Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Пусть Э£, ф, Я — банаховы пространства. Рассмотрим задачу Ко-ши ж (0) = ?0 (0.1) для линейного операторно-дифференциального уравнения.

Ьх ({) = Мх{1) + Ви (г), о<�г<�т. (0.2).

Здесь операторы Ь? ?(?-$), М е В? ?(Я-ф), функция и (£): [0, Т] —^ Я обозначает управление. Цель работы — исследовать управляемость уравнения (0.2), то есть возможность приведения траектории его решения в произвольную наперед заданную точку или е-окрестность заданной точки (^-управляемость).

Если оператор Ь непрерывно обратим, то уравнение (0.2) сводится к уравнению х (*) = 5ж (£) + Ь^Ви^) (0.3) на пространстве X. Вопрос^{-управляемости} уравнения (0.3) исследовался в [6], [35], [52], [94], [109], точная управляемость — в [29], [34], [87]. Одна из наших целей — исследовать е-управляемость уравнения (0.2) в случае, когда кетЬ ф {0}, а оператор М сильно {Ь, р)~радиален [61], то есть существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения (0.2). Кроме того, будут рассмотрены вопросы точной управляемости вырожденного уравнения (0.2).

Пусть теперь пространство управлений Я конечномерно, а оператор т.

Bu (t) = ?biui (t). г=1.

Тогда уравнение (0.2) примет вид т.

Lx (t) = Mx (t) + ?biUi (t), 0 < i < т. Еще одной целью диссертационной работы является исследование конечномерной е-управляемости вырожденного уравнения (0.4) (kerL ф- {0}) с (L, сг)-ограниченным оператором М, L-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности [60], используя результаты работы А. Б. Куржанского [35].

Кроме того, рассмотрим задачу Коши (0.1) для более общего, чем (0.4), уравнения т.

Lx (t) = Mx (t) + bi (t)ui (t) + c{t), 0.

Оно содержит вектор-функции bi (t), c (t): [0,Т] —> 2), 1 < г < т. Если оператор L непрерывно обратим, а т = 1, то уравнение (0.5) сводится к уравнению х (t) = Ь-гМх{р) + L~l (b{t)u (t) + c (t)). (0.6).

Уравнения такого вида рассматривались Ф. А. Шолоховичем и С. А. Нефедовым [52]. Задачей настоящей работы является также исследование вырожденного уравнения (0.5) с сильно (L, p)-радиальным оператором М и произвольным т € N.

ИСТОРИОГРАФИЯ ВОПРОСА.

Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре [101] в 1885 году. Результаты, полученные позднее C.W. Oseen [100], F.K.G. Odqvist, J. Leray [37], J. Leray и J. Schauder, E. Hopf по системе Навье — Сток-са (vt ~ vAv + Vp = 0, div v = 0) и исследования C.JI. Соболева [73] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости заложили фундамент нового направления, существенный вклад в развитие которого внесли РА. Александрян [4], Т. И. Зеленяк [21], С А. Галь-перн [17] и другие.

Абстрактные дифференциальные операторные уравнения вида.

L х (t) = Mx (t) (0.7) исследовали М. И. Вишик [12], С. Г. Крейн и его ученики [22], [33], и многие другие. Таким образом, к настоящему времени выделились два направления исследований уравнений, не разрешенных относительно производной: решение задач для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных и изучение абстрактных уравнений типа (0.7) с приложением к задачам математической физики.

К первому направлению следует отнести работы С А. Гальпе-рна [17], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскина [30], Т. И. Зеленяка [21], В. Н. Врагова [15], А. И. Кожанова [23] и многих других. Здесь «прикладная» задача выступает как объект исследования, а методом исследования служат результаты «чистой» математики.

В исследованиях по второму направлению наблюдается другой подход: «прикладные» задачи являются иллюстрациями исследования «абстрактных» задач. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают R.E. Showalter [103] - [106], H.A. Сидоров и его ученики [71], [72]. Один из подходов к исследованию задачи Коши для уравнений соболевского типа предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах A. Favini и A. Yagi [95] - [97], [111], И. В. Мельниковой и ее учеников [40] - [43], Г. А. Свиридюка [55] - [62], В. Е. Федорова [75] - [82].

Отдавая дань вкладу C.JI. Соболева, который первым начал систематическое исследование уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, уравнения вида (0.7) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями соболевского типа. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов «псевдопараболические уравнения» [24], «уравнения типа Соболева» [63], «уравнения типа Соболева — Галь-перна» [30] и «уравнения не типа Коши — Ковалевской» [38]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. В настоящее время такие уравнения по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствует большое количество вышедших в последнее время монографий [18], [19], [70], [99], [102], [108].

Основой для полученных в данной работе результатов послужила теория вырожденных полугрупп операторов, а именно, вырожденных аналитических групп [57] - [60] и сильно непрерывных полугрупп операторов [61], [64], [75], [77], [78].

Интерес к теории оптимальных процессов появился в 50-х годах.

XX столетия. Одно из важных мест в этой теории занимает вопрос управляемости, особенно для систем с распределенными параметрами. Это объясняется, во-первых, усложнением процессов, с которыми приходится иметь дело, а, во-вторых, с повышением требований к адекватности математических моделей. В конечномерных пространствах вопрос управляемости, то есть возможности перевода динамической системы из одного состояния в другое наперед заданное, исследован довольно полно. Отметим в этом смысле работы H.H. Красовского [31], A.A. Воронова [13], [14]. В связи с этим, в настоящее время исследуется, в основном, возможность оптимального управления, то есть достижения желаемой дели наилучшим способом.

В бесконечномерных пространствах вопрос управляемости решается не так просто. В библиографических ссылках, имеющихся в ряде работ, указывается, что «вопрос о точной управляемости в бесконечномерном пространстве рассматривался впервые для уравнения х (t) = Ax (t) + bu (t) (0.8) в работе Ф. А. Шолоховича [87]» (цит. по [29]). В [87] же было установлено, что в гильбертовом пространстве X существует множество точек, которые не управляемы в нуль при некоторых условиях. Далее этот результат обобщили JI.M. Куперман и М. Ю. Репин [34] и доказали неуправляемость любой динамической линейной системы вида (0.8) с ограниченным оператором, А в бесконечномерном пространстве, если управляющее воздействие конечномерно. Заметим, что управляемость понималась в следующем смысле: попадание из любой точки в любую, а неуправляемость — как отрицание этого свойства.

R.E. Kaiman, Y.C. Но и K.S. Narendra в работе [98] ввели понятие полной управляемости, которое слабее понятия точной управляемости и означает попадание из начала координат в произвольную е-окрестность заданной точки. Изучению полной управляемости для случая самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве посвящена работа Н.О. Fattorini [94]. А. Б. Куржанским было предложено другое название этого свойства: е-управляемость и сформулирован критерий^{-управляемости} в нуль для системы (0.8) в банаховом пространстве ЗС: система (0.8) ег-управляема за любое время Т > 0 в том и только в том случае, если линейная оболочка векторов {b, Ab,., Anb,.} плотна в пространстве X [35]. Отметим также работы R. Triggiani по исследованию управляемости и наблюдаемости в банаховых пространствах [109], [110].

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ.

В настоящее время существует огромное количество результатов по управляемости и смежным вопросам. Охватить все результаты не представляется возможным. Основные результаты исследования управляемости линейных динамических систем, полученные математиками Екатеринбурга, Харькова, Минска и некоторых других научных центров, содержатся в обзоре [90].

Поскольку точная управляемость скалярным или конечномерным векторным управлением невозможна, исследования ведутся в двух направлениях: е-управляемость для конечномерного управления и точная и^{-управляемость} для бесконечномерного управления, то есть управляющее воздействие само принадлежит в каждый момент времени некоторому банахову пространству.

Отметим некоторые наиболее интересные работы, относящиеся к первому направлению. Работа Ф. А. Шолоховича и С. А. Нефедова [88] содержит критерий е-управляемости линейной динамической системы, обобщающий результат А. Б. Куржанского на случай неограниченного оператора, А в уравнении (0.8) при условии сходи-00 мости ряда ^^АпЬ. Заметим, что в этой работе приведен пример п—О «» отсутствия полной е-управляемости линейной динамической системы. И.О. Еа-Мюпш в работах [92], [93] обратил внимание на тот факт, что существуют системы, в которых из нуля в любую точку можно попасть лишь с помощью единственного управления. Такие системы называют жесткими, а остальные мягкими. Свойство жесткости проявляется при переходе к бесконечномерным системам. Статья С. А. Нефедова [48] посвящена исследованию условий жесткости и мягкости систем.

В работе С. А. Нефедова [49] рассматривается уравнение (0.8) в комплексном банаховом пространстве и строится пополнение пространства по более слабой норме. Вводится понятие квазиуправляемости системы и доказывается несколько предложений, связывающих квазиуправляемость системы со свойствами спектра сг (А).

В работе [51] С. А. Нефедовым и Ф. А. Шолоховичем строится полугрупповая модель граничного управления в пространстве 3 для системы п 1—1.

Здесь Ь — замкнутый линейный оператор, т — линейный граничный оператор, г>,-(t) — управления. При определенных условиях решение данной граничной задачи совпадает с решением уравнения = A-lZ (t) + Bv (t), Bv = -f^A-Wt i=1 в пространстве 3-ъ являющемся пополнением исходного пространства 3, оператор i — расширение на З-i оператора —L. Наряду с управляемостью, понимаемой как возможность достижения из нуля любой точки, исследуется также абсолютная стабилизируемость динамической системы.

Стабилизируемость (экспоненциальная) и управляемость (как переход из нуля в произвольную точку за некоторое время) системы (0.1), (0.3) в комплексном банаховом пространстве 3 изучается в работе [50]. Здесь Ь~гВ — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий Rn на свою область значений в пространстве 3, управление u (t) принимает значения в конечномерном пространстве Получается довольно естественный результат: конечномерный вход позволяет стабилизировать лишь некоторую конечномерную подсистему.

Ф.А. Шолоховичем исследована управляемость уравнения (0.6) с неограниченным и зависящим от времени оператором А{&euro-) в работе [89]. Отметим, что в этом случае автором рассмотрены следующие случаи: время Т движения из точки xq в е-окрестность точки уо не зависит ни от точек xq, уоУ ни от е время Т зависит от точек у ои время зависит и от точек жо, У о и от г. Среди результатов отметим две теоремы, аналогичные теореме H.H. Красовского [31] об управляемости линейной конечномерной системы с переменными коэффициентами.

Рассмотрим работы во втором направлении исследований, то есть с бесконечномерным управлением. В простом примере понятие бесконечномерного управления было введено Ф.А. Шолохови-чем [88]. В. А. Якубовичем в работе [91] было рассмотрено уравнение вида (0.8) в гильбертовом пространстве X с управлениями из гильбертова пространства Я. Полной управляемостью здесь называется точная управляемость в нуль, а управляемостью — е-уп-равляемость в нуль. Получены семь равносильных между собой критериев управляемости. Отметим один из них: для управляемости необходимо и достаточно совпадение замыкания линейной оболочки векторов {АпЪи} с пространством X. Кроме того, утверждается равносильность управляемости и попадания из любой точки пространства X в произвольную^{-окрестность} всякой другой точки пространства X.

Исследованию нуль-управляемости линейных стационарных систем вида (0.3) с линейным замкнутым плотно определенным оператором 5 в банаховом пространстве посвящена работа И. В. Бейко и М. М. Копец [8]. Результаты по нуль-управляемости системы вида (0.3), где операторы зависят от времени и управление является абстрактной функцией, содержит работа М. М. Копец [26].

Изучению управляемости динамических систем с бесконечномерным управлением посвящены работы В. И. Коробова и его учеников. Линейная система с запаздыванием в банаховом пространстве X рассматривается в диссертации Р. Рабах [53]. В ней приводятся условия точной и е-управляемости таких систем в терминах совпадения с X линейной оболочки или ее замыкания для областей значений некоторой последовательности операторов, отображающих все пространство управлений Я в X. Изучаются условия наблюдаемости, связь наблюдаемости и управляемости, экспоненциальная стабилизируемость системы (0.8) в гильбертовом пространстве. Работа В. И. Коробова и Р. Рабах [29] помимо критерия точной управляемости уравнения (0.3) в банаховом пространстве содержит также критерий точной управляемости уравнения (0.3) с зависящими от времени операторами.

В.И. Коробов и Нгуен Хоа Шон в работах [27] и [28] исследовали управляемость уравнения (0.3) при наличии ограничений на управление. Ими были получены критерии управляемости, локальной управляемости, а также локальной £-управляемости за свободное время, сформулированные в терминах сопряженного оператора А*. Изучению управляемости и наблюдаемости систем в банаховых пространствах посвящена работа [5], а также диссертация A.B. Шапиро [85]. Из особенностей этой работы отметим, например, что вводится определение управляемости, опирающееся на равенство, в котором содержатся функционалы из сопряженных пространств. Работа А. П. Маринича [39] содержит критерии е-управляемости линейных систем вида (0.3) с бесконечномерным управлением и зависящими от времени операторами при наличии или отсутствии ограничений на функцию управления. Применяется метод, использующий условие разрешимости так называемой &bdquo-проблемы момент-ных неравенств" .

Б.Ш. Шкляр в работе [86] изучает управляемость системы х (t) = Lx (t) + BQu0(t), Gx (t) = Bm^t) в банаховом пространстве, где оператор Ь неограничен, операторы Во, В ограничены, управления щ Е? Дь Для этого вводит понятие приближенной нуль-управляемости, понимаемое в смысле^{-управляемости} в нуль. Полученные результаты эффективно применяются при исследовании приближенной нуль-управляемости некоторых уравнений в частных производных. Исследование В. И. Назарова [46], [47] посвящено управляемым системам с распределенными параметрами в шкалах банаховых пространств. Работы С. А. Минюка [44] и [45] содержат результаты по управляемости и е-управляемости системы (0.3) с неограниченным оператором, А при помощи бесконечномерного управления, подчиненного ограничениям.

Завершая краткий обзор многочисленных работ, ведущихся в интересующем нас направлении, отметим работы С. А. Авдонина, С. А. Иванова и их сотрудников [1] - [3] по управляемости систем с распределенными параметрами. Из особенностей этих работ отметим сведение задачи управления к проблеме моментов относительно семейства показательных функций, изучение параболических (в том числе с запаздыванием) и гиперболических систем уравнений в частных производных. Данные работы содержат довольно обширный ряд приложений.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

Уравнения соболевского типа возникают в широком классе прикладных задач [18], [70], [97]. Потребность не только в разрешимости таких задач, но и в решении касающихся их прикладных вопросов, ставит перед исследователями много интересных и практически значимых задач.

Одной из наиболее часто возникающих и важных задач прикладного характера является задача оптимального управления. Для линейного уравнения соболевского типа задача оптимального управления исследовалась в работах [20], [65], [66], [67], [107]. В конечномерных пространствах уравнения соболевского типа или так называемые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, задачи оптимального управления для них, рассматриваются в работах Ю. Е. Бояринцева [10], [11] и В. Ф. Чистякова [83], [84].

Однако, решение задач оптимального управления имеет смысл лишь в случае существования множества управлений, то есть при наличии возможности неоднозначно выбрать управление, приводящее к желаемой дели. Поэтому необходимо, чтобы система обладала свойством управляемости.

Для линейных уравнений соболевского типа управляемость, по-видимому, ранее не изучалась, поэтому данное исследование следует признать актуальным.

НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

Основными результатами диссертации являются теоремы об управляемости и^{-управляемости} дифферециального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной.

Так при исследовании бесконечномерной управляемости уравнения (0.2) в случае, когда кегЬ ф {0}, а оператор М сильно (Ь, р)-радиален получен критерий бесконечномерной^{-управляемости.} Для случая несущественной особой точки в бесконечности у оператор-функции (/лЬ — М)~1 получены необходимые условия точной управляемости.

При исследовании ег-управляемости уравнения (0.4) с вырожденным оператором при производной, с относительно спектрально ограниченным оператором в правой части и несущественной особой точкой в бесконечности у его относительной резольвенты найдены необходимые условия конечномерной е-управляемости. Показано, что для уравнения, суженного на ядро разрешающей группы конечномерная е-управляемость равносильна точной управляемости и получен ее критерий.

Для более общего класса уравнений (0.5) в предположении, что оператор М сильно (1/, р)-радиален получены необходимые условия конечномерной £-управляемости уравнения (0.5).

Во всех рассмотренных случаях показано, что при возможности раздельного управления сингулярной и регулярной системами, к совокупности которых сводится исходная система, все полученные результаты имеют характер критериев.

Показана эффективность полученных абстрактных результатов на примерах исследования е-управляемости и точной управляемости для некоторых классов начально-краевых задач для уравнений математической физики.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

При изучении^{-управляемости} и управляемости используются методы теории полугрупп операторов, методы функционального анализа и теории управляемости эволюционных уравнений.

Кроме того, наш подход использует метод фазового пространства [60]. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (0.2) к паре эквивалентных ему уравнений, определенных, однако, не на пространстве X, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является фазовым пространством уравнения, а другое — ядром разрешающей полугруппы.

Следуя названному методу, в случае уравнения (0.2) мы приходим к двум уравнениям.

X1{г) = йж1^) + Ь^Виф, (0.9).

Нх°{г) = + - (о.ю) на подпространствах X1 и Х° соответственно, здесь операторы = Ь^Мг е С (Хг), Н = М^Ь0 е £{Х°).

Таким образом, исследование управляемости уравнения (0.2) сводится к исследованию управляемости каждого из уравнений (0.9) и (0.10) по отдельности. При исследовании управляемости уравнения (0.9) используются результаты, касающиеся уравнения вида (0.3) ((0.6), (0.8)), в частности, полученные ранее в работах [6], [29], [109] ([87], [35]). Исследовать же управляемость уравнения (0.10) существенно помогает нильпотентность оператора Н.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация кроме Введения содержит три главы и Список литературы.

Список литературы

не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат соответственно основные факты об (.Ь, <�т)-ограниченных и сильно (Ь, р)-радиальных операторах и соответствующих им аналитических группах и сильно непрерывных полугруппах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [68] - [70], [75]. В четвертом параграфе представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах [74].

Вторая и третьи главы содержат новые результаты об управляемости и^{-управляемости} уравнений соболевского типа.

Вторая глава посвящена исследованию бесконечномерной управляемости уравнения соболевского типа. В первом параграфе обосновывается выбор класса функций управления и вводятся определения^{-управляемости} из нуля, в нуль и из любой точки в любую для уравнения (0.2) с сильно (Х, р)-радиальным оператором М. Кроме того, помимо^{-управляемости} за время Т вводится понятие ег-управляемости за свободное время. Изучается взаимосвязь данных определений для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (0.2) и уравнения, суженного на ядро полугруппы, приводятся необходимые условия^{-управляемости.} Второй параграф содержит критерии^{-управляемости} уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (0.2), то есть невырожденного уравнения. В третьем параграфе найдены критерии^{-управляемости} вырожденного уравнения и уравнения (0.2). В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются при изучении^{-управляемости} уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Полученные абстрактные результаты используются при исследовании начально-краевой задачи для алгебро-дифференциальной системы уравнений с частными производными в пятом параграфе.

В шестом параграфе второй главы вводятся понятия точной управляемости уравнения (0.2) в предположении, что оператор М (Ь, а)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (цЬ — М)-1. Необходимые условия точной управляемости уравнения (0.2) приведены в седьмом параграфе. В восьмом параграфе исследуется точная управляемость уравнения (0.2) для случая переменного оператора управления В (£).

В третьей главе изучается конечномерная управляемость уравнения соболевского типа. В первом параграфе приводится критерий конечномерной е-управляемости для уравнения, определенного на фазовом пространстве уравнения (0.4) в предположении, что оператор М (I/, <�т)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой порядка р оператор-функции (/хЬ — М)-1. Во втором параграфе исследуется е-управляемость для суженного на ядро группы уравнения, в результате получен критерий точной управляемости. Третий параграф содержит необходимое условие конечномерной е-управляемости уравнения (0.4). Отмечено, что в данной постановке задачи, найденное условие не является достаточным, в результате чего там же рассмотрена задача с раздельными функциями управления, для которой сформулирован критерий^{-управляемости.} В четвертом параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования конечномерной^{-управляемости} задачи Коши — Дирихле для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной [7].

Пятый параграф третьей главы посвящен исследованию е-уп-равляемости более общего уравнения (0.5). Используя результаты [50] и предыдущих параграфов, в предположении, что оператор М сильно (?, р)-радиален, найдены необходимые условия конечномерной^{-управляемости} уравнения (0.5). Шестой параграф содержит пример не^{-управляемой} системы. В седьмом параграфе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения, содержащего многочлены от эллиптического оператора высокого порядка, которая является обобщением некоторых задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.

АПРОБАЦИЯ.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001, 2004) [122], [121], XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001) [112], научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Челябинск, 2001 — 2003) [113], [115], [118], Международных научных конференциях «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (Челябинск, 2002) [114], «Ill-posed and inverse problems» (Новосибирск, 2002) [127], «Обратные задачи: теория и приложения» (Ханты-Мансийск, 2002) [116], «Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (Тамбов, 2003), Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Екатеринбург, 2003) [117], на семинаре проф. Г. А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

БЛАГОДАРНОСТИ.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю доценту В. Е. Федорову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работепрофессору Г. А. Свиридюку и коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику, а также моим родителям Фаине Павловне и Александру Федоровичу за заботу и помощь.

1. Авдонин С. А. Управляемость систем с распределенными параметрами: Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук. Ленинград: ЛГУ, 1991.

2. Авдонин С. А., Горшкова О. Я. Управляемость и квазиуправляемость параболических систем с запаздыванием // Дифферент уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 442 451.

3. Авдонин С. А., Иванов С. А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент: Учеб. пособие. Киев: УМК ВО, 1989.

4. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порождаемых системами дифференциальных уравнений типа Соболева // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 455 505.

5. Аллахвердиев Д. Э., Шапиро A.B. Об управляемости и наблюдаемости систем в банаховых пространствах // ДАН Азерб. ССР, 1979. Т. 35, № 5. С. 5 8.

6. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

7. Баренблатт Г. И., Желтое Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // ПММ. 1960. Т. 24, № 5. С. 58 73.

8. Бейко И. В., Копец М. М. О нуль-управляемости линейных стационарных систем в банаховом пространстве // Укр. мат. журнал. 1976, № 1. С. 70 72.

9. Дзещер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью. ДАН СССР. 1972. Т. 202, № 5. С. 1031 1033.

10. Бояринцев Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

11. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

12. Виши% М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб. 1956. Т. 38, № 1. С. 51 148.

13. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М: Наука, 1979.

14. Воронов А. А.

Введение

в динамику сложных управляемых систем. М: Наука, 1985.

15. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1983.

16. Габое С. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986.

17. Гальперн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 401 423.

18. Демиденко Г. В., Успенский C.B. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Изд-во Научная книга, 1998.

19. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

20. Ефремов A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1996.

21. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1970.

22. Зубова С. П., Чернышов К. И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применения. 1976. Т. 14. С. 21 -39.

23. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1990.

24. Кожанов А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // ДАН СССР. 1992. Т. 326, № 5. С. 781 786.

25. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989.

26. Конец М. М. Об управляемости линейной системой в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 3. С. 561 563.

27. Коробов В. И., Нгуен Хоа Шон. Управляемость линейных систем в банаховом пространстве при наличии ограничений на управление. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 5. С. 806 817.

28. Коробов В. И., Нгуен Хоа Шон. Управляемость линейных систем в банаховом пространстве при наличии ограничений на управление. II // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 6. С. 1010 1022.

29. Коробов В. И., Рабах Р. Точная управляемость в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2142 2150.

30. Костюченко А. Г., Эскин Г. И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна // Тр. Моск. мат. о-ва. 1961. Т. 10. С. 273 285.

31. Красовсшй H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

33. Крейн С. Г., Чернышов K.M. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Новосибирск, 1979. (Препринт / Ин-т математики СО РАН).

34. Куперман JI.M., Репин Ю. М. К вопросу об управляемости в бесконечномерных пространствах // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 767 769.

35. Куржанский A.B. К управляемости в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9. С. 1715 -1718.

36. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

37. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1965.

39. Маринич А. И. О^{-управляемости} линейных систем в банаховом пространстве и моментных неравенствах // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 3. С. 413 417.

40. Мельникова И. В., Альшанский М. А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т. 336, № 1. С. 17 20.

41. Мельникова И. В., Альшанский М. А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т. 343, № 4. С. 448 451.

42. Мельникова И. В., Филинков А. И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 6. С. 111 150.

43. Мельникова И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 892 910.

44. Минюк С. А. К теории нуль-управляемости в банаховом пространстве линейных нормальных систем при наличии ограничений на управление // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 12. С. 1994 2004.

45. Минюк С. А. К теории нуль-управляемости в банаховом пространстве линейных нормальных систем при наличии ограничений на управление // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 501 508.

46. Назаров В. И. Системы управления с распределенными параметрами в шкалах банаховых пространств. I // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С. 238 249.

47. Назаров В. И. Системы управления с распределенными параметрами в шкалах банаховых пространств. II // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 3. С. 425 431.

48. Нефедов С. А. О свойстве жесткости линейных динамических систем с управлением, заданных в бесконечномерных пространствах // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 10. С. 1786 1793.

49. Нефедов С. А. К теории управляемости систем с распределенными параметрами // Дифференд. уравнения. 1983. Т. 19, № 11. С. 1998 2001.

50. Нефедов С. А., Шолохович ФА. Критерий стабилизируемости динамических систем с конечномерным входом // Дифферент уравнения. 1986. Т. 22, № 2. С. 223 228.

51. Нефедов С. А., Шолохович Ф. А. О полугрупповом подходе к задачам граничного управления // Изв. вузов. Математика. 1985. Т. 12, С. 37 42.

52. Нефедов С. А., Шолохович Ф. А. Критерий е-управляемости линейной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 653 657.

53. Рабах Р. Об управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем в банаховом пространстве: Автореф. дисс.. канд. физ-мат. наук. Харьков: ХГУ, 1978.

54. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1823 1825.

55. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 12. С. 2169 2171.

56. Свиридюк Г. А., Сукачева Т. Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 250 258.

57. Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН. 1991. Т. 318, № 4. С. 828 831.

58. Свиридюк Г. А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах. Дис.. докт. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1992.

59. Свиридюк Г. А., Апетова Т. В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т. 330, № 6. С. 696 699.

60. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47 74.

61. Свиридюк Г. А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т. 337, № 5. С. 581 584.

62. Свиридюк Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, № 2. С. 216 237.

63. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. ИЗО 1145.

64. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. Относительно сильно радиальные операторы и сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, № 4. С. 142.

65. Свиридюк Г. А., Ефремов A.A. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 11. С. 1912 1919.

66. Свиридюк Г. А., Ефремов A.A. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. 1996. № 12. С. 75 83.

67. Свиридюк Г. А., Ефремов A.A. Оптимальное управление одним классом линейных вырожденных уравнений // ДАН. 1999. № 3. С. 323 325.

68. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. ИЗО 1145.

69. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 3. С. 604 616.

70. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. Уравнения соболевского типа. Челябинск: Изд-во ЧелГУ, 2003.

71. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией // Мат. заметки. 1980. Т. 95, № 4. С. 569 578.

72. Сидоров H.A., Фалалеев M.B. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726 728.

73. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. С. 3 50.

74. Трибелъ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

75. Федоров В. Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами // ДАН. 1996. Т. 351, № 3. С. 316−318.

76. Федоров В. Е. Генераторы аналитических групп операторов с ядрами // Вестник ЧелГУ. Сер. Матем. Мех. 1996. № 1(3). С. 184 189.

77. Федоров В. Е. Полугруппы и группы операторов с ядрами. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

78. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173 -200.

79. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. № 3. С. 54 65.

80. Федоров В. Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000. С. 32 40.

81. Федоров В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 1646 1649.

82. Федоров В. Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы // Изв. РАН. Сер. Матем. 2003. Т.67, № 4. С. 171 188.

83. Чистяков В. Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Динамика нелинейных систем. Новосибирск. 1983. С. 163 173.

84. Чистяков В. Ф. О понятии индекса сингулярной системы // Дифференц. уравнения и численные методы. Новосибирск. 1986. С. 123 128.

85. Шапиро A.B. Об управляемости и наблюдаемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах: Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Свердловск: УрГУ, 1980.

86. Шкляр Б. Ш. К управляемости линейных систем с распределенными параметрами // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 461 -471.

87. Шолохович Ф. А. Об управляемости в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 3. С. 479 484.

88. Шолохович Ф. А. Линейные динамические системы с управлением // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 2. С. 300 -308.

89. Шолохович Ф. А. Эпсилон-управляемость нестационарных линейных динамических систем в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 475 480.

90. Шолохович Ф. А. Об управляемости линейных динамических систем // Изв. УрГУ. 1998. № 10. Вып. 1. С. 103 126.

91. Якубович В. А. Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и управлений — гильбертовы, и ее применение в некоторых задачах синтеза оптимального управления // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 46. № 5. С. 1081 1102.

92. Fattorini И.О. Control in finite time of differential equations in Banach space // Comm. Pure Appl. Math. 1966. V. 19, № 1. P. 17 34.

93. Fattorini H. O. On Jordan operator and rigidity of linear control systems // Revista de la Union Matamatica Argentina. 1966. V. 23. № 1. P. 67 75.

94. Fattorini H. O. On complete controllability of linear systems // J. Different. Equat. 1967. V. 3. P. 391 402.

95. Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. mat. 1979. V. 12, № 3 4. P. 511 -536.

96. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V. CLXII. P. 353 384.

97. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. N.Y.: Marcel Dekker, 1999.

98. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems // Contrib. Different. Equat. 1963. V. 1, № 2. P. 189 213.

99. Melnikova I.V., Filinkov A.I. Abstract Cauchy problems: three approaches. Boca Raton, FL: 2001. MSC 2000.

100. Oseen C. W. Hydrodynamik. Leipzig, 1927.

101. Poincare H. Sur l’equilibre d’une masse flnide animee d’un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. P. 259 380.

102. Sidorov N.- Loginov B., Sinithyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2002.

103. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V. 31, № 3. P. 787 793.

104. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 6, № 1. P. 25 42.

105. Showalter R. E. The Sobolev type equations. I. Appl. Anal. 1975. V. 5, № 1. P. 15 22.

106. Showalter R. E. The Sobolev type equations. II. Appl. Anal. 1975. V. 5, № 2. P. 81 99.

107. Sviridyuk G.A., Efremov A.A. Optimal control problem for a class of linear equations of Sobolev type // Proc. of ICOTA'95. Chengdu, China, 1995. P. 773 782.

108. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. UtrechtBoston: VSP, 2003.

109. Triggiani R. Controllability and observability in Banach space with bounded operators // SIAM J. on Control, 1975. V. 13, № 2, 462 -491.

110. Triggiani R. A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces // SIAM J. on Control, 1977. V. 15, № 4, 407 411.

111. Yagi A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators // Osaka J. Math. 1991. V. 28. P. 385 410.

112. Рузакова О. А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (Ь, р)-радиальным оператором // Студент и научно-технический прогресс. Тез. междунар. научи. студ. конф. Новосибирск, 2001. С. 127- 128.

113. Рузакова О. А. Управляемость неоднородного уравнения соболевского типа с сильно (?, р)-радиальным оператором // Студент и научно-технический прогресс. Тез. научн. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2001. С. 9 11.

114. Рузакова О. А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 215 219.

115. Рузакова О. А. Об одномерной управляемости линейных уравнений соболевского типа // Студент и научно-техническийпрогресс. Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2002. С. 5−6.

116. Рузакова O.A. Двумерная управляемость задачи Коши-Дирихле для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной // Обратные задачи: теория и приложения: Тез. докл. между-нар. науч. школы-конф. Часть 2. Ханты-Мансийск, 2002. С. 30−31.

117. Рузакова O.A. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Актуальные проблемы прикладной математики и механики. Тез. докл. Всеросс. конф. Екатеринбург. 2003. С. 65 66.

118. Рузакова O.A. Двумерная управляемость уравнения соболевского типа // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2003. С. 6.

119. Рузакова O.A. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Вестн. ЧелГУ. Математика, механика, информатика. 2003, № 1. С. 127 135.

120. Рузакова O.A. К вопросу об одномерной управляемости линейных вырожденных уравнений // Вестник МаГУ. Сер. Математика. 2003, Вып. 4. С. 111 120.

121. Рузакова O.A. Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург. 2004. С. 216.

122. Рузакова О. А., Федоров В. Е. Об одномерной управляемости в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всеросс. научн. конф. Екатеринбург, 2001. С. 177 178.

123. Рузакова О. А., Федоров В. Е. Одномерная управляемость уравнений соболевского типа // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели. Тез. докл. междунар. науч. конф. Челябинск, 2002. С. 85.

124. Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137- 1139.

125. Федоров B.E., Рузакова О. А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54 57.

126. Федоров B.E., Рузакова О. А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 4. С. 618 628.

127. Ruzakova О.A. Two-dimensional controllability of Sobolev type equation // Ill-posed and inverse problems: Abstracts of internat. conf. Novosibirsk, Sobolev Institute press, 2002. p. 140.