Об отделимости подгрупп в некоторых классах конечных групп

5_ принадлежащих я). Подгруппу, обладающую этим свойством, называют п-изолированной в группе G. Таким образом, если п отлично от множества всех простых чисел и если G содержит хотя бы один элемент, порядок которого не является я-числом, то все подгруппы группы G уже заведомо не будут &bdquo—отделимыми. Поэтому в качестве обобщения свойства финитной отделимости всех подгрупп данной группы имеет смысл рассматривать утверждение об 7&bdquo—отделимости всех л-изолированных подгрупп. Отметим, что это утверждение не следует, вообще говоря, из свойства .7&bdquo—аппроксимируемости ни для какого множества простых чисел 7 (подробно этот вопрос обсуждается в § 1.3 части 1), и уже поэтому U изучение его представляет определенный интерес. Однако для выделения понятия .&bdquo—отделимости в качестве самостоятельного объекта исследования существуют, разумеется, и другие, более веские основания. Это понятие оказалось весьма полезным при изучении аппроксимационных свойств различных свободных конструкций групп. В качестве иллюстрации мы приведем два сравнительно новых результата, полученных в данном направлении. Согласно К. Грюнбергу [15] класс групп /С называют корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и если для любого субнормального ряда 1<�С<5<�Л такого, что A/BeJC и B/CefC, в группе, А существует нормальная подгруппа D, лежащая в С, фактор-группа по которой снова принадлежит К. Легко видеть, что корневыми являются, в частности, все классы независимо от выбора множества п. Пусть теперь, А и В две изоморфные копии некоторой группы и а: А—>В изоморфизм. Пусть также Н подгруппа группы А, К=На и отображение ф: Н-К получается ограничением на Н изоморфизма а. Д. И. Азаров и Д. Тьеджо показали [39], что свободное произведение G={A*B, Н=К, ф) групп АиВ с подгруппами Ни К, объединенными относительно изоморфизма Ф (определение этой конструкции приводится в § 2.1 части 2), аппроксимируется корневым классом /С тогда и только тогда, когда группа, А /С-аппроксимируема и подгруппа Я является /С-отделимой в этой группе. Другой пример касается конструкций свободного произведения двух групп с коммутирующими и централизованными подгруппами. Напомним (см. [43, с. 230]), что если АиВ некоторые группы, Н подгруппа группы, А и К подгруппа группы В, то свободным произведением групп АиВ с коммутирующими подгруппами НиК называется группа Gi=(A*B-[H, K]=l), задаваемая всеми образующими и определяющими соотношениями групп, А и В, а также соотношениями вида [h, к] 1, где элемент h пробегает подгруппу Я, а элемент к подгруппу К. Аналогичным образом определяется свободное произведение Введение G2=(A*B-[A, K] h[H, B] l) групп, А и В с централизованными подгруппами Ни К (там же, с. 231): эта группа задается образующими и определяющими соотношениями групп, А и В и всеми соотношениями вида [а, k] l,[h, b]=l, где аеАукеК, кеН, ЬеВ. Е, Д. Логинова в работах [40] и [41] показала, что если множество п состоит из одного числа или совпадает с множеством всех простых чисел и если группы Л и 5 я-аппроксимируемы, то аппроксимируемость групп Gi и G2 классом jr" равносильна &bdquo—отделимости в группах, А и В подгрупп Ни К, соответственно. Таким образом, вопрос об &bdquo—аппроксимируемости указанных конструкщт сводится к изучению .&bdquo—отделимых подгрупп свободных множителей. В действительности, .7&bdquo—отделимость связанных подгрупп очень часто выступает в качестве одного из достаточных (а иногда и необходимых) условий &bdquo—аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп, HNNрасширений и других свободных конструкщ1Й (см., напр., [5], [6], [48], значительное число результатов такого рода получено и в данной работе). Это обстоятельство является, пожалуй, одной из главных причин исследования свойства .7&bdquo—отделимости подгрупп в случае, когда п не совпадает с множеством всех простых чисел. Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов В первой части работы изучается лЯя-отделимость подгрупп разрешимых групп. Вопрос о том, при каких условиях все подгруппы разрешимой группы являются финитно отделимыми, был исследован А. И. Мальцевым все в той же статье [46]. Он рассмотрел определенный класс разрешимых групп, названных им ограниченными (определение и некоторые свойства этих групп приводятся в § 1.1), и показал, что все они имеют финитно отделимые подгруппы и при этом для разрешимых групп без кручения свойства ограниченности и финитной отделимости всех подгрупп равносильны. Класс ограниченных разрешимых групп мы будем обозначать символом «S. В § 1.2 получено частичное обобщение приведенного результата: установлено, что в группах, аппроксимируемых 5-группами без кручения, все „5-подгруппы (т. е. подгруппы, принадлежащие классу S), являются финитно отделимыми. Далее естественно возникает вопрос о том, нельзя ли все эти результаты распространить на случай произвольного множества п. Оказывается, что сделать это в полном объеме невозможно. Так, даже для полициклических групп, которыми, как показано в § 1.1, исчерпываются все конечно порожденные „S-группы, отсутствие тс-кручения не гарантирует еще аппроксимируемости коВведение печными я-группами (см. пример 1.3.8 из § 1.3). Однако для несколько более узкого класса конечно порожденных нильпотентных групп указанный критерий имеет место [15]. Более того, известно, что в конечно порожденной нильпотентной группе все тс-изолированные подгруппы являются .7&bdquo—отделимыми при любом выборе множества л- [38], [40]. Поэтому возникает идея попытаться распространить приведенные результаты на ограниченные разрешимые группы, являющиеся нильпотентными. И это удается проделать. Класс всех таких групп мы будем называть классом ограниченных нилъпотентных групп и обозначать символом Л/! В § 1.4 доказано, что все я-изолированные подгруппы TV-rpynn являются .&bdquo—отделимыми, а в § 1.5, что в группах, аппроксимируемых ЛГ-группами без кручения, множество л-корней из любой Л-подгруппы снова является Лподгруппой и при этом .Тя-отделимой. Последнее утверждение обобщает, в частности, известный результат о том, что в свободной группе все я-изолированные Щ1клические подгруппы .Тя-отделимы [23], [38]. Во второй части изучается .&bdquo—отделимость подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Интерес к этой конструкЩИ объясняется в числе прочего следующими двумя обстоятельствами. 1 С одной стороны, даже обычное свободное произведение двух групп с .?я-отделимыми подгруппами не обязано обладать тем же свойством. В качестве примера достаточно рассмотреть свободную группу ранга 2. Она представляет собой свободное произведение двух бесконечных циклических групп, все подгруппы которых финитно отделимы, и в то же время содержит подгруппу, неотделимую в классе .F (CM. пример 1.3.2 из § 1.3). С другой стороны, некоторые свободные конструкции могут бьггь построены с использованием одного лишь обобщенного свободного произведения двух групп. К их числу относятся уже упоминавшиеся выше свободные произведения групп с коммутирующими и централизованными подгруппами, а также так называемое полигональное произведение четырех и более групп с тривиальными пересечениями. Напомним, что если Ai, i eZ“, n>3, некоторые группы, HIH К{ такие тривиально пересекающиеся подгруппы группы Ai, что для каждого i е Z“ подгруппа Hi изоморфна Ki+i, и ф: Hi-Ki+i фиксированные изоморфизмы, то полигональным произведением групп Ai с тривиальными пересечениями называется группа G=(*Ai-Hi=Kiu4>i, i&Z"X задаваемая образующими и определяющими соотношениями групп А/ и всеми соотношениями вида hi=hi (pi, где элемент Л, — пробегает подгруппу и G Z». Как показывают работы [1], [20], [34], [42], достаточные условия финитной отделимости циклических подгрупп обобщенного свободного произведения двух групп играют ключевую роль в доказательстве аналогичных свойств перечисленных свободных конструкций.

Введение

Приведем теперь краткое описание известных результатов, касающихся отделимости подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Прежде всего необходимо отметить, что систематическому изучению подвергалось только свойство финитной отделимости. Как известно, в свободной группе этим свойством заведомо обладают лишь конечно порожденные подгруппы [16], в то время как для остальных ситуация оказывается не однозначной. Поэтому и для свободных конструкций имело смысл искать достаточные условия финитной отделимости всех конечно порожденных подгрупп (для обозначения групп с финитно отделимыми конечно порожденными подгруппами в иностранной литературе используется термин Locally Extended Residually Finite, сокращенно LERF, введенный P. Бернсом в [9]). Некоторые наиболее важные положительные результаты, полученные в этом направлении, содержатся в работах [3], [4], [8], [12], [14]. Вместе с тем в [13] и [30] построен целый ряд примеров обобщенных свободных произведений групп, уже не обладающих свойством LERF, в то время как их свободные множители являются LERF-группами. В частности, существует пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклическим объединением, содержащего конечно порожденную подгруппу, не являющуюся финитно отделимой [2]. Весьма продуктивным направлением оказалось также исследование финитной отделимости циклических подгрупп. Связано это с тем, что здесь можно использовать по сути те же самые методы, что и при изучении свойства финитной аппроксимируемости. Основополагающей в данной области является работа П. Стиба [32], в ней же введен термин «Пс-группа» для обозначения групп с финитно отделимыми циклическими подгруппами. Ввиду схожести методов естественно было ожидать, что многие обобщенные свободные произведения тГс-групп, обладающие свойством финитной аппроксимируемости, в действительности окажутся Лс-группами. Значрггельное число результатов такого рода содержится в работах [3] и [21] (см. также [34]). Тем не менее можно привести пример свободного произведения двух 7Гс-групп с финитно отдслимыми объединяемыми подгруппами, которое является финитно аппроксимируемой, но не тгр-группой (см. пример 2.2.10 из § 2.2). В отличие от случая финитной отделимости вопрос об &bdquo—отделимости конечно порожденных подгрупп свободной группы остается пока открыгым. Это обстоятельство вынуждает при изучении свойства .я-отделимости в свободных конструкциях групп ограничиться рассмотрением циклических подгрупп. Для дальнейшего изложения нам будет удобно ввести специальное обозначение А"(Х) для семейства всех .-отделимых и, следовательно, л-изолированных циклических подгрупп произвольной группы X Также через Ая (-) мы будем обозначать семейство всех л-изолированных циклических подгрупп группы Х, не являющихся &bdquo—отделимыми в этой группе.

Введение

Пусть группа G представляет собой свободное произведение групп, А и В с собственными подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма ф. Очевидно, что если л-изолированная циклическая подгруппа группы, А не является &bdquo—отделимой в этой группе, т. е. принадлежит семейству A (), то она не будет &bdquo—отделимой и во всей группе G. Таким образом, семейство A"(G) заведомо содержит все подгруппы, сопряженные с подгруппами из объединения A"(/i) и, А (5). Однако совпадение, означающее максимальность семейства A"(G), не обязательно имеет место. Посколы формулировки большинства утверждений, полученных во второй части, достаточно громоздки, мы воздержимся от их цитирования и ограничимся лишь ссылками на номера теорем и следствий. В § 2.2 найдено описание семейства A"(G) при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на группу G (теорема 2.2,2). Для читателей, знакомых с методикой Г. Бмслага [6] и ее расширением П. Стиба [32], уточним, что это описание получено с использованием все той же идеи аппроксимируемости обобщенными свободными произведениями конечных групп, которую удалось распространить на случай произвольного класса J", а упомянутое ограничение представляет собой ни что иное, как обобщение хорошо известного «фильтрационного условия» ПБаумслага. Здесь же указан щзимер свободного произведения с объединенной подгруппой, семейство .-отделимых циклических подгрупп которого не является максимальным (пример 2.2.10). Следующий.

1. Allenby R. В. J. Т. Polygonal products of polycyclic by finite groups // Bull. Aust. Math. Soc. 1996. V. 54, № 3. P. 369−372.

2. Allenby R. B. J. Т., Doniz D. A free product of finitely generated nilpotent groups amalgamating a cycle that is not subgroup separable // Proc. Am. Math. Soc. 1996. V. 124, № 4. P. 1003−1005.

3. Allenby R. B. J. Т., GregoracRJ. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. V. 319. P. 9−17.

4. Allenby R. B. J. Т., Tang C. Y. Subgroup separability of generalized free products of free-by-finite groups // Can. Math. Bull. 1993. V. 36, № 4. P. 385−389.

5. Baumslag В., TretkojfM. Residually finite HNN-extensions // Comm. Algebra. 1978. V. 6. P. 179−194.

6. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 193−209.

7. Baumslag G., Soliter D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199−201.

8. Brunner A. M., Burns R. G., Solitar D. The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contributions to group theory. Contemp. Math. 1984. V. 33. P. 90−115.

9. Burns R. C. On finitely generated subgroups of free products // J. Austral. Math. Soc. 1971. V. 12. P. 358−364.

10. Collins D. The automorphism towers of some one-relator groups // Proc. London. Math. Soc. (3). 1978. V. 36. P. 480−493.W.EvansB. Cyclic amalgamations of residually finite groups // Pacific J. Math. 1974. V. 55. P. 371−379.

11. GitikR. Graphs and separability properties of groups // J. Algebra. 1997. V. 188, № l.P. 125−143.

12. GitikR., Rips E. A necessary condition for A *a=bB to be LERF // Isr. J. Math. 1991. V. 73, № 1. P. 123−125.

13. GitikR., RipsE. On separability properties of groups // Int. J. Algebra Comput. 1995. V. 5, № 6. P. 703−717.15 .GruenbergK. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. Ser. 3. 1957. V. 7. P. 29−62.

14. Hall М. Jr. Coset representation in free groups // Trans. Am. Math. Soc. 1949. V. 67. P. 421−432.

15. Hall M. Jr. Subgroup of finite index in free groups // Can. J. Math. 1949. V. 1. P. 187−190.18 .Higman G. Amalgams of /^-groups // J. Algebra. 1964. V. 1. P. 301−305.

16. Hirsch К A. On infinite soluble groups (IV) // J. Lond. Math. Soc. 1952. V. 27. P. 81−85.

17. Kim G On polygonal products of finitely generated abelian groups // Bull. Aust. Math. Soc. 1992. V. 45, № 3. P. 453⁶².21 .Kim G. Cyclic subgroup separability of generalized free products // Ca-nad. Math. Bull. 1993. V. 36 (3). P. 296−302.

18. Kim G., McCarron J. On amalgamated free products of residually^-finite groups // J. Algebra. 1993. V. 162, № 1. P. 1−11.

19. Kim G., TangC. Y. On generalized free products of residually finite p-groups // J. Algebra. 1998. V. 201. P. 317−327.

20. Kim G. Tang C. Y. Cyclic subgroup separability of HNN-extensions with cyclic associated subgroups // Can. Math. Bull. 1999. V. 42, № 3. P. 335−343.

21. Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziel-len Ring // Math. Ann. 1935. V. 111. P. 259−280.

22. Meskin S. Non-residually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 164. P. 105−114.

23. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. V. 246. P. 503−554.

24. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups II // Am. J. Math. 1949. V. 31. P. 491−540.

25. Niblo G A. HNN-extensions of a free group by Z which are subgroup separable // Proc. Lond. Math. Soc. III. 1990. Ser. 61, № 1. P. 18−32.

26. RipsE. An example of a non-LERF group which is a free product of LERF groups with an amalgamated cyclic subgroup // Isr. J. Math. 1990. V. 70, № 1. P. 104−110.

27. Shirvani M. A converse to a residual finiteness theorem of G. Baumslag // Proc. Am. Math. Soc. 1988. V. 104, № 3. P. 703−706.

28. Stebe P. Residual finiteness of a class of knot groups // Comm. Pure and Applied Math. 1968. V. 21. P. 563−583.

29. Tang C. Y. Conjugacy separability of generalized free products of certain conjugacy separable groups // Can. Math. Bui. 1995. V. 38. P. 120−127.

30. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 2 (1999). С. 3−4.

31. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость и другие аппроксима-ционные свойства свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Иванов, гос. ун-т. Иваново, 1999, — 55 с. — Рус. — Деп. в ВИНИТИ 28.04.99 № 1371-В99.

32. Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5 (2002). С. 6−10.

33. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40, № 2. С. 395−407.

34. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с централизованными подгруппами // Науч. тр. Иван. гос. унта. Математика. Вып. 2 (1999). С. 101−104.

35. Логинова Е. Д. Финитная отделимость циклических подгрупп свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (2000). С. 49−55.

36. МагнусВ., КаррасА., СолитэрД. Комбинаторная теория групп. М., 1974.456 с.

37. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. Т. 25. С. 347−366.

38. Мальцев А. И. О некоторых классах бесконечных разрешимых групп // Матем. сб. 1951. Т. 28, № 3. С. 567−588.

39. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49−60.

40. Молдаванский Д. И. Об изоморфизмах групп Баумслага-Солитэра // Укр. матем. ж. 1991. Т. 43, № 12. С. 1684−1686.

41. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами HNN-расширений // Вестн. ИвГУ. Сер. «Биология, Химия, Физика, Математика». Вып. 3 (2000). С. 129−140.

42. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 1968. Т. 12, № 1. С. 3−36.

43. Якушев А. В. Аппроксимируемость конечными^{-группами} расщепляющихся расширений групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 3 (2000). С. 119−124.Публикации автора по теме диссертации.

44. Соколов Е. В. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // «Молодая наука 2000». Сборник научных статей аспирантов и студентов ИвГУ. Часть 1. Иваново: ИвГУ, 2000. С. 229−238.

45. Соколов Е. В. Об отделимости циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях групп // Молодая наука в классическом университете. Тез. докл. науч. конф., Иваново, 15−19 апреля 2002 г. Ч. 3. Иваново: ИвГУ, 2002. С. 85.

46. Соколов Е. В. Об отделимости циклических подгрупп в свободных произведениях двух групп с объединенной подгруппой // Иванов, гос. ун-т. -Иваново, 2002, 23 с. — Библиогр. 13 назв. — Рус. — Деп. в ВИНИТИ 12.07.2002 № 1325-В2002.

47. Соколов Е. В. Финитная отделимость циклических подгрупп в некоторых обобщенных свободных произведениях групп // Вестник молодых ученых ИвГУ. Вып. 2. Иваново: ИвГУ, 2002. С. 7−10.

48. Sokolov Е. V. On the cyclic subgroup separability of free products of two groups with amalgamated subgroup // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2002. V. 11. P. 27−38.

49. Соколов Е. В. Об аппроксимируемости конечными /^-группами некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 1. С. 97−102.

50. Соколов Е. В. Об отделимости подгрупп обобщенного свободного произведения групп // Научно-исследовательская деятельность в классическом университете: ИвГУ-2003. Матер, науч. конф., Иваново, 19−21 февраля 2003 г. Иваново: ИвГУ, 2003. С. 6−7.

51. Соколов Е. В. Замечание об отделимости подгрупп в классе конечных 71-групп // Математические заметки. 2003. Т. 73, вып. 6. С. 904−909.

52. Соколов Е. В. Об отделимости подгрупп в некоторых классах конечных групп / Иванов, гос. ун-т Иваново, 2003, — 90 с. — Библиогр. 49 назв. -Рус. — Деп. в ВИНИТИ 22.07.2003 № 1433-В2003.