Асимптотика энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа

Асимптотика энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа в последние десятилетия привлекает пристальное внимание математиков, физиков и инженеров, которое объясняется в первую очередь перспективами использования данного материала.

Несмотря на широкое научное и — практическое применение данного материала, углубленное исследование их свойств представляется актуальным и в настоящее время. Новые перспективы открывает использование асимптотики энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа для некоторых классов нелинейных уравнений гиперболического типа, а именно для нелинейных уравнений колебательных процессов и нелинейной системы уравнений Максвелла.

Цель и задачи исследования

Цель настоящей работы в установлении асимптотических формул энергии, излученной различными источниками для решения некоторых классов линейных и нелинейных уравнений гиперболического типа, в частности, использование системы уравнений Максвелла первого порядка для вычисления асимптотики энергии для нелинейной системы уравнений Максвелла.

Методика исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики. Рассматриваются дискретный и непрерывные спектры.

Научная новизна.

1. Вычислена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником колебаний, для уравнений высшего порядка.

2. Вычислена асимптотика энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн, для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка.

3. Установлена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе,-для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка.

4. Вычислены асимптотики энергии для решения волнового уравнения во внешней области «ловушечного» типа.

5.Получены асимптотики энергии для абстрактной задачи Коши, симметрической гиперболической системы, для абстрактного волнового уравнения и для волноводов.

6. Вычислена асимптотика энергии для эволюционной стохастической системы уравнений.

7. Вычислена асимптотика энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний.

8. Исследованы резонансные свойства энергии, излученной распределенным по Пуассону точечным источником колебаний.

9. Вычислена асимптотика энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши.

10. Вычислена асимптотика энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний.

11. Вычислена асимптотика энергии для решения уравнения генерации звука в жидкости.

12. Дано обоснование обобщенного метода Римана (т.е. теории рядов Фурье по фундаментальной системе функций полигармонического оператора).

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные на основе данной работы, носят теоретической характер и могут быть применены для дальнейшего изучения аналогичных задач получения асимптотики энергии, излученной различными источниками, для решений уравнений с частными производными и для линейных либо нелинейных систем уравнений Максвелла, эволюционных стохастических систем уравнений. Результаты работы можно использовать в теории поля, теории упругости, теории рассеяния, при изучении задач физики плазмы, в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье.

Исследования автора также имеют большое практическое значение в математической физике, могут быть использованы при обосновании метода разделения переменных при решении краевых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Научном семинаре под руководством академика РАН В. Ат Ильина, профессора Ш. А. Алимова7профессора A.A. Арсеньева (МГУ), на Всесоюзном симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Душанбе, 1972 г.), на Республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, (Душанбе, 1983 г.), на Всесоюзной конференции по теории функций и приложениям функционально-дифференциальных уравнений, (Душанбе, 1987 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике», (Ташкент, 1988 г.), на Республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений». (Душанбе, 1990 г.), на Международной научной конференции, посвященной 10-й годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М. А. Субханкулова «Методы теории функций и их приложения», (Душанбе, 2000 г.), на Республиканской научнотеоретической конференции, посвященной 70-летию профессора М. М. Каримовой «Современные проблемы теории функций, дифференциальных уравнений и их приложения» (Душанбе, 2007 г.), на Республиканской научной конференции, посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70-летию академика АН РТ Раджабова Н. Р. «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Душанбе, 2008 г.), на Ежегодных апрельских научнопрактических конференциях ТГНУ. (Душанбе, 1970 — 2008 гг.), на Международной конференции «Наука и современное образование, проблемы и перспективы», посвященной 60-летию ТГНУ (Душанбе, 2008г), на Международной научной конференции «Современные проблемы физики», посвященной Году образования и технического знания (Душанбе, 2010 г.) и на Научном семинаре член — корр., профессора Х. Х. Муминова, на седьмой научно-практической конференции (Прага, 2011 г.).

Выражаю большую благодарность академику РАН В. А. Ильину и профессору A.A. Арсеньеву за внимание к данной работе.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 40 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и списка литературы.

1. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнении / В. А. Ильин //Успехи математических наук.- 1960.-Т. 15, вып. 2.-С. 97−154.

2. Ильин В. А. Об эквивалентности систем обобщенных и классических собственных функций / В. А. Ильин, И. А. Шишмарев // Изв. АН СССР. Сер. математ.- 1960.-Т. 24, № 5.-С. 757−774.

3. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения/ O.A. Ладыженская .-М., 1953.-279 с.

4. Носов В. Р. О смешанной задаче для гиперболического уравнения в нормальном цилиндре / В.Р. Носов// Изв. АН СССР. Сер. математ.-1965.-Т. 29, вып. 4.-С. 861−876.

5. Кенджаев И. К. К вопросу об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье и о разрешимости смешанных задач для гиперболического • и параболического уравнений: Дис.канд. физ. мат. наук/И.К. Кенджаев.-Душанбе, 1969. 49с.

6. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики/ Н. М. Гюнтер.- М.: Гостехиздат, 1953.-416с.

7. Соболев С. Л. О почти периодичности решении волнового уравнения/ С. Л. Соболев // Докл. АН СССР.- 1945.-Т.48, № 8.-С.570−573.

8. Волков Д. М. Билинейные интегралы линейных гиперболических задач/ Д. М Волков // Изв. АН СССР. Сер. математ.-1951.-Т.15,№ 1-С.-75−90.

9. Смолицкий Х. Л. Предельная задача для волнового уравнения / Х. Л. Смолицкий // Докл. АН СССР.-1950.-Т.73,№ 3.-С.-463−466.

10. Ладыженская О. А. О методе Фурье для волнового уравнения/О. А. Ладыженская // Докл. АН СССР.-1950.-Т.75, № 6.-С.-765−768.

11. Ильин В. А. К вопросу об обосновании метода Фурье для уравнения колебаний/ В. А. Ильин // Успехи математ. наук.-1957.-Т.12, вып. 4.-С.-269−296.

12. Арсеньев A.A. О поведении энергии решения волнового уравнения при больших временах / A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ. физики.- 1970.-Т. 10, № 4. С.-1037−1041.

13. Арсеньев A.A. О поведении обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения в области, близкой к замкнутой /A.A. Арсеньев // Докл. АН СССР.-1969.-Т.185, № 3.-С.-495−498.

14. Арсеньев A.A. О поведении обобщенного по C.JI. Соболеву решения смешанной задачи для волнового уравнения в областях, близких к замкнутым/ А.А.Арсеньев//Журн. вычислит, математики и математ. физики.-1969.-Т.9, № 5.-С.-1094−1101.

15. Арсеньев A.A. Об особенностях аналитического продолжения и резонансных свойствах решения задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца / A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ. физики.-1972.-Т. 12, № 1.-С.-112−139.

16. Арсеньев А. А. О существовании резонансных полюсов и резонансов при рассеянии в случае краевых условий 2 и 3 рода/А.А.Арсеньев//Журн. вычислит, математики и математ. физики.-1976.-Т. 16, № 3.-С.716−724.

17. Schenk N.A. Eigenfunction expansion and Scattering theory for the wave equation in on exterior region /N.A. Schenk //Arch. Rat. Mech. and Analysis.-1966.V. 21, № 3.-P.-121−150.

18. JkebeT. Eigenfunction expansion Associated with the Schrodinger Operators and their Applications to scattering theory / T. Jkebe // Archive for national Mech. and Anal.-1960.-V.5, № 1 .-P.-1−34.

19. Schmidt G. Spectral and Scattering theory for Maxwell’s/ G. Schmidt //Arch. Rational Mech. and Anal.-1968.-V. 28, № 4.-P.-284−322.

20. Ладыженская O.A. О решении нестационарных операторных уравнений/ O.A. Ладыженская// Математический сборник.-1956.-Т. 59, № 4.-С.-491−524.

21. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям оператора теории упругости и обоснование метода Фурье для системы уравнений теории упругости: Дис. канд. физ.мат. наук/М. Исматов. -Душанбе, 1970.-67с.

22. Арсеньев A.A. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником колебаний/ A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ.физики.-1975.-Т.10, № 4.С.1062−1066.

23. Михайлов В. П. Об асимптотическом поведении при /-> оо решений некоторых нестационарных граничных задач / В.П. Михайлов// Докл. АН СССР.-1965.-Т. 162, № 3.-С.506−509.

24. Пыжьянов A.M. О форме оператора рассеяния для системы уравнений Максвелла / A.M. Пыжьянов // Дифференц. уравнения.-1974.-Т. 10, № 6.-С. 1091 -1102.

25. Фелсен Л. Излучение и рассеяние волн / Л. Фелсен, Н. Маркувиц.-М.: Мир, 1970.-547с.

26. Ахиезер H.H. Лекции по теории аппроксимации / Н. Н. Ахиезер.-М.: Наука, 1965. 407с.

27. Mochizuki К. Spectral and Scattering theory for symmetric hyperbolic system in an exterior domain/ K. Mochizuki// Pubis. Res. Just.Math. Sci.-1969.-V.5, № 2.-P.-219−258.

28. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы/ Б. Л. Розовский.-М.: Наука. 1983.-208с.

29. Ратанов Н. Е. Стабилизации стохастических решений гиперболических уравнений второго порядка / Н. Е. Ратанов // Успехи математ.наук.-1984.-Т.39, вып. 1.-С.-151−152.

30. Арсеньев А.А.О двух математических моделях описания пучка заряженных частиц в газе / А. А. Арсеньев // Математ. моделирование.-1989.-Т. 1, № 9.-С.-101−106.

31. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана стохастическими уравнениями / A.A. Арсеньев // Журн. вычислит, математики и математ. физ.-1988.-Т.28, № 4.-С.-560−567.

32. Лямшев Л. М. Об одном механизме генерации подводных акустических шумов при штиле в океане /Л.М. Лямшев, А. В. Фурдуев //Радиационная акустика.-М., 1987.-С. 46−51.

33. Гихман И. И., Скороход А.В.

Введение

в теорию случайных процессов /И.И.Гихман, A.B. Скороход.-М.: Наука, 1977.-568 с.

34. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям /Б.М.Левитан. М.- Л., 1950. 159 с.

35. Срумова Ф. В. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье / Ф. В. Срумова // Дифференциальные уравнения. 1971.-Т.7, № 7.-С.1333 -1338.

36. Срумова Ф. В. Вычисление асимптотики энергии, излученной почти периодическом источником колебаний при í—>oо /Ф.В.Срумова//Дифференциальные уравнения.- 1977.-Т.13, № 7.-С. 1272−1280.

37. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн / Ф.В. Срумова//Дифференциальные уравнения.- 1980.-Т.16, № З.-С. 560 563.

38. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе/Ф.В.Срумова// Дифференциальные уравнения.-1982.-Т. 28, № 11.-С. 1999;2001.

39. Срумова Ф. В. Резонансные свойства энергии во всем пространствё/Ф.В. Срумова // Дифференциальные уравнения.-1984.-Т. 20, № 4.-С.719 721.

40. Срумова Ф. В. Функционал энергии для абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Журн. вычисл. математики и мат. физики.- 1984.-Т.27, № 8.-С.1129- 1135.

41. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Дифференциальные уравнения.-1989.-Т.25, № 1.-С. 177−178.

42. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В.Срумова //Журн. вычисл. математики и мат.физики.-1989.-Т.29, № 4.-С. 626 627.

43. Срумова Ф. В. Вычисление асимптотики энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений/ Ф. В. Срумова //Журн. вычисл. математики и мат.физики.-1989.-Т.5,№ 5.-С.794−795.

44. Срумова Ф. В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний/ Ф.В. Срумова//Журн. вычисл.матем. и матем. физ.-1991.-Т. 30, № 7.-С. 1092- 1093.

45. Срумова Ф. В. Об абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье / Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР.-1970.-Т. 13, № 1.-С. 11−14.

46. Срумова Ф. В. О спектральных разложениях, связанных с полигармоническим оператором/ Ф. В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР.-1972.-Т. 15, № 6.-С. 10−12.

47. Срумова Ф. В. О принципе локализации для рядов Фурье по фундаментальной системе функций полигармонического оператора / Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР.- 1972.-Т. 15, № 9.-С. 15−18.

48. Срумова Ф. В. К вопросу о вычислении асимптотики энергии, излученной почти периодическим источником колебаний при х 00/Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР. -1976.-Т. 19, № 11.-С.7−9.

49. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн/ Ф.В. Срумова// Докл. АН Тадж ССР.-1978.-Т. 21, № 5.-С. 18−20.

50. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии случайных источниковколебаний/ Ф. В. Срумова // Докл. АН Тадж ССР.- 1986.-Т. 21, № 29.-С. 721 -725.

51. Срумова Ф. В. Вычисление асимптотики энергии при больших временах/ Ф. В. Срумова.- Душанбе, 1991. 88 с.

52. Срумова Ф. В. Энергия для одной абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Конференция по уравнениям математической физики.-Душанбе, 1983 .-С. 97 98.

53. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний для одной абстрактной задачи Коши/ Ф. В. Срумова //Тезисы докладов всесоюзной конференции по теории и приложениям функциональнодифференциальных уравнений.-Душанбе, 1987.-С. 111−112.

54. Срумова Ф. В. Поведение энергии при акустическом рассеянии /Ф.В.Срумова//Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике». -Ташкент, 1988.-С. 82−83.

55. Срумова Ф. В. Резонансные свойства энергии, излученной случайно расположенными источниками колебаний /Ф.В. Срумова/ЛГезисы докладов научно теоретической конференции профессорско — преподавательского состава.-Душанбе, 1991 .-С. 11.

56. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной в пространство источником шума/Ф.В.Срумова //Тезисы докладов республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». -Куляб, 1991.-С. 154.

57. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний / Ф. В. Срумова // Тезисы докладов апрельской научно теоретической конференции профессорско-преподавательского состава. -Душанбе, 1992.-С. 12.

58. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником шума / Ф. В. Срумова //Международная конференция «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами». -Душанбе, 1996.-С. 84.

59. Срумова Ф. В. Резонансные свойства энергии, излученнойслучайно расположенным по Пуассону точечным источником колебаний /Ф.В.Срумова//Вклад женщинученых Таджикистана в науку.- Душанбе, 1996.-С. 46−47.

60. Срумова Ф. В. Об асимптотике энергии, излученной распределенным по Пуассону точечным источником колебанийФ.В.Срумова//Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». -Душанбе, 1998.-С.80.

61. СрумоваФ.В. Поведение энергии решения волнового уравнения генерации звука в жидкости / Ф.В. Срумова/ /Материалы научно теоретической конференции профессорско-преподавательского состава.- Душанбе, 2003.-С. 12.

62. Срумова Ф. В. Обасимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний / Ф. В. Срумова //Докл.АН Респ. Таджикистан.- 2010.-Т. 53, № 1.-С. 25−27.

63. Срумова Ф. В. Вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости /Ф.В. Срумова //Докл. АН Респ. Таджикистан.-2010.-Т. 53, № 10.-С. 767−769.