Элементы малых порядков и локально конечные группы

Общая характеристика работы.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Одним из важных направлений развития теории групп является перенос (естественно, не всегда полный) различных результатов о конечных группах на группы, которые не являются априори конечными. В частности, доказательство локальной конечности некоторого класса групп также обеспечивает такую переносимость результатов. Диссертация посвящена указанному направлению. Элементы малых порядков играют особую роль при изучении конечных групп. С другой стороны в этом направлении интересно и перспективно рассматривать именно группы с элементами малых порядков. Поэтому, после некоторых довольно общих результатов, в диссертации обсуждаются преимущественно группы с элементами малых порядков, и основное внимание уделяется вопросу о том, какие свойства таких групп способны обеспечить их локальную конечность.

Важной задачей при изучении групп является выяснение вопроса об их нормальном строении. Естественный источник нормальных подгрупп — подгруппы, порожденные классом сопряженных элементов. Пусть С — класс сопряженных элементов группы. Интересным является следующий вопрос: если для любых двух элементов ж и у из С нам известно строение подгруппы (х, у), порожденной этими элементами, то что можно сказать про подгруппу ©? В теории конечных групп встречается ряд результатов, сформулированных в таком духе — этим духом пропитана и данная работа. Так Р. Бэр показал [11, Теорема III 6.14], что если группа С конечна и порождается энгелевыми элементами, то С нильпотентна. Важным следствием этого результата является:

Предложение 1.1 Пусть х — р-элементп конечной группы (?, тогда х €) в том и только в том случае, если (ж3, ж'1) — р-группа для всех д, //, € С (здесь Ор (С) — максимальная нормальная р-подгруппа группы С).

В [20] М. Сузуки получил другое доказательство этого результата и использовал его при исследовании некоторых свойств инволюций в конечных группах. В связи с этим предложение 1.1 известно как теорема Бэра-Сузуки. Позднее более короткое и доступное доказательство предложения 1.1 получили Альперин и Лайонс [1], а сам этот результат применялся в теории конечных разрешимых групп [5] и при классификации конечных простых групп [25]. Важным практическим следствием теоремы Бэра-Сузуки является утверждение о том, что в простой группе С любая инволюция обращает некоторый неединичный элемент нечетного порядка [1].

По теореме Бернсайда-Виландта конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением своих силовских подгрупп [27, теорема 17.1.4]. В связи с этим теорему Бэра-Сузуки можно переформулировать таким образом:

Предложение 1.2 Пусть С — класс сопряженности конечной группы С. Если любые два элемента из С порождают ньлъпотентную группу, то и С порождает нильпотентную группу.

Такая формулировка теоремы Бэра-Сузуки встречается, например, в [7]. В диссертации эта модернизированная теорема Бэра-Сузуки распространяется на произвольные группы с условием обрыва возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп (т.е. с условием максимальности для нильпотентных подгрупп). Пример группы Голода с тремя порождающими [27, пример 18.3.2] показывает, что отказаться от дополнительного требования обрыва цепочек нельзя: подгруппа, порожденная соответствующим классом, может не быть даже локально нильпонентной.

Основные результаты работ [3,19] М. Ашбахера, М. Холла и Б. Штельмахера также формулируются в духе теоремы Бэра-Сузуки. В этих работах описаны конечные группы, порожденные классом сопряженных элементов порядка 3, любые два из которых либо перестановочны, либо порождают одну из групп Аа, у15, или 5Х2(3). Результаты этих работ использовались, например, в [10] при исследовании квадратичных пар для простого числа 3. Первые шаги в направлении обобщениях этих результатов сделал В. Д. Мазуров. В [33] он доказал локальную конечность группы (?, порождённой классом X сопряжённых элементов порядка 3 таким, что любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную знакопеременной группе степени 4 или 5.

Действие группы б на нетривиальной абелевой группе V с аддитивной записью операции называется свободным, если уд ф у для всех д € С, д ф- 1, и всех V Е V, V ф 1. Классификация конечных групп, способных действовать свободно на нетривиальной абелевой группе, была получена Цассенхаузом [22] и основывалась на применении теории характеров конечных групп. В частности, классификация Цассенхауза показывает, что если конечная группа С порождена классом сопряженных элементов порядка р и действует свободно на нетривиальной абелевой группе, то либо С? циклическая, либо р = 5 и б изоморфна 51/2(5), либо р = 3 и б изоморфна 5Ь2(3) или 51/2(5). Этот результат подчеркивает особую роль элементов порядка 3 в конечных группах. В [15] В. Д. Мазуров привел простое короткое доказательство теоремы Цассенхауза, не использующее теорию характеров.

Возникает интересный объект исследования — группы, порожденные классом сопряженных элементов, порядка 3, таким, что любая пара элементов из этого класса порождает подгруппу, изоморфную одной из следующих групп: Из, А4, А5, 5X2(3) или 5Ь2(5). В диссертации доказывается локальная конечность таких групп и приводится их классификация. В качестве следствия приводится утверждение, где показывается, как эти результаты могут использоваться при исследовании групп, действующих локально свободно на нетривиальной абелевой группе.

Пусть теперь (7 — периодическая группа. Через о"© обозначим спектр С?, т. е. множество порядков её элементов. Группа С называется распознаваемой по спектру, если для любой конечной группы Н из равенства и>(Н) = ш (Сг) следует изоморфизм Я ~ Масса работ по теории конечных групп посвящена вопросам распознаваемости — их обзор приводится в [30]. Вопрос о связи спектра и строения группы, лежащий в основе вопроса о распознаваемости, можно продолжить и на периодические группы: какие спектры способны гарантировать локальную конечность соответствующей группы?

Очевидно, что спектр группы конечен тогда и только тогда, когда конечен её период. Поэтому группа с конечным спектром не обязана быть локально конечной [34]. В частности, как следует из результатов П. С. Новикова, С. И. Адяна и И. Г. Лысёнка [28,34], для любого п ^ 8000 существует не локально конечная группа периода п. С другой стороны, существуют примеры спектров, обеспечивающие локальную конечность соответствующей группы. Так, если ^((7) = {1,2}, то С? — элементарная абелева. В 1932 г. Ф. Леви и Б.Л. ван-дер Варден [14] доказали, что группа (3 с си © = {1,3} нильпотентна и её ступень нильпотентности ограничена числом три. Б. Х. Нойман [16] описал группы С с ш (С!) = {1,2,3}. И. Н. Санов доказал локальную конечность группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 [35], а М. Холл — групп периода 6 [8]. В [17] М. Ф. Ньюмен описал строение группы С? с ш (0) = {1,2,5}. Из [26] следует, что произвольная группа С, для которой = {1,2,3,5} изоморфна знакопеременной группе степени 5. Н. Д. Гупта и В. Д. Мазуров доказали, что если и>{С) — собственное подмножество {1,2,3,4,5}, то либо О локально конечна, либо С содержит нильпотентную нормальную подгруппу N такую, что С/М является 5-группой [6]. Из [13] следует локальная конечность такой группы С, за исключением случая = {1,5}. Позднее В. Д. Мазуров доказал локальную конечность группы (3 и в случае, когда сравно {1,2,3,4,5} [31].

В диссертации доказывается локальная конечность групп со спектром.

1,2,3, 5, 6} и приводится описание этих групп.

Основные результаты диссертации.

Теорема 1 Пусть С — группа, в которой нет бесконечно возрастающих цепочек нильпотептных подгрупп. Пусть ж € С? и для любого д £Е С подгруппа (ж, х9) нильпотентна, тогда пилъпотентна.

Достаточное условие нильпонетности (теорема 2) получено в ходе доказательства теоремы 1, но может быть использовано независимо и представляет отдельный интерес. Известно, что произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп в группе является нильпотентной подгруппой [27, Теорема 16.2.12]. Полученная теорема, по' сути, показывает, что требование «нормальности» одного из сомножителей можно заменить на требование «конечной порожденное&trade-» при выполнении некоторых дополнительных условий, приведенных ниже.

Теорема 2 Пусть С? — группа, N — нильпотеитная нормальная подгруппа в Хх, ., хп — элементы группы й, порождающие нилъпотептную подгруппу К и С = {И, Х1,., ХП). Группа С? нильпотентна тогда и только тогда, когда для любого г = 1 ,., п подгруппа {И, хг) нильпотентна.

Теорема 3 Пусть (7 — группа, порожденная классом сопряженных элементов порядка 3, любые два из которых порождают подгруппу, изоморфную Л4, 31*2(3) или 6X2(5). Тогда либо С изоморфна одной из групп £/з (3), ИЗ, С?2(4), 2.2.^2(4), либо С? — расширение локально конечной 2-группы при помощи группы порядка 3, либо (!? — расширение локально конечной 2-группы при помощи группы, изоморфной А5. В частности, группа С локально конечна.

Отметим, что группа (7, вообще говоря, не обязана быть конечной. Группа.

6/ элементарная абелева подгруппа, на которой А5 действует как в У/ (см. лемму 4.1.2), удовлетворяет условиям теоремы. произвольное множество индексов, иг ~ и = 24 —.

Теорема 4 Пусть группа G действует на абелевой группе V и порождена таким классом С сопряженных элементов порядка 3, что для любых х, у 6 С подгруппа Н = (ж, у) конечна и в V найдется такая Н-инвариантная подгруппа, на которой Н действует свободно. Тогда либо G изоморфна одной из групп 11з (3), 2. HJ, 2.02(4), либо G — расширение 2-группы при помощи группы порядка 3, либо G — расширение 2-группы при помощи группы, изоморфной При этом группа G локально конечна.

Заметим, что группа G, вообще говоря, не обязана быть конечной. Пусть G бесконечная группа, порожденная таким классом С сопряженных элементов порядка 3, что любые два элемента ж и у из С порождают подгруппу Н, изоморфную 5X2(3) или бХ’Дб). Подобную группу можно построить способом, указанным в предыдущем замечании. Построим для этой группы модуль V так, чтобы выполнялись условия следствия. Рассмотрим V# — представление группы Н над полем, характеристика которого не делит Н, и такое, что Н действует свободно на Vj[. Пусть V? — G-модуль, индуцированный модулем V# и V = я.

Теорема 5 Пусть G — группа, для которой w (G) = {1,2,3,5,6}. Тогда G разрешимая локально конечная группа и справедливо одно из следующих утверждений:

1) G — расширение элементарной абелевой Ъ-группы посредством циклической группы порядка 6;

2) G — расширение трехстпупеино нил, ьпотентной Ъ-группы посредством группы диэдра порядка 10;

3) G — расширение прямого произведения трехступенно нильпотентной 3-группы и элементарной абелевой 2-группы посредством группы порядка 5.

Доказательство теоремы 3 в случае, когда любые два элемента из рассматриваемого класса сопряженности порождают A4 или 5L2(3), получено A.A. Максименко. Другие возможности рассмотрены автором. Доказательство теоремы 5 получено в нераздельном соавторстве с В. Д. Мазуровым.

Новизна и научная значимость работы.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при исследовании групп действующих локально свободно на абелевой группе, для дальнейших исследований как локально конечных групп, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация работы.

Результаты диссертации были представлены на научной конференции «Ломоносовские чтения», Севастополь, 2005; Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2004; Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 2003; «Международной алгебраической конференции», посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005; Международном Российско-Китайском семинаре «Алгебра и логика», Иркутск, 2007; Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах Института математики СО РАН и Новосибирского государственного университета «Теория групп» и «Алгебра и логика», Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс».

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [38−48].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Она изложена на 62 страницах, библиография содержит 48 наименований.

1. J. Alperin and R. Lyons, On conjugacy classes of p-elements, J. Algebra 19 (1971), p.536−537.

2. M. Aschbacher, Finite Group Theory, 2nd edition, Cambridge University Press, 2000.

3. M. Aschbacher and M. Hall, Group Generated by a Class of Elements of Order 3, J. Algebra 24 (1973), p.591−612.

4. J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford: Clarendon Press, 1995.

5. K. Doerk, T. Hawkes, Finite Soluble Groups, Berlin: de Gruyter, 1992.

6. N. D. Gupta, V. D. Mazurov, On groups with small orders of elements, Bull. Aust. Math. Soc., 60, N 5 (1999), p.197−205.

7. P. Flavell, A weak soluble analogue of the Baer-Suzuki Theorem, preprint, (http://web.mat.bham.ac.Uk/P. J. Flavell/research/preprints).

8. M. Hall Jr., Solution of the Burnside problem for exponent six, 111. J. Math., 2, N 3 (1958), p.764−786.

9. P. Hall, G. Higman, On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside’s problem. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956).

10. C. Ho, On the Quadratic Pairs, J. Algebra 43 (1976), p.338−358.

11. B. Huppert, Endliche Gruppenl, Springer-Verlag, 1979.

12. IM. Isaacs, Finite group theory. American Math. Soc., Providence, R.I., 2008.

13. E. Jabara. Fixed point free action of groups of exponent 5. J. Austral. Math. Soc., 77 (2004), 297−304.

14. F. Levi, B.L. van der Waerden, Uber eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Semin. Hamburg Univ., V. 9 (1932), 154−158.

15. V. Mazurov. A new proof of Zassenhaus theorem on finite groups of fixed-point-free automorphisms. J. Algebra, 263, N 1 (2003), p. 1−7.

16. B.H.Neumann, Groups whose elements have bounded orders, J. London Math. Soc., 12 (1937), 195−198.

17. M. F. Newman, Groups of exponent dividing seventy, Math. Sei., 4 (1979), p.149−157.

18. M. Schonert, et al, Groups, Algorithms and Programming, Lehrstuhl D fur Mathematik, RWTH Aachen, 1994 (http://www.gap-system.org/).

19. B. Stellmacher, Einfache Gruppen, die von einer Kojugiertenklasse von Elementen der Ordnung drei erzeugt werden, J. Algebra 30 (1974), p.320−354.

20. M. Suzuki, Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is 2-closed, Ann. of Math 82 (1968), p.191−212.

21. R. Wilson et al, Atlas of Finite Group Representations (http://web.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/).

22. H. Zassenhaus, Kennzeichnung endlicher linearen Gruppen als Permutationsgruppen, Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg, 11 (1936), p.17−40.

23. B.B. Беляев, Группы с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 26, N 5 (1987), 531−536.

24. В. М. Бусаркин, Ю. М. Горчаков, Конечные расщепляемые группы. М.:Наука, 1968.

25. Д. Горенстейн, Конечные простые группы.

Введение

в их классификацию, М.: Мир, 1985.

26. А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров, Распознавание простых групп Ь2(2т) в классе всех групп, Сибирский математический журнал, 40 N 1 (1999), 75−78.

27. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд., М.:Наука. Физматлит, 1982.

28. И. Г. Лисёнок, Бесконечные бернсайдовы группы четного периода, Изв. РАН. Сер. матем., (60) 1996, 3−224.

29. Д. В. Лыткина, Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4, Сибирский математический журнал, 48:2 (2007),.

30. В. Д. Мазуров, Группы с заданным спектром, Изв. Урал. гос. ун-та, 2005, № 36 (Математика и механика, вып.7), 119−138.

31. В. Д. Мазуров, О группах периода 60 с заданными порядками элементов, Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), стр. 329−346.

32. В. Д. Мазуров, Ослабленная проблема Бернсайда для показателя 30, Алгебра и логика, 8, N 4 (1969), стр. 460−477.

33. В. Д. Мазуров, Характеризация знакопеременных групп, Алгебра и Логика, 44, N 1 (2005), стр. 54−69.

34. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. I, II, III, Изв. АН СССР. Сер. матем., (32) 1968, 212−244, 251−524, 709−731.

35. И. Н. Санов Решение проблемы Бернсайда для показателя 4: Учен. зап. Ленингр.гос. ун-та, сер. матем., 10 (1940), стр. 166−170.

36. Е. И. Хухро, Нильпотентные группы и их автсшор</шзлш.-Новосибирск.1993.353.358.

37. В. П. Шунков, О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 11, N 4 (1972), 470−493.Работы автора по теме диссертации.

38. А. С. Мамонтов, Некоторое достаточное условие нильпотентности группы, Материалы XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс», Новосибирск, 2003, 6−7.

39. А. С. Мамонтов, О группах, порожденных ¦классом сопряженных элементов порядка 3, Материалы XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс», Новосибирск, 2004, 12.

40. А. С. Мамонтов, Локальная конечность некоторых групп, порожденных классом элеме71тов порядка 3, Материалы XLIII Международной научнойстуденческой конференции «Студент и научно-технические прогресс», Новосибирск, 2005, 11.

41. A.C. Мамонтов, О группах, действующих локально-свободно на абелевой группе, Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс», Новосибирск, 2006, 96−97.

42. A.C. Мамонтов, О периодических группах, с элементами малых порядков, Материалы XLVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс», Новосибирск, 2008, 15.

43. В. Д. Мазуров, A.C. Мамонтов, Обобщение теоремы Бэра-Сузуки на бесконечные группы, Тезисы докладов V Международной конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 2003, 151.

44. A.S. Mamontov, V.D. Mazurov, On periodic groups with elements of small orders, Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008, 325.