Теоремы равносходимости для интегральных операторов с инволюцией

Многие вопросы современной математики, механики, физики приводят к спектральному анализу несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов. Исследования в этой области включают в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (с.п.ф.), обращения операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., вопросы полноты и базисности системы с.п.ф., равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, суммируемости разложений по с.п.ф. и так далее. Такого рода задачи возникают, например, при использовании метода Фурье для решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что в последнее время интерес к спектральной теории возрастает, о чем свидетельствуют многочисленные публикации.

Данная работа посвящена изучению интегральных операторов с инволюцией. Основной результат — теорема равносходимости разложений по с.п.ф. интегральных операторов и в тригонометрический ряд Фурье. Предварительно получены формулы точного обращения для более широкого класса интегральных операторов с инволюцией.

Впервые теорема равносходимости спектральных разложений по с.п.ф. и разложений в обычные тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В. А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Позже Я. Д. Тамаркин [4] и М. Стоун [5] распространили этот результат на дифференциальный оператор произвольного порядка п-2 к—О с произвольными краевыми условиями им = + Wfc)(i)] = о> fc=0.

С[0,1],.

1) з = 1,.. ., 71,.

2) удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66−67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj (y), после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65−66). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя. Приведем один из результатов Я.Д. Та-маркина.

Теорема 0.1. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {ki}, что для всякой f (x) е L[О, 1] и любого 5 е (0,½) lim ||.