Важную роль в предлагаемой работе имеет конструкция умножение неоднородных дифференциальных форм, которое задает на множестве неоднородных дифференциальных форм структуру алгебры Клиффорда. Эта конструкция была предложена Е. Келером (1962) и переоткрыта М. Атьи (1970). В литературе она называется алгеброй Атьи-Келера.
В 1993 году автор начал систематические исследования, направленные на применение алгебры Клиффорда и алгебры Атьи-Келера к уравнению Дирака. В литературе удалось найти три уравнения, аналогичные (или эквивалентные) уравнению Дирака и использующие алгебру Клиффорда или алгебру Атьи-Келера. Вместе со стандартным уравнением Дирака получился следующий список из четырех уравнений:
• стандартное уравнение Дирака (1928), в нем используются матрицы и спиноры;
• уравнение Дирака-Рисса (1947), в нем используются элементы алгебры Клиффорда и левые идеалы;
• уравнение Дирака-Хестенеса (1967), в нем используются четные элементы алгебры Клиффорда;
• уравнение Иваненко-Ландау-Келера (1928, 1962), в нем используются неоднородные дифференциальные формы.
Первые три уравнения из этого списка эквивалентны друг другу, тогда как уравнение Иваненко-Ландау-Келера не эквивалентно трем указанным уравнениям т.к., во-первых, волновая функция в нем имеет 16 комплексных компонент (по сравнению с 4 в уравнении Дирака) и, во-вторых, волновая функция представляется неоднородной дифференциальной формой, тогда как волновая функция уравнения Дирака является спинором.
Цель работы состояла в том, чтобы на основе анализа общего и различий уравнения Иваненко-Ландау-Келера по сравнению с первыми тремя уравнениями, попытаться найти такие модификации ILK-уравнения, которые наиболее естественным образом соотносятся с уравнением Дирака.
То обстоятельство, что базой исследования было не одно, а четыре уравнения, позволило существенно расширить круг идей и методов, с помощью которых велась работа.
Введя в рассмотрение локальную тетраду на псевдоримановом многообразии (т.е. фактически перейдя к многообразиям Римана-Картана) и выявив важные свойства оператора d — 5, удалось получить модификации уравнения ILK в которых волновая функция принадлежит левому идеалу алгебры Атьи-Келера и имеет либо 4, либо 8, либо 12, либо 16 комплексных компонент. Показано, что соответствующие уравнения имеют либо U (l), либо U (2), либо U (3), либо U (4) унитарную калибровочную симметрию. Таким образом, вопрос об уменьшении числа компонент волновой функции в ILK-уравнении был решен.
В 2000 году удалось построить специальные варианты модифицированных уравнений ILK (в диссертации они называются модельными уравнениями Дирака) обладающие дополнительной симметрией по отношению к псевдоунитарной группе SU (2,2) (эта группа среди своих подгрупп содержит симплектическую и спинорную группы). Псевдоунитарная симметрия является внутренней симметрией модельных уравнений и никак не связана с заменами координат (пространства Минковского, либо псевдориманова многообразия).
Таким образом приходим к модельному уравнению Дирака (а также к модельным системам уравнений Дирака-Максвелла и Дирака-Янга-Миллса). Доказывается, что они являются обобщениями соответствующих стандартных уравнений теории поля. Логично предположить, что из модельных уравнений могут быть выведены все следствия, которые могут быть выведены из стандартных уравнений поля (Дирака, Дирака-Максвелла, Дирака-Янга-Миллса). Вместе с тем показано, что из модельных уравнений выводятся такие математические следствия, которые принципиально не могут быть выведены из стандартного уравнения Дирака. В этой связи встает вопрос: можно ли из новых математических следствий модельных уравнений получить новые физические следствия? Ответ на этот вопрос автору пока не известен.
Модельные уравнения получились достаточно простыми. Они допускают формулировку не только в технике дифференциальных форм и алгебры Атьи-Келера, но и в более простой и привычной технике матриц (см. главу 1), либо в технике алгебры Клиффорда.
Представляемая диссертация посвящена изучению математических структур (в частности, уравнений), которые так или иначе связаны с фундаментальными уравнениями физики.
Открытие фундаментальных уравнений, описывающих релятивистские поля, является крупнейшим достижением современной физики. Как известно, первооснову уравнений релятивистских полей составляют следующие уравнения:
• Уравнения Максвелла (1873). В этих уравнениях английский физик Джеймс Клерк Максвелл объединил описание электрических и магнитных явлений со световыми и оптическими явлениями и создал единую теорию, в которой свет рассматривается как электромагнитная волна. Изучая вопрос о симметриях уравнений Максвелла, Г. Лоренц обнаружил свойство инвариантности уравнений по отношению к преобразованиям координат из псевдоортогональной группы (группы Лоренца). Этот математический результат Лоренца, в конечном счете, привел физику к новой революции — созданию Специальной Теории Относительности. В современной квантовой электродинамике с помощью уравнений Максвелла описываются фотоны, как частицы спина 1, обеспечивающие взаимодействие электрически заряженных частиц.
• Уравнение Клейна-Гордона-Фока (1926).
Это уравнение было введено Э. Шредингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. Фоком как обобщение уравнения Шредингера (лежащего в основе нерелятивистской квантовой механики), согласованное со Специальной Теорией Относительности. Выяснилось однако, что уравнение описывает лишь частицы спина 0. В современной Стандартной Модели элементарных частиц присутствует только одна фундаментальная (не составная, точечная, бесструктурная) частица спина 0. А именно, бозон Хиггса, который в теории отвечает за генерацию масс всех элементарных частиц. Бозон Хиггса является единственной частицей Стандартной Модели, которая пока (2011) не обнаружена в экспериментах.
• Уравнение Дирака (1928). П. Дирак, как и Э. Шредингер, искал обобщение уравнения Шредингера, согласованное со Специальной Теорией Относительности. Он разложил оператор Клейна-Гордона-Фока с производными второго порядка на два множителя первого порядка и, в качестве оператора нового уравнения, взял один из операторов сомножителей. Проведенный Дираком анализ показал, что его уравнение адекватно описывает электрон и дает правильное описание спина и магнитного момента электрона. Выяснилось, что с помощью уравнения Дирака можно описывать и другие частицы спина ½. Дальнейшее изучение свойств решений уравнения Дирака и, в частности, рассмотрение возникшей в теории проблемы отрицательных энергий, привело П. Дирака к замечательному результату — предсказанию существования у электрона античастицы (позитрона), которая затем была обнаружена К. Андерсеном в космических лучах.
• Уравнения Янга-Миллса (1954). Эти уравнения были предложены С. Янгом и Р. Миллсом как уравнения с неабелевой калибровочной симметрией, описывающие частицы спина 1 и обобщающие уравнения Максвелла (которые инвариантны по отношению к абелевой унитарной калибровочной группе и (1)). Уравнения Янга-Миллса оказали большое влияние на все дальнейшее развитие теоретической физики. С помощью уравнений Янга-Миллса с и (1) х Би (2) калибровочной симметрией удалось построить теорию электрослабых взаимодействий элементарных частиц, объединяющую электромагнитные и слабые взаимодействия. С помощью уравнений Янга-Миллса с Эи (3) калибровочной симметрией удалось построить квантовую хромодина-мику — калибровочную теорию сильных взаимодействий.
Система уравнений Дирака-Максвелла, рассматриваемая в математической физике, моделирует взаимодействие электрона с электромагнитным полем. Для моделирования электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц используются системы уравнений Дирака-Янга-Миллса (это класс систем уравнений, зависящих от калибровочной группы). Следует отметить, что система уравнений Дирака-Максвелла является частным случаем системы уравнений Дирака-Янга-Миллса. Системы уравнений Дирака-Янга-Миллса и Дирака-Максвелла являются стандартными системами уравнений релятивистской теории поля.
В работах Уиттекера [72] (1937), Тауба [73] (1939), Руза [74] (1937) и Желноро-вича [75] (1982, 2001) предложена форма записи уравнения Дирака в виде системы нелинейных тензорных уравнений.
Теперь о связи уравнения Дирака с алгеброй Клиффорда. В записи уравнения Дирака для электрона используются 7-матрицы Дирака, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, которым удовлетворяют генераторы алгебры Клиффорда С£(1,3) (см. главу 3). Алгебра Клиффорда впервые была применена к уравнению Дирака в работах Эддинггона [50] (1928) и Темпля [49] (1930).
Жуве [47] (1930) и Заутер [48] (1930) предложили рассматривать спиноры Дирака как элементы минимального левого идеала в алгебре матриц четвертого порядка. Рисс [51] (1947) первым рассмотрел спиноры как элементы минимального левого идеала алгебры Клиффорда (хотя частный случай чистых спиноров был рассмотрен ранее Картаном в 1938 году).
Ланцош [52] (1929) и Гюрши [53, 54, 55] (1956;1958) переписали уравнение Дирака с помощью 2×2 кватернионных матриц. Развивая идеи Ланцоша и Гюрши, Хестенес [56, 57, 58] (1966;1974) переформулировал уравнение Дирака для электрона так, что волновая функция электрона в его уравнении представляется четным элементом вещественной алгебры Клиффорда.
Иваненко и Ландау [44] (1928) предложили альтернативное уравнение для электрона (оно не эквивалентно уравнению Дирака), в котором волновая функция представлена неоднородной дифференциальной формой. Это уравнение было переоткрыто Келером [5] (1962). Келер показал, что основные свойства электрона, описываемые стандартным уравнением Дирака, могут быть выведены и го его уравнения. В частности, в его статье содержится вывод формулы Зоммерфельда тонкой структуры спектра атома водорода.
Развитие подхода Иваненко-Ландау-Келера к теории электрона содержится в работе Обухова и Солодухина [76] (1993) (см., также, обзор Круглова [45]). Ряд математических вопросов связанных с этим уравнением рассматривался Беном и Таккером [60] (1987). Начиная с 1981 года уравнение Иваненко-Ландау-Келера активно используется в квантовой хромодинамике на решетках [80]—[83].
Упомянутая работа Келера [5] содержит еще один важный результат. А именно, для корректного описания взаимодействия электрона с электромагнитным полем, Келер ввел в своем уравнении новое умножение неоднородных дифференциальных форм. Это умножение он назвал клиффордовым умножением дифференциальных форм (см. параграф 7.1). Конструкция клиффордова умножения дифференциаль- • 1 ' ных форм была независимо разработана Атьи [6]. Множество неоднородных дифференциальных форм на (псевдо)римановом многообразии с двумя умножениями (клиффордовым и внешним), в литературе называется алгеброй Атьи-Келера.
Некоторые вопросы применения алгебры Клиффорда к физике рассматривают Дорана и Лезенби [77] и Бейлис [78].
В предлагаемой диссертации вводится ряд систем уравнений, которые в дальнейшем будем называть модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля. В тоже время, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля, и, в частности, обладают новой симметрией по отношению к псевдоунитарной группе (или по отношению к спинорной группе Рт+(1,3), или по отношению к симплектической группе 8р (2, К) — обе эти группы являются подгруппами псевдоунитарной группы (см. главу 4)). Эта псевдоунитарная симметрия позволила построить в параграфе 5.9 калибровочную теорию нового типа.
Вопрос о том, что называется ковариантностью и симметрией модельных уравнений, обсуждается в параграфе 5.5.
Некоторые из модельных систем уравнений, при определенных условиях можно рассматривать как обобщения известных систем уравнений Дирака-Янга-Миллса. Мы говорим об уравнениях, калибровочно инвариантных относительно тех унитарных групп, которые являются подгруппами группы и (4). Вместе с тем, некоторые модельные уравнения, например модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса (5.60)-(5.62), не сводятся к уравнениям Дирака-Янга-Миллса (см. сноску на стр. 149).
Отметим, что предлагаемая конструкция модельных уравнений, основанная на алгебре Клиффорда 0?(1,3), диктует ограничение на унитарные группы по отношению к которым уравнения являются калибровочно инвариантными. А именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы и (4).
Отметим также, что при анализе модельных уравнений существенную роль играет использование методов алгебры Клиффорда.
В диссертации используются следующие математические методы:
• тензорный анализ в пространстве Минковского и на псевдоримановом многообразии;
• алгебра Клиффорда и смежные структуры (группы и алгебры Ли, порожденные алгеброй Клиффорда, идемпотенты, левые идеалы и т. д.);
• алгебра Атьи-Келера дифференциальных форм на спинорном многообразии и смежные структуры;
• теория симметрических гиперболических по Фридрихсу систем уравнений первого порядка.
Представленные в диссертации результаты определяют направления дальнейших исследований. Ряд вопросов, связанных с модельными уравнениями и представляющих интерес в контексте развития теории поля, пока не исследован. В дальнейшем необходимо сосредоточить внимание на исследовании следующих вопросов:
• Являются ли введенные в диссертации модельные уравнения лагранжевыми (если да, то необходимо найти соответствующие лагранжианы).
• Рассмотреть квантование модельных уравнений теории поля.
• Изучить глобальные свойства используемых в модельных уравнениях математических структур на псевдоримановом (спинорном) многообразии.1.
• Разработать вопросы физической интерпретации модельных уравнений теории поля.
главах 6,7 предполагается, что исходное псевдориманово многообразие является спинор-ным, т. е. накладываются некоторые топологические ограничения на многообразие. В проводимых локальных рассмотрениях глав 6 и 7 требуется существование локальной тетрады.
В данную диссертацию вошли результаты автора, полученные в период с 1993 по 2011 годы и опубликованные в статьях [10]—[37] и в монографии [28].
В главе 1 (параграфы 1.1,1.3) фиксируются обозначения объектов в пространстве Минковского и излагаются известные факты, связанные с уравнением Дирака и системой уравнений Дирака-Максвелла. Обозначения таковы, что скорость света, постоянная Планка и заряд позитрона равны единице.
В главе 2 (в параграфах 2.2−2.5) излагается главная идея предлагаемого подхода к уравнениям теории поля в ее наиболее простой форме (на примере модельных уравнений Дирака-Максвелла в пространстве Минковского и с использованием матричной техники).
В остальной части диссертации главная идея развивается в нескольких направлениях: от уравнений Дирака-Максвелла переходим к уравнениям Дирака-Янга-Миллсаот матричной техники переходим к технике алгебры Клиффорда и дальше, к технике алгебры Атьи-Келераот плоского пространства Минковского переходим к искривленным спинорным псевдоримановым многообразиям и т. д.
Логическое развитие результатов главы 1 в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского содержится в главе 8.
Если читатель хочет познакомиться с главной идеей предлагаемого подхода к уравнениям теории поля, то ему достаточно прочитать только главы 1,2. Если читатель заинтересуется развитием идей в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского, то ему достаточно еще прочитать главу 8. Для дальнейшего углубления в рассматриваемую проблематику потребуется ознакомление с некоторыми техническими вопросами, связанными с алгеброй Клиффорда, с алгеброй Атьи-Келера и с искривленными спинорными псевдоримановыми многообразиями.
В главах 3,4 развивается математический аппарат алгебр Клиффорда, а также групп Ли и алгебр Ли, связанных с алгебрами Клиффорда.
В главах 5,6 вводятся модельные уравнения теории поля с использованием формализма алгебры Клиффорда, в главе 7 с использованием формализма алгебры Атьи-Келера и в главе 8 с использованием матричного формализма.
В главах 5,7,8 в модельных уравнениях имеется ограничение на максимальную размерность унитарной калибровочной группы, которую допускают модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса. А именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы и (4).
В главе 6 на псевдоримановом многообразии X1, п1 выписываются модельные уравнения поля, основанные на алгебре Клиффорда (%(1, п — 1). Рассмотрены два варианта уравнений: уравнения с использованием тензора кривизны Римана в явном виде и без использования тензора кривизны.
В главе 7 представлены модельные уравнения теории поля на четырехмерном спинорном многообразии X1'3, записанные с использованием формализма алгебры Атьи-Келера дифференциальных форм. Алгебра Атьи-Келера является геометризованным (связанным со спинорным многообразием) вариантом алгебры Клиффорда. Модельные уравнения главы 7 можно рассматривать как обобщение уравнений Иваненко-Ландау-Келера на случай неабелевой унитарной калибровочной симметрии.
В рассматриваемых в главе 7 модельных уравнениях теории поля имеется дополнительная (по сравнению с уравнениями глав 5,6) локальная ковариантность по отношению к спинорной группе. Эта дополнительная ковариантность возникает только в случае четырехмерных многообразий (см. сноску на стр. 194).
В главе 8 используется матричная техника.
Все рассматриваемые в диссертации модельные уравнения теории поля имеют следующие четыре симметрии: 1) симметрия по отношению к заменам координат (имеются в виду лоренцевы замены декартовых координат пространства Минков-ского или общие замены локальных координат псевдориманова многообразия) — 2) локальная (калибровочная) симметрия по отношению к унитарной группе- 3) ло-кальная или глобальная симметрия по отношению к псевдоунитарной группе (вместо псевдоунитарной группы можно также рассматривать симплектическую или спинорную группы, являющиеся подгруппами псевдоунитарной группы) — 4) дискретная симметрия являющаяся суперпозицией преобразования комплексного сопряжения и некоторого унитарного ковариантного преобразования.
Символом Халмоша ¦ обозначается конец доказательства теоремы или подчеркивается отсутствие доказательства.
Научная новизна. Основные результаты диссертации заключаются в следующем.
• Введен ряд новых систем уравнений, которые в диссертации называются модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Показано, что, с одной стороны, эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля, а с другой стороны, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля. В частности, они обладают новой симметрией по отношению к псевдоунитарной группе.
• В диссертации доказано, что модельные уравнения теории поля обобщают соответствующие стандартные уравнения теории поля в том смысле, что любое решение стандартных уравнений теории поля можно рассматривать как решение соответствующих модельных уравнений, взятое при определенной фиксации псевдоунитарной калибровочной симметрии. На основе модельных уравнений автору удалось построить калибровочную теорию нового типа с двумя полями Янга-Миллса.
• Модельные уравнения теории поля обобщены на случай четырехмерного псевдориманова многообразия (сигнатуры —2) с локальной тетрадой.
• Разработаны модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм.
• Разработана специальная модификация модельных уравнений ДиракаМаксвелла с 1/(1) калибровочной симметрией использующая соответствие между минимальным левым идеалом алгебры Клиффорда С£(1,3) и четной подалгеброй СИЕуеп (153).
1. Дирак П.А.М., Принципы квантовой механики, М, Наука, (1979).
2. Новиков С. П., Тайманов И. А., Современные геометрические структуры и поля, М, МЦНМО, (2005).
3. Moore J. D., Lectures on Seiberg-Witten Invariants, Springer, (1996) — Перевод на русский язык Дж. Д. Мур, Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена, 2001.
4. Грин М, Шварц Дж., Виттен Э., Теория суперструн, том 2, М: Мир, (1990).
5. Kahler Е., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21, (1962) 425.
6. Atiyah M., Vector Fields on Manifolds, Arbeitsgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 200, (1970).
7. Барут А., Рончка P., Теория представлений групп и ее приложения, том 1,2, М, Мир, (1980).
8. Peskin М., Schroeder D., An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, (1995).
9. Snygg J., Clifford Algebra, Oxford Univ. Press (1997).
10. Марчук Н. Г. Матричное уравнение Дирака, ДАН, 1997, т.354, н.5, с.604−606.
11. Marchuk N.G., Dirac 7-equation, Classical gauge fields and Clifford algebra, Advances in Applied Clifford algebras, v.8, N. l, (1998), pp.181−225.
12. Marchuk N.G., Gauge fields of the matrix Dirac equation, Nuovo Cimento, 113B, N.10, (1998), pp.1287−1296.
13. Marchuk N.G., Dirac equation in Riemannian space without tetrads, Nuovo Cimento, 115B, N. ll, (2000), pp.1267−1301.
14. Marchuk N.G., The Dirac type tensor equation in Riemannian space, F. Brackx et al. (eds.), Clifford Analysis and Its Applications, Kluwer, (2001), pp.223−230.
15. Marchuk N., Mass generation mechanism for spin-(l/2) fermions in Dirac-Yang-Mills model equations with a symplectic gauge symmetry, II Nuovo Cimento, Vol. 125 B, N. 10, pp.1249−1256.
16. Марчук Н. Г., Семиполиномиальная параметризация спипорных групп четвертого порядка, ДАН, Математика, том 433, № 2, с.1−3, (2010).
17. Marchuk N., Parametrisations of Elements of Spinor and Orthogonal Groups Using Exterior Exponents, Adv. Appl. Cliff ord Algebras 21 (2011), 583−590.
18. Марчук Н. Г., Внешние полиметрические алгебры, ДАН, Математика, том 438, №, стр. 734−737, (2011).
19. Марчук Н. Г., Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса со спинорной калибровочной симметрией, Вестн. Сам. Гос. техн. ун-та, Сер. Физ.-мат. науки, 2011, № 1(22), с.118−123.
20. Марчук Н. Г., Уравнения теории поля со спинорной калибровочной симмери-ей, ДАН, Математика, том 437, № 1, стр.24−27, (2011).
21. Dirac P.A.M., Proc. Roy. Soc. Lond. A117 (1928) 610. Перевод на русский в сб. П.A.M.Дирак «К созданию квантовой теории поляМ., Наука, 1990.
22. Dirac Р.А.М., Proc. Roy. Soc. Lond. A118 (1928) 351. Перевод на русский в сб. П.А. М. Дирак «К созданию квантовой теории поляМ., Наука, 1990.
23. Зоммерферльд А., Строение атома и спектры, том И, М., 1956.
24. Мотт Н., Снеддон И., Волновая механика и ее применения, М., Наука, 1966.
25. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, М., Наука, 1973.
26. Мицкевич Н. В., в сб. «Гравитация и теория относительности вып. З, Казанский Университет 1967, с. 129.
27. Ivanenko D., Landau L., Z. Phys., 48 (1928)340.
28. Kruglov S.I., Int. J. Theor. Phys., 41, (2002), 653−687.
29. Pestov A.B., Preprint P2−5798, Dubna (1971).
30. Juvet G., Comment. Math. Helv., 2, (1930), 225−235.
31. Sauter F., Z. Phys., 63, (1930), 803−814- 64, (1930), 295.
32. Temple G., Proc. Roy. Soc., A, 127, (1930), 339−349.
33. Eddington A.S., Proc. Roy. Soc., A, 121, (1928).
34. Riesz M., pp.123−148 in C.R. 10 Congres Math. Scandinaves, Copenhagen, 1946. Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1947. Reprinted in L. G&rding, L^rmander (eds.): Marcel Reisz, Collected Papers, Springer, Berlin, 1988, pp.814−832.
35. Lanczos С., Z.Phys. 57, (1929) 447−473, arXiv: physics/508 002.
36. Giirsey F., Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, A21, (1956), 33−54.
37. Giirsey F., Nuovo Cimento, 3, (1956) 988.
38. Giirsey F., Nuovo Cimento, 7, (1958) 411−415.
39. Hestenes D., Space-Time Algebra, Gordon and Breach, New York, 1966.
40. Hestenes D., J. Math. Phys., 8, (1967) 798−808.
41. Hestenes D., J. Math. Phys., 14, (1973) 893−905.
42. Hestenes D., J. Math. Phys., 15, (1974) 1778−1786.
43. Benn I.M., Tucker R.W., An introduction to spinors and geometry with applications to physics, Bristol, 1987.
44. Lounesto P., Clifford Algebras and Spinors, Cambridge Univ. Press (1997, 2001).
45. Grassmann H., Math. Commun. 12, 375 (1877).
46. Doran C., Hestenes D., Sommen F., Van Acker N., J.Math.Phys. 34(8), (1993) 3642.
47. M0ller C., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 39,13, (1978).
48. Weinberg S., The quantum theory of fields, Cambridge, 2000.
49. Gromov M., Partial differential relations, Springer, 1986 (Translated from Russian).
50. Cartan E., The Theory of Spinors, Cambridge, MA: MIT Press, 1966.
51. Brauer R., Weyl H., Amer. J. Math., vol.57, N2, p.425, 1935.
52. Chevalley C., The Algebraic Theory of Spinors, New York: Columbia Univ. Press, 1954.
53. Casanova G., L’algebre Vectorielle Que Sais-je, N.1657, Presses Universitaires de France, Paris (1976).
54. Clifford W.K., Amer. J. Math., 1, pp.350−358 (1878).
55. Whittaker E.T., Proc. Roy. Soc. (London), vol. l58A, pp.38−46 (1937).
56. Taub A.H., Annals of Mathematics, vol.40, pp.937−947, (1939).
57. Ruse H.S., Proc. Roy. Soc. Edin., vol.57, pp.97−127,(1936;37).
58. Желнорович B.A., Теория спиноров и ее применения, (2001).
59. Обухов Ю. Н., Солодухин С. Н., ТМФ, 94, (1993), стр. 276.
60. Doran С. and Lasenby A., Geometric Algebra for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2003.78 7980 81 [82 [83 [8485.
