О некоторых свойствах непрерывного поливерсума

1.1 Общая характеристика работы.

Актуальность темы

В последние десятилетия в математике все большую роль играют методы булевозначного анализа. Это объясняется, в частности, тем, что они находят широкое применение в исследовании таких классических объектов, как /^-пространства и векторные решетки.

Использование методов булевозначного анализа, возникновение которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по проблеме континуума, уже привело к возникновению новых идей в таких областях математики как теория алгебр фон Неймана, выпуклый анализ, теория векторных мер, теория векторных решеток и /^-пространств.

Особенно возрос интерес к булевозначному анализу в связи с выходом (одновременно на русском и английском языках) книг серии «Нестандартные методы анализа», издающейся под редакцией С. С. Кутателадзе.

Роль булевозначного анализа в развитии современного функционального анализа в основном определяется тем, что он позволяет упрощать многие математические объекты рассматривая их в специальных моделях теории множеств. Так, теорема Гордона утверждает, что произвольное расширенное /^-пространство является интерпретацией поля вещественных чисел подходящей булевозначной модели, а реализационная теорема Кусраева дает булевозначное представление архимедовых векторных решеток.

Новый этап в развитии этого направления был начат А. Е. Гутманом и Г. А. Лосенковым, предложившими представление произвольного булевозначного универсума в виде непрерывного расслоения (так называемого поливерсума), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом булевозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функций, сопоставляющих каждой точке компакта Q элемент соответствующего слоя. Таким образом, исследователи в области функционального анализа могут иметь дело не с абстрактным булевозначным универсумом, а с его функциональным аналогом — моделью, элементами которой являются непрерывные функции, а основные операции вычисляются поточечно.

Такое функциональное представление подсказывает идею представления объектов исследования булевозначного анализа, таких как расширенные А'-пространства, и, более общо, векторные решетки, в виде расслоений. Это позволило бы свести изучение данных объектов к изучению их «поточечных» свойств, действительно упрощая работу исследователя с этими объектами. Поэтому важной является задача нахождения представления векторных решеток в виде расслоений (подрасслоений непрерывного поливерсума) и исследование вопроса, какие свойства этих объектов имеют поточечные аналоги.

На современном этапе развития булевозначного анализа в нем все большую роль играют методы, использующие идеи и понятия другого направления нестандартного анализа — инфинитезимального. Идейные основы инфинитезимального анализа принято ассоциировать с именами Лейбница и Эйлера, однако формальные основания он получил только в середине XX века благодаря А. Робинсону, сделавшему, в частности, бесконечно большие и бесконечно малые величины строгими математическими понятиями. Бурное развитие инфинитезимального анализа и его применение в самых различных областях математики (от математической экономики до теории /^-пространств) началось в конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э.Нельсона.

Первые шаги в области комбинирования нестандартных (булевознач-ных и инфинитезимальных) методов анализа были сделаны в 80-е годы работах С. С. Кутателадзе, в которых реализован метод булевозначного моделирования в инфинитезимальном универсуме. В дальнейшем, А. Е. Гутманом, А. Г. Кусраевым, С. С. Кутателадзе и другими исследователями были разработаны различные подходы к комбинированию методов инфинитезимального и булевозначного анализа, что послужило исходной точкой для многих направлений исследований. Среди этих подходов мы отметим метод инфинитезимального моделирования в булевознач-ном универсуме А. Г. Кусраева и С. С. Кутателадзе и попытку построения булевозначной модели теории внутренних множеств А. Е. Гутмана и А. И. Попова, приведшую авторов к доказательству невозможности построения такой модели.

В рамках изучения векторных решеток в настоящей работе предлагается другой вариант совместного использования идей и методов инфинитезимального и булевозначного анализа, с помощью которого становится возможным изучение «поточечных» свойств векторных решеток. В связи с этим ставится задача введения понятий инфинитезимального анализа вещественной прямой (по аналогии с теорией Э. Нельсона) в слоях по-ливерсума, что позволило бы с новых позиций подойти к упрощению работы с векторными решетками методами булевозначного анализа.

Целью диссертации является изучение свойств поливерсума, позволяющих упростить работу с /^-пространствами и векторными решетками с помощью техники инфинитезимального анализа.

Методы исследования. В работе были использованы основные положения и результаты инфинитезимального и булевозначного анализа, а также теории векторных решеток.

Научная новизна и основные результатов работы, выносимые на защитуВ работе получены следующие новые результаты:

1) Изучены аналоги понятий инфинитезимального анализа на вещественной прямой в рамках функционального представления булевозначного универсума (непрерывного поливерсума). Это позволиf ло найти один из возможных вариантов решения задачи Кусраева-Кутателадзе о построении булевозначной интерпретации нестандартной оболочки и изучении соответствующей конструкции «спущенной» нестандартной оболочки.

2) Введено понятие внешних сечений и разработаны методы их использования. Показано, что определенный класс внешних сечений является булевозначным аналогом множества векторных решеток. Новое понятие позволяет упрощать доказательства многих утверждений о /^-пространствах и векторных решетках переходя к их «поточечным» аналогам, что сводит изучение векторных решеток к изучению подмножеств множества вещественных чисел в рамках инфинитезимального анализа.

3) Формализовало понятие поточечного критерия и детально исследовало, какие из рассматриваемых свойств векторных решеток и /^-пространств имеют поточечные аналоги.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области векторных решеток и функционального анализа знакомыми с методами инфинитезимального анализа, без детального изучения аппарата булевозначного анализа. Полученные результаты могут использованы в курсах нестандартного анализа, булевозначного анализа, функционального анализа и ряде других спецкурсов, читаемых на механико-математических факультетах университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по функциональным пространствам (4th Conference On Function Spaces SIUE, Edwardsville, USA, 2002), на ХХ1П Конференция молодых ученых мехмата МГУ в 2001 г., на ХХХУШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно.

Т ¦ технический прогресс", НГУ в 2000 г., а также на семинарах отдела математического анализа Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН.

1. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.— Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

2. Альбеверио С., Фейнстад Й., Хёэг-Крон Р., Линдстрём Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике.— М.: Мир, 1990.

3. Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях.— М.: Наука, 1974.

4. Бурбаки Н. Общая топология.— М.: Наука, 1968.

5. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.— 318 с.

6. Вулих Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Физматгиз 1961.—408 с.

7. Гордон Е. И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и /^-пространства. // Докл. АН СССР.— 1977.— Т. 237, т.- С. 773−775.

8. Гордон Е. И. АТ-пространства в булевозначных моделях теории множеств. // Докл. АН СССР.- 1981. Т. 258, т.- С. 777−780.

9. Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ, часть I. Новосибирск, 2001. Изд-во Института математики.

10. Гутман А. Е. Линейные операторы, согласованные с порядком // Труды института математики, 1995 — V. 29— Р. 63−211.

11. Гутман А. Е., Емельянов Э. Ю., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартный анализ и векторные решетки. Новосибирск, Изд-во Института математики, 1999.

12. Гутман А. Е., Лосенков Г. А. Функциональное представление булевозначного универсума // Математические труды, 1998 Т. 1 Jf"l С. 54−77.

13. Емельянов Э. Ю. Порядковые и регулярные оболочки векторных решеток // Сиб. мат. журн.- 1994. Т. 35 № 6.— С 1243—1252.

14. Емельянов Э. Ю. Инфинитезимальный подход к представлению векторных решеток пространствами непрерывных функций на компакте // Докл. РАН.- 1995. Т. 344, № 1/- С. 9−11.

15. Емельянов Э. Ю. Инвариантные гомоморфизмы нестандартных расширений булевых алгебр и векторных решеток // Сиб. мат. журн. -1997. Т.38 № 2 С. 286−296.

16. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1984 752 с.

17. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. —М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 548 с.

18. Кусраев А. Г. Числовые системы в булевозначных моделях теории множеств // VIII Всесоюз. конф. по мат. логике.— М.: 1986.— С. 99.

19. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.— Новосибирск: Наука, 1985.— 256 с.

20. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999.

21. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нерешенные нестандартные задачи.— Новосибирск, 2000. Препринт/ Изд-во Института математики.

22. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа.— Новосибирск, 1990, Наука, Новосибирское отд-ние.

23. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. О комбинировании нестандартных методов // Сиб. мат. журнал- 1990.— Т.31 № 5. — С.111−119.

24. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Некоторые вопросы теории векторных мер. — Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.— 190 с.

25. Кутателадзе С. С. Циклические монады и их применение // Сиб. мат. журн. 1986. Т.27. № С. 100−110.

26. Кутателадзе С. С. Монады проультрафильтров и экстенсиональных фильтров // Сиб. мат. журн. 1989. Т. ЗО, JM. —С. 129−133.

27. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2000.— 336 с.

28. Сикорский Р. Булевы алгебры.— М.: Мир— 1969.

29. Любецкий В. А., Гордон Е. И. Булевы расширения равномерных структур // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам, — М.: Наука, 1983 —С. 82−153.

30. Aliprantis C.D. and Burkinsaw О. Positive operators. —New York: Academic Press, 1985.— 367 pp.

31. Bell J. L. Boolean-Valued models and Independence Proofs in Set Theory.— New York etc.:Clarendon Press, 1985.— xx+165 pp.

32. Cozart D. and Moore L.C. The nonstandard hull of a normed Riesz space // Duke Math. J. 1974.-No. 41 P. 263−375.

33. Cutland N. Nonstandard measure theory and its applications // Proc. London Math. Soc. 1983. V.15, No. 6. — P. 530−589.

34. Halmos P.R. Lectures on Boolean Algebras.— Toronto, New York and Lo ndon: Van Nostrand, 1963.— 147 pp.

35. Heinrich S. Ultraproducts in Banach Space theory //J. Reine Angem. Math.- 1980. V. 313. — P. 72−104.

36. Henson C.W. Infinitesimals in functional analysis // Nonstandard analysis and its applications.— Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 1988. P. 140−181.

37. Henson C.W. and Moore L. C. Jr. Nonstandard hulls of the classical Banach spaces // Duke Math. J. 1974. — V. 41. No.2. — P. 277−284.

38. Hrbacek K. Axiomatic foundations for nonstandard analysis // Fund. Math.—1978.—V. 98Д?1.-Р.1−24.

39. Hurd A.E., Loeb P.A. An introduction to nonstandard real analysis.— 1985.— Orlando etc.: Academic Press, Inc.

40. Jech T.J. Abstract theory of abelian operator algebras: an application of forcing // Trans. Amer. Math. Soc 1985. V. 289. -No. 1- P. 133−162.

41. Jech T.J. Boolean-linear spaces // Adv. in Math. 1990. V. 81. —No. 2.— P. 117−197.

42. Johnstone P.T. Stone Spaces.— Cambridge and New York: Camprige University Press, 1982. —xxii+370 pp.

43. Monk J.D. and Bonnet R. (eds.), Handbook of Boolean Algebras. Vol. 1−3.— Amsterdam etc.: North-Holland, 1989.

44. Kawai T. Axiom systems of nonstandard set theory // Logic Symposia, Hakone 1979, 1980;Berlin etc.: Spriger-Verlag, 1981.-P. 57−65.

45. Kusraev A.G. and Kutateladze S.S. Nonstandard methods for Kan-torovich spaces // Siberian Adv. Math.— 1992.— V.2, No. 2. — P. 114 152.

46. Luxemburg W.A.J, and Zaanen A.C. Riesz Spaces. Vol 1.— Amsterdam and London: North-Holland, 1971.— 514 pp.

47. Luxemburg W. A. J. A general theory of monads // Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability.— New York: Holt, Rinehart and Minston.— P. 18−86.

48. Nelson E. Internal set theory. A new approach to nonstandard analysis // Bull. Amer. Math. Soc.-1977.-V. 83Д*6.-Р.1165−1198.

49. Nelson E. The syntax of nonstandard analysis // Ann. Pure Appl. Logic.- 1998. V. 38Д'2. P. 123−134.

50. Ogasawara T. Theory of vector lattices //J. Sci. Hirosima Univ., Ser. A. 1942; Vol. 12 P. 37−100.

51. Ozawa M. A Boolean valued interpretation of Hilbert space theory // J. Math. Soc. Japan 1983. V. 35, No. 4. — P. 609−627.

52. Ozawa M. A classification of type I AW-algebras and Boolean valued analysis // J. Math. Soc. Japan 1984. V. 36, No. 4. — P. 141−148.

53. Robinson A. Non-Standard Analysis, Proc. Koninkl. ned. akad. wet. A, 1961, — V. 64, P. 432−440.

54. Robinson A. Non-Standard Analysis.— Princeton: Princeton University Press, 1966.

55. Rosser J. B. Simplified independence proofs: Boolean valued models of set theory. —New York: Academic, 1969— 217 pp.

56. Schaefer H.H. Banach Lattices and Positive Operators.— Berlin etc.: Springer-Verlag, 1974.

57. Schwarz H.-U. Banach Lattices and Operators.— Leipzing: Teubner, 1984. -208 pp.

58. Stone M.H. Application of theory of Boolean rings to general topology// Trans. Amer. Math. Soc. 1937 Vol. 41- P. 309−375.

59. Solovay R.M. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable // Ann. Math — 1970 — V. 92, № 2. — P. 1−56.

60. Takeuti G. and Zaring W.M. Axiomatic set theory.— New York: Springer-Verlag, 1973 238 pp.