Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций

Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории ^ исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.

Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (дискалгебра) ф и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах. Отметим, что последняя теория, фактически, берет начало с основополагающей работы Р. Аренса и И. Зингера «Generalized analytic function» (см. 30]). В этой работе был предложен функционально — алгебраический подход к изучению почти — периодических аналитических функций.

Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса [27], Г. Хельсона * и Д. Лауденслагера [35, 36], К. Гофмана [12, 39], Ф. Форелли [31], К. де

Лю и И. Гликсберга [40], В. Рудина [44], Т. Гамелина [3]. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитических функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.

На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на т группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами, представлениями групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. JL Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Зсшотаревского [6, 7, 10], В. М. Гичева [4, 5], С. А. Григоряна [13, 14, 15], Т. В. Тонева [46, 48, 50], A. JL Розенберга [22], А. Н. Шерстнева [45].

Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций. Основным объектом исследования является равномерная алгебра которая строится следующим образом.

Пусть G — компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной группе Г, наделенной дискретной топологией. Пусть для каждого, а? Г, х° ~ соответствующий характер группы G. Обозначим через, а нормированную меру Хаара группы G и через Ll (G, da) — пространство измеримых и интегрируемых функций по мере а. Каждая функция / € Ll{G, da) представляется в виде формального ряда Фурье а&euroг где

4 = 1 fTdcr g

— а — тый коэффициент Фурье функции /. Множество

SP/ = {а € Г: с/а ф 0} называется спектром функции /. Пусть S такая подполугруппа группы Г, что 0 € S и S + (—S) = Г. Основным объектом исследования является алгебра состоящая из всех тех непрерывных функций / € C (G), спектр которых содержится в S. Естественно, что между свойствами полутруппы S и свойствами алгебры As существует тесная связь.

Например, пространство максимальных идеалов алгебры As совпадает с множеством Ms — полухарактеров полугруппы S, т. е. таких отображений т из полугруппы S в единичный диск D комплексной плоскости С, что т (а + 6) = т (а) • т (Ь) и га (0) = 1.

Пусть S — коммутативная аддитивная полугруппа с сокращением, то есть из условия, а + Ь — а + с следует b ~ с. Предположим, что полугруппа S содержит единичный элемент 0 Е S. Отметим, что существует тесная связь между полухарактерами полугруппы S и весами на S, т. е. такими отображениями: 5 —>¦ [0, оо], i/(0) = О, что и (а + Ъ) = i/(a) + 1/(6) для всех a, b Е S. Вес называется конечным, если v{a) < оо для всех, а? S и двузначным, если v: S {0, оо}.

Множество всех весов W (S') — полутруппа с единичным и нулевым элементом. Определим на полугруппе S псевдопорядок: а -< Ь, если существует такой элемент с G S, что, а + с = 6. Его можно расширить до псевдопорядка на группе Г5, порожденной полугруппой Si, а -< 6, если b — а € S. Если для любых b € Г5 и, а € 5, найдется такое положительное число 7i € Z+, зависящее от Ь и а, что 6 па, то говорят, что S задает архимедов порядок на Пусть Н — некоторая подполугруппа полугруппы S, предположим 0 Е Я.

Данная работа состоит из трёх глав и списка литературы. Глава 1, состоит из шести параграфов. В ней особое внимание уделяется следующим трем задачам. a) При каких условиях данный вес v € W (H) можно продолжить до веса на S? b) Каким условиям должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы каждый вес из W (H) продолжался бы до веса на S, в частности, каким свойствам должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы любое продолжение конечного веса было конечным на S? c) Пусть W^S) — подмножество в W (jS), состоящее из всех продолжений веса v € W (H). Для каждого Ь € S описать множество т"(Ь) = ЫЪ): /i G W"(S)}

— относительный спектр элемента Ь.

Первые два параграфа первой главы носят вспомогательный характер. В них собраны необходимые определения и утверждения, которые используются в дальнейшем. В § 3, для полноты изложения приводится новое доказательство критерия продолжения заданного веса с подполугруппы на всю полугруппу (задача а), предложенный А. Н. Шерстневым (см. 45]), а также сформулировано условие на подполугруппу Н, при котором каждый вес из W (Н) расширяется до веса на S (см. 16]).

Основываясь на указанных выше работах в § 4 главы 1 доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы каждое продолжение любого конечного веса (если продолжение существует) с подполугруппы Н до веса на полугруппе S было конечным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого, а? S существует b? Н такое, что, а -<�Ь.

Отметим, что теорема 1 вместе с одним из результатов С. А. Григоряна дает ответ на задачу Ь). В этом же параграфе дается описание относительного спектра элементов полугруппы S.

Результаты предыдущих параграфов используется в § 5 для нахождения условий, при которых полухарактеры с подполугруппы могут быть продолжены до полухарактеров на всей полугруппе.

В последнем параграфе этой главы доказывается следующая теорема

Теорема 2. Пусть Г5 -группа, порожденная полугруппой S. Предположим, что полугруппа S задает архимедов порядок на Гs-Тогда a) полугруппа двузначных весов W^S) на S состоит из одного элементаb) полугруппа конечных весов Wq (S) на S изоморфна К± c) W (S) = Woo (S)UW0(S).

Глава 2 состоит из четырех параграфов. В § 1 собран материал, который используется в дальнейшем. В § 2 устанавливается связь между подполугруппами полугруппы вир — множествами алгебры А$. Напомним, что множество F С G называется множеством пика для алгебры As, если существует такая функция / 6 As, что f (a) = 1 для любого, а 6 F и |/(<*)| < 1 для, а € GF. Множество называется рмножеством, если оно является пересечением множеств пика. Подполугруппа Н полугруппы S называется полной в 5, если

Н = Гя П S, где Гя = Н + (—Н) — подгруппа группы Г. Для подполугруппы Н полугруппы S пусть

Я" 1 = {а € G: Ха (а) = 1 Для всех, а € Я}.

Аналогично для замкнутой подгруппы Go С G пусть

Gq = {а € S: ха (а) = 1 для всех, а е G0}.

Очевидно, Н С {Н±-)1~ и Н = (H±)L — тогда и только тогда, когда Нполная в S полугруппа. Подобным образом Go = (G^-)" 1 тогда и только тогда, когда Gq — р — множество для алгебры As, т. е. Go — пересечение множеств пика для алгебры AsСледующая теорема устанавливает связь между полугруппами группы G и р — множествами для алгебры As

Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие между полными подполугруппами полугруппы S и теми подгруппами группы G, которые являются р-множествами для алгебры As.

Множество полухарактеров

Ms = {т: S ->• D: га (0) = 1, т (а + Ь) = т (а) • т (Ь)} полугруппы 5, является полугруппой относительно операции умножения: raim2)(a) = mi (a)r?i2(a).

Элемент т € Ms называется идемпотентом, если т2 = т. Множество идемпотентов Ы5 — подполугруппа полугруппы Ms. Пусть Ps — множество всех тех подгрупп Go группы G, которые являются рмножеством для алгебры As, и сужение As|g0 алгебры As на Go является антисимметричной алгеброй, т .е. не содержит вещественной функции, отличной от константы. Отметим, что на Ps можно определить структуру полугруппы, если Gu G2 € Ps, то Gi П G2 € Ps.

Теорема 4. Существует полугрупповой изоморфизм между полугруппами Ids «Ps

В § 3 главы 2 приводится достаточное условие, при котором алгебра As является полиномиально замкнутой. Напомним: алгебра В называется полиномиальным расширением алгебры А, если В = A[b,., bn] алгебра полиномов от &i,., 6n с коэффициентами из А. Пусть K (G) -категория равномерных алгебр на компактной группе Q. Алгебра, А называется полиномиально замкнутой, если у, А нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории K (G). Существует связь между полиномиально замкнутыми As алгебрами и алгебраически замкнутыми подполугруппами S. Подгруппа S называется алгебраически замкнутой в Г, если из условия па? S, а е Г, п е N следует, а € S. Основной результат § 3 — следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть S алгебраически замкнутая подполугруппа в Г и card Ids < 00 • Тогда As — полиномиально замкнута.

Ш В последнем параграфе данной главы изучаются автоморфизмы алгебры As. Вообще говоря, группа автоморфизмов алгебры As достаточно широка. Хорошо известно, что группа автоморфизмов дискалгебры совпадает с группой Мёбиуса, т .е. группой всех преобразований Мёбиуса.

В группе автоморфизмов алгебры As есть подгруппа, которая определяется парой (<�т, а), где, а: S S — полугрупповой изоморфизм, а, а? G. Автоморфизмы такого вида называются внутренними. Как показали Р. Арене и И. Зингер, если полугруппа S задает полный * архимедов порядок на Г, то все автоморфизмы алгебры As внутренние см. [30]).

Следующая теорема является обобщением приведенной теоремы Аренса — Зингера.

Теорема 6. Пусть S такая полугруппа, что существует полухарактер т G Ms удовлетворяющий неравенству

0 < |га (а)| <1, а € S, а ф 0.

Предположим, card Ids — 2. Тогда либо полугруппа S изоморфна полугруппе неотрицательных целых чисел Z+, либо все автоморфизмы алгебры As внутренние.

Последняя глава посвящена изучению аналитических свойств множества Ms

Многие классические результаты комплексного анализа допускают естественное продолжение на случай инвариантных алгебр функций. В указанной выше работе Арене — Зингер распространили некоторые свойства дискалгебры на алгебру Ду. В работе де Лью и Гликсберга (см. 40]) были обобщены классические теоремы Фату и Рудина ([12] стр 116, 118). В третьей главе устанавливается связь между алгебраическими свойствами полугруппы S и классическими теоремами Радо о продолжении аналитической функции и Римана об устранимой особенности.

Гл. 3 состоит из трех параграфов. В § 1 вводится понятие дефекта полугруппы.

Рассмотрим три вида расширения полугруппы S

Sw = {а? Г: па Е S для всех п> Na? Z+}, здесь число Na зависит от элемента, а € Г;

S$ = {а? Г: па € S для некоторого п G Z+},

Sx — семейство тех элементов, а € Г, для которых найдется такое 6 G 5, что, а + 6 € Sи т (а 4- b)/m (b) < 1, если 771 G Ms{m € Ms ¦ m (b) = 0}. Очевидно,

Sw С Ss С Sx.

Определим четыре алгебры функции на группе G: $l (Ss) и каждая из которых порождается линейными комбинациями характеров, соответствующих полугруппам S, Sw, Ss и Sx.

Слабым дефектом полутруппы S называется число w def Sразмерность алгебры ffi (Sw) как модуля над Щв).

Дефектом полугруппы S называется число def S — модульная размерность 9ft (5s) над Щвцг)

Сильным дефектом полугруппы S называется число s def S — модульная размерность алгебры над №(Ss)>

Напомним ряд определений, используемых в этой главе. Для равномерной алгебры, А обозначим через Ма пространство её максимальных идеалов и дА границу Шилова этой алгебры. Пусть U ~ открытое множество в Мд, и Ац — равномерное замыкание сужения гельфандовского представления, А на U. Непрерывная функция / на U С Ма называется, А — голоморфной, если для любой точки х €i U найдется такая окрестность V (x G V С V С U), что сужение / на V принадлежит Ау. Множество всех, А — голоморфных функций на U — образуют алгебру Oa (U). Равномерная алгебра называется аналитической на пространстве максимальных идеалов Мд, если каждая функция / € А, равная нулю, на некотором открытом подмножестве множества Ма тождественно обращается в нуль на Ма-Приведем основную теорему § 1.

Теорема 7. Пусть Sa = S + Z+a — полугруппа, порожденная полугруппой S и элементом a € Г. Msa — Ms тогда и только тогда, когда, а? Sw

Известная теорема Радо для диск алгебры утверждает следующее: если непрерывная функция на единичном диске D аналитична на множестве int DN (f), где N (f) — множество нулей функции /, то / принадлежит алгебре Az+. Эта теорема имеет различные обобщения. Среди них особое место занимает следующая теорема Гликсберга (см. [33])

Теорема 8 (Гликсберг). Пусть, А — равномерная алгебра и f — непрерывная функция на Мд, являющаяся, А — аналитической на множестве MAf~l (0). Тогда M[Aj] = Ма и d[A, f] = дА, где [A, f] — равномерная алгебра, порожденная функциями f и функциями из А, и дА — граница Шилова алгебры А.

Говорят, что равномерная алгебра, А обладает свойством Радо, если каждая функция / непрерывная на Ма и, А — аналитическая на MaN (/) принадлежит алгебре А.

Основной результат § 2 следующий.

Теорема 9. Алгебра As обладает свойством Радо тогда и только тогда, когда w def 5 = 0.

Равномерная алгебра называется целозамкнутой на Ма, если каждая непрерывная на Ма функция удовлетворяющая полиномиальному уравнению вида xn + fixn~1 + —- + fn = 0, fi € А принадлежит алгебре А. В этом параграфе показано, что условие wdef S — 0 является критерием целозамкнутости алгебры As (теорема 3.2.3).

Третий, последний параграф главы 3, посвящен обобщению теоремы Римана об устранимой особенности. Говорят, что равномерная алгебра, А обладает свойством Римана, если для любой функции g € A, N (g)f)dA = 0, каждая непрерывная, А — голоморфная и ограниченная на MaN (q) функция продолжается до функции из А.

Очевидно, что если, А обладает свойством Римана, то она обладает и свойством Радо. Обратное не верно. В § 3 доказывается следующая теорема

Теорема 10. Аналитическая алгебра As обладает свойством Римана тогда и только тогда, когда Ss = S, m е. w def S + def S + sdef S = 0.

1. Аграновский М. J1. Инвариантные алгебры на границах симметрических областей. //ДАН СССР. — 1971. — Т. 197. — N 1. С. 9−11.

2. Батикян Б. Г., Горин Е. А. Заметка о не локальных алгебрах. // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1973. — N 65. — С. 172 — 177.

3. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: «Мир», 1973.

4. Гичев В. М. Инвариантные алгебр функции на группам Ли. // Сиб. матем. журнал. 1979. — Т.20. — N 1. — С. 23 — 36.

5. Гичев В. М. Пространство максимальных идеалов инвариантных алгебр. //Функ. анал. и прил. 1979. — Т.13. — N 3. — С.75 — 76.

6. Горин Е. А. Максимальные подалгебры коммутативных банаховых алгебр с инволюцией. //Матем. заметки. 1967. — N 1:2. — С. 173 — 178.

7. Горин Е. А. О некоторых характеристических свойствах С (Х). // Теория функций и функц. анализ-1971. N 14. — С. 186 — 195.

8. Горин Е. А. Подалгебры конечной коразмерности. // Матем. заметки. 1969. — N 6:3. — С. 321 — 328.

9. Горин Е. А., Лин В. Я. Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос. //Матем. сб. 1969. — Т. 78. — N 4 — С. 579 — 610.

10. Гофман К. Банаховы простанства аналитических функций. -М.:ИЛ., 1963.

11. Григорян С. А. Алгебра конечного типа на компактных группах. //Изв. АН Арм. ССР. Математика.- 1979. Т.14. N 3. С. 168 — 183.

12. Григорян С. А. Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1981. — Т. 16. — N 5. — С. 168 — 183.

13. Григорян С. А. О полиномиальных расширениях коммутативных банаховых алгебр. //УМН. 1984. — Т.39. — N 1(225). — С. 129 — 130.

14. Григорян С. А. Веса на полугруппах. //Сборник «Итоговая научная конференция Зеленодольского филиала КГУ». 2002. — С. 18−24.

15. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир,-1984.

16. Клифорд А., Престон. Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.:Мир, — 1972, Т.1,2.

17. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.:ГИТТЛ,-1953.

18. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.:ГИФМЛ, — 1960.

19. Ленг С. Алгебра. М.:Мир, — 1965.

20. Розенберг A. JL Инвариантные алгебры на компактных группах.//Матем. сб. 1970. — Т.81. — N 2. — С.176 — 184.

21. Рудин У. Функциональный анализ. М.:Мир, — 1975.

22. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.:Мир, — 1974.

23. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множеств. М.:Наука, -1985.

24. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ ч. I, И. М.:Наука, -1985.

25. Arens R. The boundary integral of log | | for generalized analytic functions. ЦТ. A. M. S. 1957. — Vol.86. — P.57 — 69.

26. Arens R. and Hoffman K. Algebraic extrension of normal algebras. //P. A. M. S. 1956. — P. 203 — 210.

27. Arens R. and Singer I. Function values as boundary integrals. //Р. A. M. S. 1954. Vol.5. — P. 735 — 745.

28. Arens R. and Singer I. Generalized analytic functions. //Т. A. M. S. -1956. Vol.81. — P. 379 — 393.

29. Forelli F. Analytic measures.//Р. J. M. 1963. — Vol.13 — P. 571 — 578.

30. Gamelin T. Remarks on compact groups with ordered duals./ /Rev. U. Math Arg. 1967.-Vol.23. P. 97 — 108.

31. GlicksbergI. Maxsimalalgebras and a theorem of Rado.//Р. J. M. -1964;Vol.14. P. 919 941.

32. Glicksberg I. Measures orthogonal to algebras and sets of antisymmetry. ЦТ. A. M. S. 1962. — Vol.105. — P. 415 — 435.

33. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. //Acta Math. 1958. — Vol.99. — P. 165 — 202.

34. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. //II, Acta Math. 1961. — Vol.106. — P. 175 — 213.

35. Helson H. Lectures on invariant subspaces. N.Y.:Acad. Press, — 1964.

36. Hoffman K. and Singer I. Maximal subalgebras of С (Г). //Amer. J. Math. 1957. — Vol.79. — P. 295 — 305.

37. Hoffman K. and Singer I. Maximal algebras on continuos function. //Acta. Math. 1960. — Vol.103.

38. Leeuw K. de. and Glicksberg I. Quasi-invariance and measures on compact groups. //Acta Math. 1963. — Vol.109. — P. 179 — 205.

39. Leeuw K. de. and Mirkil H. Translation — invariant function algebras on abelian groups. //Bull Soc. Math. Franse. 1960. — Vol.88. — P. 345 — 370.

40. Lindderg J. A. Integral extention of commutative Banach algebra. //Can. J. Math. 1973. — Vol.25:4. — P. 675 — 684.

41. Rider D. Translation — invariant Dirichlet algebras on compact groups.jIP. AM- S- «1966. Vol.17. — N 5. — P. 977 — 985.

42. Rudin W. Fourier analysis of groups.: Interscience. N. Y., — 1962.

43. Sherstnev A. N. An analog of the Hahn-Banach theorem for commutative semigroups. //Russian Journ. of Math. Physics. 2002. — Vol.9. — N 2. -P. 198 — 201.

44. Tonev Т. V. Big-planes, boundaries and function algebras. //North Holland Math, studies. — 1992. — Vol.172.

45. Wolf J. Translation — invariant function algebras on compact groups, j jV. J. M. 1965. — Vol.15. — N 3. — P. 1093 — 1099.

46. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Inner automorphisms of shift invariant algebras on compact groups. //Известия HAH Армении. Математика. — 1999. — T.34. — N 5. — C.57−62.

47. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Invariant algebras on groups and completeness of their generating semigroups. //Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество.- 1999. -С. 260−261.

48. Grigoryan S. A., Pankrateva Т. N., Tonev Т. V. The validity range of two complex analisis theorems. // Complex variables. 2002. — Vol.47. -N12 — P.1085 — 1095.

49. Панкратьева Т. H. Относительный спектр. //Сборник «Итоговая научная конференция Зеленодольского филиала КГУ» .- 2002. С. 16 -20.

50. Панкратьева Т. Н. Теоремы о вложении для полугрупповых алгебр. //Теория функций, ее прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2003. — Т. 19 — С. 164 — 165.

51. Панкратьева Т. Н. О полиномиальных расширениях инвариантных алгебр функций. //Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казанское матем. общество. 2004. — Т.25. — С. 211.