Математическая модель дифракции электромагнитных волн на плоском периодически гофрированном диэлектрическом волноводе

Актуальность темы

Исследование распространения и рассеяния волн в неоднородных средах уже много лет остаётся актуальной задачей теоретической физики. Важность этой задачи определяется широким практическим применением волновых процессов различной природы для связи, локации, дистанционного мониторинга природных сред, в качестве мощного средства лабораторного исследования, при создании квантовых генераторов — лазеров и т. д. 0.

Волны различной природы, как правило, распространяются в естественных и искусственно созданных структурах, имеющих характерные особенности волноводов — радиоволны в атмосфере, световые волны в оптических волокнах и т. д. Волновое поле в волноводах является многомодовым со сложным механизмом обмена энергии между его модами.

Задачи об излучении и отражении света на гофрированном участке волновода исследовались в работах Зленко A.A., Киселева В. А., Прохорова A.M., Спихальского A.A., Сычугова В. А. В частности, авторами получены результаты, относящиеся к одновременному излучению и отражению поверхностной световой волны на гофрированном участке волновода с периодом, удовлетворяющим условию Брэгга в среде: коэффициент отражения (ф близок к единице при условии проведения расчетов для волновода без потерь и без усиленияв реальных волноводах с потерями коэффициент отражения меньше единицыотношение выведенной из гофрированного участка мощности к мощности, падающей на этом участке, максимально при коэффициенте отражения 0,3 -0,4.

Задача о дифракции направляемой моды на периодически гофрированном участке плоского диэлектрического волновода представляет большой интерес в связи с проблемой создания распределенных брэгговских зеркал. Ей посвящены исследования Алферова Ж. И., Казаринова Р. Ф., Маркузе Д.,.

Суриса P.A., Соколовой З. Н., Шевченко В. В., Столярова С. Н. и др.

В работах Мартынова H.H. при помощи метода усреднения решена система уравнений поперечного сечения в частном случае слабого изменения амплитуды мод в пределах одного периода гофрировки. Показано, что амплитуды направляемых мод приближенно удовлетворяют системе уравнений связанных волн.

Математическая модель распространения и дифракции волн в волноводах с учётом начальных и граничных условий представляет, как правило, систему интегральных или интегро-дифференциальных уравнений.

Целостная теория систем уравнений такого типа не создана, а существующие методы решения применимы для частных случаев интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Обычно, при аналитическом решении задач распространения и дифракции волн в волноводах, используются приближённые методы: усреднениятеория возмущенияапроксимацииразложения по малому параметру и т. д., которые при всей своей продуктивности, имеют ряд существенных недостатков: ограниченность примененияне инвариантность в применениималейшее изменение какого-либо параметра приводит к возобновлению аналитических расчётов с самого началавынужденное упрощение механизма обмена энергии между модамивозможность, как правило, только качественного сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данными.

Таким образом, актуальной становится задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптических волноводах к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, теория и методы решений которых хорошо развиты.

Целью настоящей диссертации является задача разработки теории сведения системы интегро-дифференциальных уравнений математической модели дифракции электромагнитных волн в оптическом плоско симметричном однородном волноводе переменного сечения к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. При создании данного метода не должны вводится дополнительные ограничения на физические величины, характеризующие рассматриваемый процесс, чтобы в дальнейшем не сужать область его применения, к примеру, для случаев различных волноводов в многомодовом режиме распространения и дифракции электромагнитных волн.

Научная новизна:

1. Получена математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифферен-циальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Выведена формула двукратной интегральной свёртки.

3.Разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из четырёх уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана.

4.Разработан метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

5.Границы профиля периодически гофрированного ступенчатого волновода были описаны обобщёнными функциями Хевисайда.

6.Для ступенчатого волновода — волновод с таким профилем исследуется впервые — система из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка была сведена в одном случае — горизонтальные участки волновода — к системе из двух обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, а в другом — вертикальные участки волновода — к двум не связанным между собой дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.

7.Найдены решения полученных систем уравнений.

8.Решена задача граничных условий данного волновода — непрерывность падающей и отражённой волн в точках перехода от горизонтальных участков волновода к вертикальным.

9.Найдены явные выражения для амплитуд падающей и отражённой волн в независимости от глубины гофрировки для одного периода.

Ю.Получены аналитические выражения для коэффициентов прохождения, отражения и излучения для ступенчатого волновода в независимости от глубины гофрировки и номера брэгговского резонанса.

11.Проведены исследования зависимости отражательных характеристик ступенчатого волновода в зависимости от числа периодов ступенчатого волновода.

12.Исследована спектральная зависимость коэффициента отражения.

Практическая значимость изложенных в диссертации результатов заключается в том, что данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т. д. Основное условие применимости данного метода — математическая модель исследуемого явления должна быть представлена в виде системы интег-ро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.

Кроме того, практическую ценность работы составляют результаты, которые могут быть положены в основу дальнейших исследований волновых процессов различной природы.

На защиту выносятся:

1 .Математическая модель явления дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

2.Новый метод решения системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений, основанный на применении двукратной интегральной свёртки и, сводящий её к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений.

3.Метод преобразования системы из двух интегро-дифференциальных уравнений с интегралами типа Римана к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

4.Метод решения системы из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для ступенчатого волновода.

5.Метод решения задачи граничных условий в точках перехода ступенчатого волновода. б. Численный анализ отражательных характеристик ступенчатого волновода при различных глубинах гофрировки и разных номерах брэгговского резонанса, а также спектральная зависимость коэффициента отражения.

Достоверность результатов исследования обеспечивается адекватной реальному процессу дифракции математической моделью, согласием аналитических результатов для случаев ступенчатого волновода с ранее известными формулами для более простых оптических моделей, соответствием численных расчётов с аналогичными ранее опубликованными результатами. р

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на научном семинаре кафедры математической физики МПГУ (1988; 2000) — на научном семинаре кафедры физики Тольяттинского политехнического института (1999) — на научном семинаре Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2002, 2005), на Всероссийской и Международной научной конференции (г. Тольятти, ТГУ, 2003 г.), на научном семинаре института Физики и химии Мордовского государственного университета (г. Саранск, 2005 г.).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение

.

В данной работе исследовалось явление дифракции электромагнитных волн на участке переменного сечения плоско симметричного диэлектрического волновода. Была получена математическая модель данного явления в виде системы из четырёх интегро-дифференциальных уравнений относительно нулевых чётных амплитуд падающей и отражённой волн дискретного спектра и чётных амплитуд падающей и отражённой волн непрерывного спектра.

Затем, были введены обобщённые амплитуды дискретного и непрерывного спектров, которые, хотя не имеют физического содержания, но с помощью которых удалось значительно упростить выражения каждого уравнения из полученной системы интегро-дифференциальных уравнений. В дальнейшем исследовалась система уравнений относительно обобщённых амплитуд.

В данной работе был разработан метод, основанный на применении двукратной интегральной свёртки, посредством которого удалось установить математическую связь между обобщёнными амплитудами дискретного и непрерывного спектров. Полученные соотношения позволили свести систему из 4-х уравнений к системе из двух интегро-дифференциальных уравнений. Затем, используя независимость непрерывных мод от дисперсионного параметра р0, система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциальных уравнений свелась в одном случае: для горизонтальных участков к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, в другом случае: для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.

Система двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка были решены. В результате были получены аналитические выражения амплитуд падающей и отражённой волн чётной нулевой моды дискретного спектра, отдельно, для каждого из этих участков волновода.

При рассмотрении условия непрерывности в точках перехода от горизонтальных участков к вертикальным, была получена система линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд падающей и отражённой волн, решение которой позволило получить выражения для коэффициентов отражения и прохождения для одного периода.

Используя условие взаимозависимости периодов для прошедшей волны и, гипотезу о том, что отражение подчиняется распределению Больцмана, а также закон сохранения энергии были получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения в зависимости от количества периодов волновода.

Итак, основными результатами представленной работы являются:

1. Выведена формула двукратной интегральной свёртки;

2. Получены выражения, которым должны удовлетворять чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра;

3. Получены соотношения, связывающие чётные обобщённые амплитуды непрерывного спектра с чётными обобщёнными амплитудами нулевого дискретного спектра;

4. Построена теория сведения системы четырех интегро-дифференциаль-¦ ных уравнений к системе двух интегро-дифференциальных уравнений;

5. Система из двух интегро-дифференциальных уравнений была преобразована в систему из двух дифференциальных уравнений в частных произ водных первого порядка.

6. Для ступенчатого волновода система из двух интегро-дифференциаль-ных уравнений для горизонтальных участков волновода сведена к системе двух обыкновенных однородных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка, а для вертикальных участков волновода к двум независимым друг от друга дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка;

7. Получены решения системы двух обыкновенных с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциального уравнения с частными производными первого порядка;

8. Решена задача граничных условий для перехода горизонтальных участков волновода на вертикальные участки;

9. Получены выражения коэффициентов прохождения и отражения для одного периода как независимой оптической системы;

10. Получены выражения коэффициентов прохождения, отражения и излучения для всего волновода;

11. Проведён анализ отражательных характеристик ступенчатых волноводов с различной глубиной гофрировки и с разными номерами брэгговских ре-зонансов;

12. Было проведено исследование влияния растройки брэгговского резонанса на коэффициент отражения.

При разработке в представленной работе теории сведения системы ин-тегро-дифференциальных уравнений, описывающих дифракцию электромагнитных волн на участке плоского волновода переменного сечения в од-номодовом случае, не вводились дополнительные физические ограничения на величины, описывающие данное явление, а использовались только стандартные для данного процесса начальные и граничные условия. Следовательно, данный метод применим при исследовании задач дифракции электромагнитных волн на структурах более сложного типа: оптические волокна, оптические среды с переменным показателем преломления и т. д. Основное условие применимости данного метода, чтобы математическая модель исследуемого явления была представлена в виде системы интеро-дифференциальных уравнений относительно связанных между собой физических величин двух типов: дискретных и непрерывных.