Качественные свойства решений уравнений волновых движений двухслойной жидкости

Исследования нелинейных краевых задач для уравнений внутренних волн в стратифицированной жидкости активно ведутся в России и за рубежом. Интерес к этим задачам обусловлен как их многочисленными приложениями и нетривиальными физическими эффектами, так и своеобразием возникающих уравнений, содержательных с математической точки зрения. В случае неоднородной жидкости даже для классических моделей гидродинамики существуют такие области значений параметров, которые дают качественно новую картину волновых движений. Так, на границе раздела двух жидкостей разных плотностей могут распространяться как уединенные волны повышения уровня, наблюдаемые и в случае поверхностных волн, так и волны понижения, невозможные на свободной поверхности однородной жидкости. Кроме того, существуют внутренние волны в виде плавного бора, не имеющие аналогов в случае однородной жидкости.

Классификация возможных типов решений, описывающих стационарные волны в двухслойной жидкости под крышкой, дана в [26], гл. 1, в рамках модели второго приближения теории мелкой воды. Теорема существования периодических решений, аналогичных поверхностным волнам А. И. Некрасова [21], установлена Н. Е. Кочиным [4]. Существование решений типа уединенной волны и плавного бора на границе раздела двух жидкостей в точной постановке доказано в [30, 31, 32, 35, 36, 48, 51].

В диссертации исследуется вопрос о структуре множества решений и их асимптотике вблизи критических значений чисел Фруда, возникший в связи с исследованиями Ч. Амика и Р. Тернера [31]. В этой работе с помощью топологических методов изучалось поведение в целом ветви решений типа уединенных волн. Как оказалось, предельные формы внутренних стационарных волн существенно отличаются от заостренных поверхностных волн Стокса с углом при вершине 120°. Авторами было высказано предположение, что в пространстве параметров существуют предельные точки, вблизи которых либо неограниченно возрастает площадь (масса жидкости) между профилем волны и невозмущенным уровнем границы раздела слоев, либо на профиле появляется точка с вертикальной касательной.

В диссертации с помощью принципа сжимающих отображений доказывается теорема существования семейства точных решений типа уединенных волн, дающая основу для конструктивного описания первого из упомянутых типов предельного поведения. Неограниченное увеличение массы вовлекаемой в движение жидкости имеет место для широких уединенных волн с уплощенными вершинами, передний и задний фронты которых в пределе трансформируются в плавный бор. Данное семейство интересно тем, что при любой фиксированной амплитуде волны не возникает ограничений на ее характерную длину. Эффект уплощения гребней таких уединенных волн обнаруживается уже при малых амплитудах вблизи точки бифуркации основного безволнового режима.

В работе исследуется также вопрос об асимптотике по малому параметру для решения задачи о неустановившихся волнах в двухслойной жидкости под крышкой. На основе доказываемого здесь аналога теоремы Коши — Ковалевской для задачи в точной нелинейной постановке анализируется предельный переход к уравнениям второго приближения мелкой воды.

Далее дается краткий обзор содержания диссертационной работы. Первая глава является вводной, в ней приводится постановка задачи о стационарных внутренних волнах и дается сводка известных результатов по данной тематике. Кроме того, вводятся функциональные классы, в которых ищется решение как стационарной (глава 2), так и нестационарной задачи (глава 3), и описываются свойства функций из данных классов.

Во второй главе рассматривается задача об уединенных волнах в двухслойной жидкости. В § 4 вводится аналитическая параметризация сверхкритической области в плоскости чисел Фруда, позволяющая описать характер особенности в семействе решений типа уединенных волн вблизи точек бифуркации тривиального решения. Такая параметризация является естественной для данной задачи, поскольку в качестве одного из уравнений в замене переменных используется дисперсионное соотношение — аналог соотношения Стокса для уединенных поверхностных волн.

В § 5 строится и анализируется приближенное решение данной задачи. Для его построения в исходную систему уравнений Эйлера и граничных условий вводится малый параметр ?, характеризующий поведение волны на бесконечности. Решение ищется в виде асимптотического ряда по его степеням. При этом коэффициенты разложений зависят от дополняющего параметра, связанного с числами Фруда основного течения. Рассматриваемый ряд возмущений дает равномерное асимптотическое приближение для уединенных волн с уплощенными вершинами (типа плато). Информация, полученная из анализа двух первых членов ряда возмущений, является существенной. Главный член асимптотики, используемый в качестве приближенного решения, описывает ответвление от безволнового режима в граничной точке непрерывного спектра. Анализ этого приближения дает простые приближенные формулы, связывающие скорость волны с ее геометрическими характеристиками. Процедура вывода уравнений для второго члена ряда возмущений помогает построить и изучить свойства оператора, неподвижная точка которого дает точное решение исходной задачи.

Теорема существования (§ 6) решения нелинейной задачи доказывается в пространстве четных по х аналитических функций, экспоненциально убывающих на бесконечности. При этом сначала обращается оператор, линеаризованный на построенном приближенном решении. Однако возникающий в результате этого обращения оператор не является сжимающим из-за присутствия в нем квадратичного слагаемого, не содержащего малого параметра. Наличие этого немалого оператора характерно именно для окрестностей чисел Фруда, соответствующих вырождению уединенных волн в плавный бор. Как оказывается, сжатием является квадрат этого оператора в силу его специальной структуры, что позволяет применить принцип неподвижной точки.

В третьей главе рассматривается задача о неустановившихся внутренних волнах в двухслойной жидкости под крышкой. На основе абстрактной формы теоремы Копш — Ковалевской здесь дается оценка точности второго приближения теории мелкой воды. Этот результат устанавливается с помощью техники шкал банаховых пространств аналитических функций. Корректность задачи Коши — Пуассона в точной постановке изучалась В. И. Налимовым в работах [18, 19] в классе аналитических функций и в пространствах Соболева. Л. В. Овсянниковым в [23, 24] обоснован предельный переход к уравнениям теории мелкой воды в случаях периодических и затухающих волн. В [7] дано обоснование приближения мелкой воды для двухслойной жидкости со свободной верхней границей. Эти результаты систематизированы в монографии [26], где можно найти более подробный список литературы по данному вопросу. В [8] получена оценка точности второго длинноволнового приближения для задачи о волнах на поверхности однородной жидкости.

Целью третьей главы диссертации является получение оценки разности точного и приближенного решений для уравнений второго приближения теории двухслойной мелкой воды под крышкой. Эта задача решается в результате получения оценок нелокального оператора «нормальная производная», который аналитически реализуется как решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Ввиду большого количества выкладок некоторые доказательства этой части работы приведены в Приложении.

Основными результатами диссертации являются:

1. Построено равномерное асимптотическое разложение для решения задачи об уединенных волнах в двухслойной жидкости, в пределе вырождающихся в плавный бор.

2. Доказана теорема существования двухпараметрического семейства точных решений уравнений Эйлера, описывающих уединенные внутренние волны с уплощенными вершинами (типа плато).

3. В классе аналитических функций доказана теорема существования и единственности в задаче о нестационарных волнах в двухслойной жидкости. Показано, что разность между точным решением и решением уравнений второго приближения теории двухслойной мелкой воды имеет четвертый порядок по малому параметру — отношению средней глубины жидкости к характерной длине волны.

Результаты диссертации докладывались на Школе по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости (Москва, 1988 г.), на III семинаре СНГ по Акустике неоднородных сред (Новосибирск, 1994 г.), на Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998 г.), на VI Международной конференции «Численные методы в задачах волновой гидродинамики» (Новосибирск, 1998 г.), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999 г.), на 31 школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2000 г.), на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2000 г), на семинаре теоретического отдела Института гидродинамики СО РАН под руководством академика Л. В. Овсянникова, на семинаре кафедры гидродинамики НГУ под руководством профессора В. М. Тешукова.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11]—[14], [16], и в тезисах конференций [15, 17, 49].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Н. И. Макаренко за постановку задач и ценные советы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (проекты N 00−01−850, 00−01−911), Интеграционного проекта СО РАН N 1 «Математическое моделирование течений неоднородной жидкости и их взаимодействие с деформируемыми структурами», Совета поддержки ведущих научных школ (проект N 00−1 596 163) и Молодежного гранта СО РАН.

1. Андреев В. К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. 1992.

2. Гаврилов Н. В. Неподвижные в лабораторной системе координат внутренние уединенные волны и плавные боры//ПМТФ, 1994, N 1, с.29−33.

3. Козлова Ж. Л. Неустановившиеся длинные волны в двухслойной жид-кости//Труды XXV Всесоюзной студенческой конференции, Новосибирск, НГУ, 1987, с.43−45.

4. Кочин Н. Е. Точное определение установившихся волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей. Собр. соч., т.2, M.-JL: Изд. АН СССР, 1949, с.43−75.

5. Лаврентьев М. А. До теори дових хвшь// 36. Прац. 1нст. Матем. АН УССР, 1946, N 8, с. 13−63.

6. Лаврентьев М. А. К теории длинных волн. Избранные труды. М., Наука, 1990, с. 524−570.

7. Макаренко Н. И. К теории двухслойной мелкой воды// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1981, вып. 50, с.121−134.

8. Макаренко Н. И. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1986, вып. 77, с. 56−72.

9. Макаренко Н. И. Асимптотика несимметричных внутренних волн// Вычислительные технологии, Новосибирск, 1993, т. 2, N 4, с. 22−29.

10. Макаренко Н. И. Сопряженные течения и плавные боры в слабострати-фицированной жидкости//ПМТФ, 1999, т. 40, N 2, с. 69−78.

11. Мальцева Ж. Л. Неустановившиеся длинные волны в двухслойной жидкости//Динамика сплошной среды, 1989, вып. 93−94, с.96−110.

12. Мальцева Ж. Л. Об одном типе уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости//ПМТФ, 1999, т. 40, N 5, с. 55−61.

13. Мальцева Ж. Л. Об уединенных волнах в двухслойной жидкости //Динамика сплошной среды, 1999, вып. 114, с. 47−50.

14. Мальцева Ж. Л. Об асимптотических свойствах уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости// Вычислительные технологии, 2000, т. 5. N 1, с. 85−92.

15. Мальцева Ж. Л. Стационарные внутренние волны в двухслойной жидкости/ /Мат. модели и методы их исследования, Тезисы международной конференции, Красноярск, 1999, с. 230.

16. Мальцева Ж. Л. Эффект уплощения уединенных волн в двухслойной жидкости. Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 31 Региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 2000, с. 5354.

17. Мальцева Ж. Л. О волнах специального вида на границе раздела двухслойной жидкости. Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики. VI Всероссийская конференция молодых ученых. Новосибирск, 2000, с. 84−85.

18. Налимов В. И. Априорные оценки решений эллиптических уравнений в классе аналитических функций и их приложение к задаче Копш-Пуассона// Докл. АН СССР, 1969, т. 189, N 1, с. 45−49.

19. Налимов В. И. Задача Копш-Пуассона//Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1974, вып. 18, с. 104−210.

20. Налимов В. И. Сверхкритические течения из-под щита // ПМТФ. 1989. N 2. С. 77−80.

21. Некрасов А. И. О волнах установившегося вида//Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та, 1921, N 3, с. 52−65.

22. Овсянников JI.B. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств// Докл. АН СССР, 1971, т. 200, N 4, с.789−792.

23. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1973, вып. 15, с. 104−125.

24. Овсянников Л. В. Обоснование теории мелкой воды. — В кн.: Труды Всесоюз. конф. по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 185−188.

25. Овсянников Л. В. Модели двухслойной мелкой воды//ПМТФ, 1979, N 2, с. 3−14.

26. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. — Новосибирск: Наука, 1985, 320 с.

27. Плотников П. И. Некорректность нелинейной задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора // Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. 1980. Т. 96. С. 240−296.

28. Стокер Дою. Дж. Волны на воде. — М.- ИЛ, 1959, 617 с.

29. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980, 496 с.

30. Хабахпашева Т. И. Уединенные волны в двухслойной жидкости// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1985, вып. 69, с. 96−122.

31. Amick C.J., Turner R.E.L. A global theory of internal solitary waves in two-fluid systems. Trans. Amer. Math. Soc., 1986, v. 298, N 2, p. 431−484.

32. Amick C.J., Turner R.E.L. Small internal waves in two-fluid systems. Arch. Rat. Mech. Anal., 1989, v. 108, p. 1111−139.

33. Beale J. T. The existence of solitary water waves. Comm. Pure Appl. Math., 1977, v. 30, p. 373−389.

34. Benjamin T.B. A unifed theory of conjugate flows. Philos. Trans. Roy. Soc. London A, 1971, v. 269, p. 587−643.

35. Bona J.L., Sachs R.L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit. Geophys. Astriphys. Fluid Dyn. 1989, v. 48, p. 25−51.

36. Craig W., Sternberg P. Symmetry of the free-surface flows. Arch. Rat. Mech. Anal., 1992, v. 118, N 1, p. 1−36.

37. Evans W.A.B., Ford M.J. An integral equation approach to internal (2-layer) solitary waves. Phys. Fluids, 1996, v. 8, JN 8, p. 2032;2047.

38. Friedrichs K. 0. On the derivation of the shallow water theory. Comm. Pure Appl. Math., 1948, v. 1, p. 81−85.

39. Friedrichs K.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves. Comm. Pure Appl. Math., 1954, v. 7, p. 517−550.

40. Fanakoshi M. Long internal waves in a two-layer fluid. J. Phys. Soc. Japan, 1985, v. 54, N 7, p. 2470−2476.

41. Funakoshi M., Oikawa M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid. J. Phys. Soc. Japan, 1986, v. 55, N 1, p. 128−144.

42. Grimshaw R.H.L., Pullin D.I. Extreme interfacial waves. Phys. of Fluids, 1986, v. 29, N 9, p. 2802−2807.

43. Holyer J.Y. Large amplitude progressive interfacial waves. J. Fluid Mech, 1979, v. 93, N 3, p. 433−448.

44. Iguchi Т., Tanaka Т., Tani A On the two-phase free boundary problem for two-dimensional water waves. Math. Ann., 1997, v. 309, p. 199−223.

45. Kirchgassner K. Wave-solutions of reversible systems and applications. J. Diff. Eq., 1982, v. 45, p. 113−127.

46. Long R.R. Solitary waves in oneand two-fluid systems.- Tellus, 1956, v. 8, N 4, p. 460−471.

47. Longiet-Higgins M.S., Fox M.J. Theory of the almost-highest wave. Part II. Matching and analytic extension. J. Fluid Mech., 1978, v. 85, N 4, p. 769 786.

48. Makarenko N.I. Smooth bore in a two-layer fluid. Intern. Ser. of Numerical Math., Birkhauser Verlag, Basel, 1992, v. 106, p. 195−204.

49. Maltseva J.L. On asymptotic properties of solutions to the equations of motion of a two-layer fluid //Nonlinear partial differential equations/ Book of abstracts, Lviv, 1999, p. 135.

50. Meiron D.I., Saffman P.G. Overhanding interfacial gravity waves of large amplitude. J. Fluid Mech., 1983, v. 129, p. 213−218.

51. Mielke A. Homoclinic and heteroclinic solutions in two-phase flow. Adv. Series in Nonlinear Dynamics, 1995, v. 7. Proc. IUTAM/ISIMM Symposium on Structure and Dynamics of Nonlinear Waves in Fluids, World Scientific, p. 353−362.

52. Mine R.M., Pennel S.A. Internal solitary waves in a two-fluid system. Phys. of Fluids, Ser. A, 1989, N 1, p. 986−991.

53. Saffman P.G., Yuen H.C. Finite-amplitude interfacial waves in the presence of a current. J. Fluid Mech., 1982, v. 123, p. 459−476.

54. Ter-Krikorov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaires dans un liquide heterogene. J. Mecanique, 1963, v. 2, p. 351−376.

55. Toland J.F. On the existence of a wave of greatest height and Stokes’s conjecture. Proc. Roy. Soc. Lond., 1978, A 363, p. 469−485.

56. Turner R.E.L., Vanden-Broeck J.-M. Broadening of interfacial solitary waves. Phys. Fluids, 1988, v. 31, N 9, p. 2486−2490.

57. Turner R.E.L., Vanden-Broeck J.-M. Limiting configuration of interfacial solitary waves. Phys. Fluids, 1986, v. 29, N 2, p. 372−375.