Актуальность темы
Изучение двумерных интегральных уравнений Вольтерра второго рода с фиксированными особыми или сильно-особыми линиями теснейшим образом связано с теорией вырождающихся гиперболических уравнений и с теорией гиперболических уравнений с сингулярными или сверхсингулярными коэффициентами. Теории вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений посвящены работы выдающихся учёных A.B. Бицадзе, A.M. Нахушева, М. С. Салахитдинова, Т. Д. Джураева, А. Г. Михайлова, З. Д. Усманова, М. М. Смирнова, В. Ф. Волкодавова, А. И. Кожанова, О. И. Репина, А. П. Солдатова, Н. Р. Раджабова, Е. И. Моисеева, а также работы их учеников.
Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двухмерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами.
Как известно, если в интегральном уравнении а (х) обращается в нуль в какой-нибудь точке, то это уравнение называется интегральным уравнением третьего рода. Это уравнение при помощи замены неизвестной функции оо (х)=а (х)(р (х), сводится к интегральному уравнению Вольтерра с граничной или внутренней неподвижной особой или сильно-особой точкой в ядре.
Аналогично, двумерное интегральное уравнение вида X а{х)ср (х) + jkO, t)(p{t)dt=f (x) а а (х, у)<�р (х, у)+ JKj (х, уt) cp (t, y) dt+ |к 2(x, y-s).
Проблеме исследования одномерных сингулярных интегральных уравнений и разработке вычислительных методов для таких уравнений посвящены работы Ф. Д. Гахова, Н. И. Мусхелишвили, С. М. Белоцерковского, И. К. Лифанова, [4], [10], [11]. Исследованию интегральных уравнений с ядром однородном степени -1 посвящены работы Л. Г. Михайлова [17], Б. М. Бильмана [5]. Исследованию нового класса особого интегрального уравнения, которое появляется при исследовании эллиптических уравнений с сингулярной точкой и других задач посвящена монография Л. Г. Михайлова [18].
Исследованию двумерных сингулярных интегральных уравнений с подвижной сингулярностью посвящены работы А. Д. Джураева, [9] Г. Джангибекова и их учеников.
Исследованию одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа с неподвижной особой или сильно-особой точкой, которые возникают при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярной или сверхсингулярной точкой, посвящены работы Н. Раджабова [25].
В данной работе исследуются не изучавшиеся ранее двумерные интегральные уравнения с фиксированными особыми и сильно-особыми граничными линиями в ядрах.
Основной целью настоящей работы является изучение двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе области интегрирования во всех возможных случаях, которые исследуются впервые. Особо важным является изучение модельного уравнения. Этот случай исследован полностью. Во всех возможных случаях решение найдено в явном виде. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнения. В начале изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным образом, после изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой.
Подробно исследуется случай, когда ядра интегрального уравнения зависят от переменной интегрирования. Этот случай является интересным, так как он связан с немодельным гиперболическим уравнением второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями.
В работе также исследуются некоторые наиболее интересные общие случаи общего двумерного интегрального уравнения с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования. Данные исследования основаны на результатах, полученных для модельных двумерных интегральных уравнений с граничными фиксированными особыми и сильноособыми ядрами, а также на результатах, полученных для немодельных двумерных интегральных уравнений с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящих от переменной интегрирования.
Цели и задачи исследования:
— Изучение и нахождение решений модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования.
— Изучение и нахождение решений не модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования.
— Изучение общих двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно — особыми ядрами.
— Приложение полученных результатов для модельных гиперболических уравнений с сингулярными линиями.
Методика исследования. Используется метод, связывающий данное интегральное уравнение с соответствующим гиперболическим уравнением и представление главной части соответствующего гиперболического уравнения в виде произведения двух линейных дифференциальных операторов с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. В первые исследованы модельные, немодельные, а также общие двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с особенностямии сильными особенностями на границе области, для которых получена полная картина разрешимости. Установлено, что неоднородные интегральные уравнения типа Вольтерра с особыми и сильно-особенными линиями всегда имеют решения и общее решение содержит четыре произвольные функции одной переменной в одном случае, две произвольные функций одной переменной в двух других случаях и выделяется случай, когда неоднородное уравнение имеет единственное решение.
Для модельного гиперболического уравнения с сингулярными линиями, на основе результатов, полученных для модельного интегрального уравнения с граничными особыми линиями в ядре, получено представление многообразия решений, исследованы задачи типа Дарбу и Коши.
Практическая и теоретическая ценность: Работа является теоретической. Полученные результаты найдут применение в развитии гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также в теории вырождающихся гиперболических уравнений. Кроме того, предлагаемая методика может быть использована для дальнейшего развития многомерных интегральных уравнений вольтеровского типа с особенностями на границе и внутри области.
Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью интегральных уравнений вольтеровского типа и гиперболических уравнений в физике.
Апробация работы: Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
— научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова «Дифференциальные уравнения и их приложения», Душанбе -2000.
— научной конференции «Некорректные и неклассические задачи математической физика и анализа» (Самарканд, сентябрь 2000).
— Международной научной конференции, посвященной 10-ой годовщине Независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М. А. Субханкулова «Методы теории функций и их приложения». (Душанбе, май 2000).
— было представлено на Всемирном конгрессе математиков ICM -2002, Пекин, 20−28 августа 2002 г.
— Конференции ISAAC по Комплексному Анализу, Дифференциальным уравнениям и Родственным проблемам. 17−21 сентября 2002, Ереван, Армения.
— Международной научно-практической конференции «16-ая сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва и её историческая значимость в развитии науки и образования)» 27−28 октября 2003 года.
— Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и её приложения», июнь 2003, Худжанд.
— Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики» 1619 ноября 2004 г. Ташкент.
— XII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ -2005), ХарьковХерсон, 2005, 13−18 июня.
— Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» г. Душанбе, 8−10 ноября 2005 г.
— Международной научно—теоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложений, посвященной 10 -летию РТСУ. Душанбе, 17−14 мая 2005 г.
— семинаре кафедры «Математического анализа и теории функций» «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными».
— научном семинаре «Сингулярные интегральные уравнения», научный руководитель проф. И. К. Лифанов, факультет ВМК МГУ.
— научной конференции «Математика и информационные технологии», посвященной 15-летию Независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 27 октября 2006 г.
— Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», Новосибирск, 28 мая-2 июня 2007 г.
— 6-ом Конгрессе ISAAC, 13−18 августа 2007 г., Анкара, Турция, СреднеВосточный Технический Университет.
— Международной научной конференции «Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнении и информатики», посвященной 70-летию академика Академии наук Республики Таджикистан Усманова З. Д., Душанбе, 24 августа 2007 г.
— International Conference «Inverse Problems: modeling and Simulation" — held on may 26−30, 2008 at Qludeniz, Ferhiye, Turkey.
— Ill Международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XX веке», 22−24 мая 2008 года, ТТУ им. академика М. С. Осими Душанбе.
— Международной конференции Inverse Problems: modeling and Simulation- 26−30 мая 2008 года, Oludenis, Fethiye, Турция.
— Международной научной конференции «Дифференциальные уравнение и смежные проблемы» 24−28 июня 2008 года, г. Стерлитамак РФ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [28] -[54]. Из работ, написанных совместно с Н. Раджабовым, в диссертации изложены результаты, полученные непосредственно автором диссертации.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 62 источника. Объем диссертации составляет 334 страниц машинописного текста.
1. Александров, А .Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978.
2. Алеев М. А., Науменко В. В., Науменко О. В. Численные и аналитические решения гиперсингулярного уравнения на круге // Труды XII Международного симпозиума «МДОЗМФ-2005», ХарьковХерсон, 2005, с.9−12.
3. Анфиногенов А. Ю., Лифанов И. К., Лифанов П. И. Некоторые двумерные гиперсингулярные интегралы и обобщение понятия сингулярного интеграла. // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000», Орел, 29 мая 2 июня 2000, с. 44−47.
4. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравненияхМ.: Наука 1985,-256.
5. ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции. Наука., М., 1988, с. 510.
6. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических систем. ОГИЗ Гостехиздат. М., 1948, с. 296.
7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи., Изд-во «Наука», М.: 1977, с. 640.
8. Джураев А. Д. Методы сингулярных интегральных уравнений. «Наука», М. 1987.
9. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М., ТОО «Янус», 1995, с. 520.
10. Лифанов И. К., Ненашев A.C. К обоснованию особого случая метода дискретных вихревых пар для гиперсингулярного интегральногоуравнения на отрезке, // Труды XII Международного симпозиума «МДОЗМФ-2005», Харьков-Херсон, 2005, с.201−204.
11. Лифанов И. К., Ненашев A.C. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн. // Дифференциальные уравнения, 2005, т. 41., № 1.
12. Li X. Closed form solution for a hupersingular integral equation of order (n+1) //Proceedings of the ISAAC Congress V. l, Kluwer, DordrechtBoston-London. 2000, p. 163−168.
13. Матвеев H.M. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. «Высшая школа», М., 1963, с. 546.
14. Михлин С. Г. Лекции по линейным и интегральным уравнениям. ГИФМЛ. М., 1959, с. 232.
15. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. —М.: Физматгиз, 1962, с. 254.
16. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени -1., Изд-во «Дониш», Душанбе, 1966, с. 47.
17. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Изд-во АН Тадж. ССР., Душанбе, 1963.
18. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. НаукаМ. 1968.
19. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. ГТТИ. 1934.
20. Петровский Н. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. УРСС, Москва, 2003, с. 120.
21. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.-М: Мир, 1979 г.
22. Раджабов Н.
Введение
в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992, с. 236.
23. Раджабов H. Общие интегральные уравнения типов Вольтерра с левой и правой неподвижной сингулярной точкой в ядре. // Известия Академии наук Республики ТаджикистанОтд. физ.-мат., хим. и геологических наук, № 1, 2001, с.3−19.
24. Раджабов Н. Об одном интегральном уравнении вольтерровского типа // ДАН России, 2002, М. 383, № 3, с. 314.
25. Раджабова JI.H. Некоторые случаи для одного класса линейных уравнении третьего порядка с сингулярной точкой // ДАН Республики Таджикистан. Душанбе, 1999, т.17.№ 4. с. 41−49.
26. Rajabova L.N. The explicit Representation of Manifold solutions for a third order equation with super singular point. Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problems, World Scientific, New Jersey, London, Hong Gong, 2000, p. 150−154.
27. Раджабова JI.H. К теории дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой // Тезиси докладов научной конференции «Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа». Самарканд, 2000, с. 72.
28. Раджабова JI.H. Интегральные представления для одного случая дифференциального уравнения третьего порядка с сверхсингулярной точкой // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Душанбе, 2002, с.73−74.
29. Rajabova L. An explicit to a class of a two dimensional Volterra type Integral Equation with week singular kernels // Conference materials IX — International Scientific Kravchuk Conference: Keiv, 16−19 May, 2002, p. 171. (Rajabov N.).
30. Rajabova L., Ronto M., Rajabov N. On some two dimensional Volterra type linear integral equation with supersingularity // Mathematical Notes. Miscolc, 2003, v4, № 1, p.65−76.
31. Раджабова JI. Исследование одного класса двумерного интегрального уравнения с фиксированными • сингулярными ядрами, связанное с гиперболическим уравнением // ДАН России, 2003, т.391, № 1, с.20−22. (Раджабов Н.).
32. Раджабова Л. К теории одного класса двумерного немодельного ин-тегрального уравнения вольтерровского типа со сверхсингулярными гранич-ными линиями в ядрах //ДАН России, 2005, т. 400, № 5, с. 602−605. (Раджабов Н.).
33. Раджабова JT.H. Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра со сверхсингулярными линиями // Вестник национального университета (научный журнал). Душанбе, 2005, № 2, с. 116−123.
34. Раджабова JI.H. Об одном классе гиперболического уравнения с сингулярными линиями // Вестник «национального университета (научный журнал). Душанбе, 2006, № 5, с. 44−51.
35. Раджабова JI.H. К теории одного класса гиперболического уравнения с сингулярными линиями // ДАН Республики Таджикистан.2006, т.49, № 8, с. 710−717.
36. Раджабова JI.H. Об одном общем двухмерном интегральном уравнении типа Вольтерра с особенностями на границе области // Вестник ТГНУ. Серия естественных наук. Душанбе, 2007, № 3, (35), с. 30−38.
37. Lutfya Rajabova. Theory of a class of two dimensional Volterra type integral equation with two super — singular lines // 6-th International ISAAC Congress, Middle East Technical University. Ankara, Turkey. Abstracts. 13−18 August 2007, pp. 35−36.
