функций C*(G) ioc были введенны Р. Шарп л и и Р. Де-Вором [108] и независимо Б. Боярским [61]. Позднее X. Трибель [113] показал, что эти классы содержатся в шкале пространств Лизоркина-Трибеля Lspq (G)C при q = оо: Csp{G)ioc = b®-j00(G)Неосновным результатом главы 4 является следующая.

Теорема 4.1. Пусть 1 < р < оо, s > 0, q = р/(р — 1) — 0 < п — q (m — s) < п, и пусть Е — множество, замкнутое относительно области G, с mesn" «< оо. Тогда Е устранимо для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Cp (G) ioc.

Эта теорема обобщает и распространяет на нецелые показатели гладкости известный результат Р. Харви и Дж. Полкинга [78], которые при целом s в условиях теоремы 4.1 установили устранимость множества Е для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Соболева Wp (G)C.

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему учителю и научному консультанту профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за многочисленные обсуждения представленных в диссертации результатов и постоянную поддержку в работе.

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, Физматлит, 1996.

2. Витушкин А. Г. Пример множества положительной длины, но нулевой аналитической емкости // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. № 2. С. 246−249.

3. Витушкин А. Г. Об одной задаче Данжуа// Изв. АН 1 СССР. 1964. Т. 28. № 4. С. 745−756.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

5. Голубев В. В. Однозначные аналитические функции. Авто-морфные функции. М.: ГИФМЛ, 1961.

6. Джустпи Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации М.: Мир, 1989.

7. Долженко Е. П. О «» стирании" «особенностей аналитических функций// Успехи матем. наук. 1963. Т. 18, вып. 4(112). С. 135−142.

8. Должешо Е. П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113−1130.

9. Должешо Е. П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 6. С. 12 511 270.

10. Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций. М.: Наука, 1975.

11. Иванович М. Д. О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка // Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. 1966. Вып. 3. С. 37−47.

12. Ищанов Б. Ж. Об устранимых особенностях функций классов В МО и их обобщений / / Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех. 1985. Вып. 5. С. 77−80.

13. Ищанов Б. Ж. Метрические условия для устранимости особых множеств в некоторых классах полигармонических и полианалитических функций // Деп. в ВИНИТИ АН СССР 14 апреля 1987 г., № 2575-В87.

14. Ищанов Б. Ж. Обобщение теоремы B.C. Федорова для гармонических функций нескольких переменных // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех. 1986. Вып. 2. С. 100−102.

15. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971.

16. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные напрв-ления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 32, С. 99−215.

17. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998.

18. Крылов Н. В., Сафонов М. В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. № 1. С. 161 175.

19. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М.: Наука, 1971.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

21. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1985.

22. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В кн.: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1981. С. 115−255.

23. Мельников М. С. Сага о проблеме Пенлеве и аналитической емкости// Тр. МИАН. 2001. Т. 235. С. 157−164.

24. Новрузов A.A., Мамедов И. Т. Об устранимой особенности решений линейных эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами// Дифф. уравнения. 1981. Т. 17. № И. С. 2064;2070.

25. Покровский A.B. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Ма^-тем. заметки. 2005. Т. 77. вып. 3. С. 424−433.

26. Покровский A.B. Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Матем. заметки. 2005. Т. 77. вып. 4. С. 584 591.

27. Покровский A.B. Устранимые особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Доклады РАН. 2005. Т. 401. вып. 1. С. 27−29.

28. Покровский A.B. Устранимые особенности р-гармони-ческих функций// Дифф. уравнения. 2005. Т. 41. № 7. С. 897−907.

29. Покровский A.B. Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей // Функц. анализ и его приложения. 2005. Т. 39. Вып. 4. С. 62−68.

30. Покровский A.B. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // Успехи матем. наук. 2007. Т. 62. Вып. 3(375). С. 215−216.

31. Покровский A.B. Локальные аппроксимации решениями эллиптических уравнений второго порядка и устранимые особенности // Докл. РАН. 2007. Т. 417. № 5, С. 597−600.

32. Покровский A.B. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка// Функц. анализ и его прил. 2008. Т. 42. № 2. С. 44−55.

33. Покровский A.B. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме // Матем. сборник. 2008. Т. 199. № 6. С. 136−159.

34. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений // Современная математика и ее приложения. 2007. Т. 57. (Труды межд. конф. по дифф. уравнениям и динамич. системам. Суздаль, 2006.) С. 54−72.

35. Покровский A.B. О неизолированных особых точках решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс. .к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1996.

36. Покровский A.B. Теоремы о среднем для решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Матем. заметки. 1998. Т. 64. № 2. С. 260−272.

37. Покровский A.B. Локальные аппроксимации решениями гипоэллиптических уравнений и устранимые особенности // Докл. РАН. 1999. Т. 367. № 1, С. 15−17.

38. Покровский A.B. Об устранимых особенностях решений однородных эллиптических уравнений в классах Никольского-Бесова // Докл. РАН. 2001. Т. 380. № 2. С. 168−171.

39. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений второго порядка // Доповщ1 HAH Украши. 2004. № 11. С. 38−42.

40. Покровский A.B. Классы функций, определяемые с помощью локальных приближений решениями гипоэллиптиче-ских уравнений // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47, N2 2. С. 394−413.

41. Покровский A.B. Обобщение теоремы И. И. Привалова об эквивалентном определении гармонической функции // Зб1рник праць 1нституту математики HAH Украши. 2006. Т. 3, № 4. С. 411−415.

42. Привалов И. И. Субгармонические функции. М.: ОНТИ, 1937.

43. Риман Б. Основы общей теории функций одной комплексной переменной. В кн.: Риман Б. Сочинения. M-JL: ОГИЗ, 1948. С. 49−87.

44. Сафонов М. В. Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их решений // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 96. С. 272−287.

45. Скрыпнш И. И. Об устранимости особенностей решений нелинейных эллиптических уравнений на многообразиях// Матем. сборник. 2003. Т. 194. № 9. С. 91−112.

46. Тарханов Н. Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск: Наука, 1991.

47. Трохимчук Ю. Ю. Устранимые особенности аналитических функций. Киев: Наукова думка, 1992.

48. Федоров B.C. Непрерывность и моногенность// Иваново, Изв. Политехи, ин-та. 1919. Т. 1. С. 45−56, 139−145.

49. Федоров В. С. Sur la representatione des fonctions analitiques au voisinage d’un ensemble de ses points singuliers // Матем. сб. 1928. T. 35. С. 237−250.

50. Федоров В. С. Sur la continute des fonctions analitiques // Матем. сб. 1925. T. 32. С. 115−121.

51. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

52. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М.: Мир, 1986. Т. 2.

53. Хрущев C.B. Простое доказательство теоремы об устранимых особенностях аналитических функций, удовлетворяющих условию Липщица// Зап. науч. семинар. ЛОМИ. 1981. Т. 113. С. 199−203.

54. Чесноков И. Ю. Устранимые особенности решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными// Вестник Московск. университета. Сер. 1. Матем. Мех. 1990. Вып. 4. С. 66−68.

55. Чесноков И. Ю. Об устранимых особенностях решений линейных дифференциальных уравнений. Дисс.. к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1991.

56. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука, 1985.

57. Anzellotti G. Dirichlet problem and removable singularities for functional with linear growth // Boll. Un. Mat. Ital. C (5), 1981. V. 81. P. 141−159.

58. Байта, n P. Positive solutions of elliptic equations in nondivergence form and their adjoints // Ark. Mat. 1984. V. 22. № 2. P. 153−173.

59. Bauman P. A Wiener test for nondivergence structure, second-order elliptic equations// Indiana Univ. Math. J. 1985. V. 34. № 4. P. 825−844.

60. Bers L. Isolated singularities of minimal surfaces // Ann. Math. 1951. V. 53. P. 364−386.

61. Bojarski B. Sharp maximal operator of fractional order and Sobolev imbedding inequalities// Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1985. V. 33. № 1−2. P 7−16.

62. Brezis H., Nirenberg L. Removable singularities for nonlinear elliptic equations / / Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1997. V. 9. P. 201−219.

63. Caffarelli L.A., Fabes E.B., Kenig C.E. Completeli singular elliptic-harmonic measures // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30, № 6, P. 917−924.

64. Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions in W1// Math. Scand. 1963. V. 12. P. 15−18.

65. Carmona J.J., Donaire J.J. On removable singularities for the analytic Zygmund class // Michigan Math. J. 1996. V. 43. P. 51−65.

66. David G. Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity// Rev. Mat. Iberoamer. 2000. V. 14. P. 369−479.

67. De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l’analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino. Ser. 3. 1957. № 1. P. 25−38.

68. De Giorgi E., Stampacchia G. Sulla singolarita eliminabili delle ipersuperficie minimali // Atti Accad. Naz. Lincei, Rend., CI. Sci. Fis. Mat. Nat. 1965. V. 38. P. 352−357.

69. Denjoy A. Sur les fonctions analytiques uniformes qui restent continues sur un ensemble parfait, discontinu de singularities// C. r. Acad. sci. Paris. 1909. V. 148. P. 11 541 156.

70. Denjoy A. Sur les fonctions analytiques uniformes a singularities discontinues // C. r. Acad. sci. Paris. 1909. V. 149. P. 258−260.

71. DiBenedetto E. Cl+a local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Analysis. 1983. V. 7. № 8. P. 827−850.

72. DiBenedetto E., Manfredi J. On the higher integrability of the gradient of weak solutions of certain degenerate elliptic systems// Amer. Journ. of Math. 1993. V. 115. P. 1107−1134.

73. Escauriaza L. Bounds for the fundamental solutions of elliptic and parabolic equations in nondivergence form // Comm. Partial Differentail Equations. 2000. V. 25. № 5−6. P. 821−845.

74. Garnett J. Positive length but zero analytic capacity // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V. 21. P. 696−699.

75. Giaquinta M. Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems. Princeton Univ. Press, Princeton, 1983.

76. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of second order elliptic differential equations //J. d’Analyse Math. 1955;1956. V. 4. P. 309−340. (Пер. на рус. яз.: Сб. переводов «Математика». 1958. Т. 2. № 6. С. 63−86.).

77. Griiter M., Widman К.-О. The Green function for uniformly elliptic equations // Manuscrip. Math. 1982. V. 37. P. 303−342.

78. Harvey R., Polking J. C. Removable singularities of solutions of linear partial differential equations // Acta math. 1970. V. 125, № ½. P. 39−56.

79. Heinonen J., Kilpelainen T., Martio 0. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Oxford University Press, Oxford, 1993.

80. Juutinen P., Lindqvist P. A theorem of Rado’s type for the solutions of a quasi-linear equation // Math. Research Letters. 2004. V. 11. P. 31−34.

81. Juutinen P., Lindqvist P. Removability of a level set for solution of quasilinear equations // Commun. in Partial Diff. Equations. 2005. V. 30. P. 305−321.

82. Kaufman RWu J.-M. Removable singularities for analytic or subharmonic functions// Ark. mat. 1980. V. 18. № 1. P. 107 116.

83. K alder on A. P. Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions // Studia Math. 1972. V. 44. P. 167−186.

84. Kenig C. Potential theory of non-divergence form elliptic equations// Lect. Notes in Math. 1993. V. 1563. P. 89−128.

85. Kilpelainen T., Zhong X. Removable sets for continuous solutions of quasilinear elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130. № 6. P. 1681−1688.

86. Krai J. Removable singularities of solutions of semielliptic equations// Rendiconti Mat. 1973. V. 6. № 4. P. 763−783.

87. Krai J. Semielliptic singularities // Casopis pro pestovani matematiky. 1984. V. 109. № 3. P. 304−322.

88. Krai J. Some extension results concerning harmonic functions// J. London Math. Soc. 1983. V. 28. № 2. P. 6270.

89. Krai J. Extension results of the Rado type // Rev. Roumaine Math. Pure Appl. 1991. V. 36. P. 71−76.

90. Krylov N. V. On one-point weak uniqueness for elliptic equations// Comm. in PDE. 1992. V. 17. № 11−12. P. 17 591 784.

91. Lieberman G.M. Sharp form of estimates for subsolutions and supersolutions of quasilinear elliptic equations involving measures// Comm. in PDE. 1993. V. 18. № 7&8. P. 11 911 212.

92. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1963. V. 17. № 3. P. 43−77.

93. Maly J., Ziemer W.R. Fine regularity of solutions of elliptic partial differential equations. Math. Surveys and Monographs 51, AMS, 1997.

94. Mateu J.- Orobitg J. Lipschitz approximations by harmonic functions and some applications to spectral synthesis // Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39, № 3. P. 703−736.

95. Mattila P. Rectifiability, analytic capacity, and singular integrals // Documenta Math. Extra Volume ICM 1998. II. P. 657−664.

96. Miranda M. Sulla singolarita eliminabili delle soluzioni dell’equazione delle superfici minime // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, 1977, V. 4, P. 129−132.

97. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. V. 80. P. 931−954.

98. Nadirashvili N.S. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4). 1997. V. 24. № 3. P. 537−550.

99. Nicolisi F., Skrypnik I. VSkrypnik /./. Precise pointwise condition for removable isolated singularities // Comm. in PDE. 2003. V. 28. № 3−4. P. 677−696.

100. Nitsche J.C.C. On new results in the theory of minimal surfaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71. P. 195−270.

101. Painleve P. Sur les lignes singulieres des fonctions analytiques. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse. 1888.

102. Pajot H. Analytic capacity, rectifiability, Menger curvature and the Cauchy integral. Lecture Notes in Math. 1799, Springer-Verlag, Berlin, 2002.

103. Pompeiu D. Sur la continute des fonctions de variables complexes. These. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse. 1905.

104. Privaloff /./. Sur les functions harmoniques // Матем. сборник. 1925. T. 32, С. 464−471.

105. Rado T. Uber eine nicht-fortsetzbare Riemannsche Mannigfaltigkeit // Math. Z. 1924. V. 20. S. 1−6.

106. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients // SI AM J. Math. Anal. 1999. V. 30. № 4. R 879−895.

107. Safonov M. V. On a weak uniqueness for some elliptic equations// Comm. in PDE. 1994. V. 19. № 5−6. R 943−957.

108. Sharpley RDeVoor R. Maximal functions measuring smothness// Mem. Amer. Math. Soc. 1984. V. 47. № 293. P. 1−113.

109. Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasilinear equations // Acta Math. 1964. V. 111. P. 247−302.

110. Sim, on L. On a theorem of De Giorgi and Stampacchia // Math. Z. 1977. V. 155. P. 199−204.

111. Tolksdorf P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations // Journ. of Diff. Equations. 1984. V. 51. P. 126−150.

112. Tolsa X. Painleves problem and the semiadditivity of analytic capacity// Acta Math. 2003. V. 190. P. 105−149.

113. Triebel H. Local approximation spaces // Ztschr. Anal, und Anwend. 1989. Bd. 8. H. 3. S. 261−288.

114. Ullrich D. Removable sets for harmonic functions// Mich. Math. J. 1991. V. 38, № 3. P. 467−473.

115. Uy N.X. Totally disconnected non-removable sets for Lipschitz continuous analytic functions // Math. Scand. 1977. V. 40. № 1. C. 113−118.

116. Uy N.X. Removable sets of analytic functions satisfying a Lipschitz condition// Ark. mat. 1979. V. 17. № 1. C. 19−27.

117. Verdera J. CTO-approximations by solutions of elliptic equations and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55. № 1. P. 157−187.

118. Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear elliptic equations. Addison Wesley Longman Limited, 1996.

119. Zalcman L. Mean values and differential equations 11 Israel Math. J. 1973. V. 14. P. 339−352.

<"