Основные принципы программирования в рамках MathCAD

• Введение
• I. Вычисление пределов
• II. Вычисление суммы ряда
• III. Работа с матрицами
• IV. Построение трехмерного графика
• V. Решение систем нелинейных уравнений
• VI. Решение интегралов
• Заключение
• Список литературы

Mathcad применяется для выполнения, документирования и совместного использования вычислений и инженерных расчетов. Mathcad позволяет объединить инженерно-ориентированные математические записи, форматированные тексты, графики и изображения в единый документ, что облегчает визуализацию, проверку и документирование знаний и совместное выполнение работы. При вводе уравнений в документ результаты рассчитываются автоматически. Mathcad отличается надежностью и обладает всеми функциональными возможностями, необходимыми для вычислений, обработки данных и инженерных расчетов.

Mathcad позволяет брать производные, рассчитывать корни уравнений, анализировать данные, решать системы уравнений и обыкновенные дифференциальные уравнения. При изменении любого числа, переменной или уравнения выполняется мгновенный перерасчет всех данных в документе.

С помощью Mathcad можно легко выполнять преобразование единиц измерения из одной системы в другую. Mathcad помогает находить ошибки, сделанные в единицах измерения, используемых в вычислениях. Единицы измерения поддерживаются в функциях, графиках и массивах.

Общение с пользователем системы Mathcad осуществляется при помощи математического и визуального ориентированного входного языка общения с системой. Большинство операторов и функций входного языка знакомо пользователю по курсу математики. Благодаря этому большая часть расчётов в системе Mathcad не требует программирования в общепринятом смысле этого слова. Долгое время математические компьютерные программы (Eureka, Mercury, ранние версии MathCAD и MatLab) развивались как системы для численных расчетов. Однако в начале 90-х годов XX века быстрое развитие получили системы символьной математики (MathCAD, Maple, MatLab и др.). Им стали доступны такие интеллектуальные виды аналитических (символьных) вычислений, как нахождение пределов функций и их производных, вычисление определенных и неопределенных интегралов, разложение функций в ряд, подстановки, комбинирование и т. д. Результаты символьных вычислений представляются в аналитическом виде, т. е. в виде формул. Для выполнения символьных расчетов в MathCAD используется меню символьных вычислений «Символьные операции» или палитра «Символьные вычисления» (рис. 1).

Рис. 1 Меню символьных вычислений «Символьные операции «и палитра «Символьные вычисления»

mathcad программная система уравнение

I. Вычисление пределов

Цель работы.

1. Научиться вычислять пределы в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом решения вычисления пределов.

Задание.

1. Изучить оператор предела.

2. Вычислить в MathCAD пределы.

Оператор предела

Оператор предела содержит четыре местозаполнителя.

1. Слева от стрелки — ограничивающая переменная (переменная, по которой вычисляется предел)

2. Справа от стрелки — ограничивающее значение (значение, к которому стремится переменная)

3. Сторона предела:

Правая (+)

Левая (-)

Двусторонний (пусто)

Чтобы использовать операторы, вычисляющие пределы, необходимо:

1. Щелкнуть на кнопке с изображением интеграла и производной, находящейся на математической палитре. В открывшейся дополнительной инструментальной панели выбрать оператор вычисления предела. Те же операторы можно вызвать, используя клавиатурные сокращения — «горячие клавиши»: [Ctrl] + [L], [Ctrl] + [B] или [Ctrl] + [A]. Mathcad отобразит соответствующую активную область:, или

2. Ввести выражение функции в поле ввода справа от знака предела.

3. Ввести переменную, по которой вычисляется предел, в левое поле ниже символа предела.

4. Ввести предельное значение переменной в правое поле ввода ниже lim.

5. Заключить все выражение в выделяющую рамку, нажав клавишу [Пробел].

6. Нажать [Shift] + [F9].

Mathcad возвратит значение предела (конечное или бесконечное), если предел существует.

Решение данного задания на вычисление пределов проиллюстрировано на рис 2.

Рис. 2. Вычисление пределов.

II. Вычисление суммы ряда

Цель работы.

1. Научиться вычислять суммы ряда в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом решения вычисления суммы ряда.

Задание.

1. Изучить оператор суммы.

2. Вычислить в MathCAD суммы ряда.

Оператор суммы

Операнды

v — вектор.

i — имя переменной-диапазона.

j — имя локальной переменной-диапазона.

X — выражение, которое обычно содержит i или j и принимает действительное значение.

m, n — вещественные числа. n > m.

Дополнительные сведения В зависимости от типа суммирования, которое требуется произвести, заполните или оставьте незаполненными нижний и верхний местозаполнители оператора суммы.

При определении переменной-диапазона внутри оператора суммы введите знак равенства после имени локальной переменной-диапазона или вставьте локальный оператор диапазона с помощью ленты.

Решение данного задания на вычисление суммы ряда проиллюстрировано на рис.3

Рис. 3. Вычисление суммы ряда.

III. Работа с матрицами

Цель работы.

1. Научиться производить вычислительные действия с матрицами в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом работы с матрицами.

Задание.

1. Изучить матричный оператор.

2. Провести транспонирование и обращение произвольной матрицы, найти ее определитель в MathCAD.

Матричный оператор

Векторы и матрицы часто называют общим термином «массивы». Вектор представляет собой массив из одной строки и n столбцов (вектор-строка) или из одного столбца и n строк (вектор-столбец), а матрица — это массив из m строк и n столбцов.

В отличие от обычных переменных, содержащих одно значение, массивы содержат множество значений.

Матрица создается с помощью диалогового окна «Вставить матрицу» , которое открывают командой Вставка > Матрица (Insert > Matrix) или первой кнопкой на панели «Матрица». Вектор задается как матрица, имеющая один столбец. В диалоговом окне задается число строк и столбцов, а после вставки на рабочий лист матрица содержит вместо элементов заполнители, вместо которых следует вставить число, переменную или выражение.

В пункте Матрица объединены символьные вычисления с матрицами:

1. Transpose (Транспонирование)

2. Invert (Обращение) — вычисление обратной матрицы

3. Determinant (Определитель) — вычисление определителя квадратной матрицы.

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности m*n в матрицу размерности n*m, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами.

Вычисление транспонированной матрицы осуществляется с помощью символьных вычислений Matrix>Transpose. Обратная матрица. Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная. Поиск обратной матрицы осуществляется с помощью символьных вычислений Matrix>Invert. Определитель квадратной матрицы — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы. Вычисление определителя осуществляется с помощью символьных вычислений Matrix>Determinant.

Решение данного задания — транспонирование, обращение матрицы и нахождение ее определителя проиллюстрировано на рис. 4.

Рис. 4. Действия с матрицами.

IV. Построение трехмерного графика

Цель работы.

1. Научиться строить трехмерные графики в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом построения графиков в MathCAD.

Задание.

1. Изучить методические указания по выполнению работы.

2. Построить трехмерный график в MathCAD.

Методические указания

Если вам надо построить 3-d график, то MathCAD предоставляет возможность быстрого построения подобных графиков. Для этого достаточно определить функцию f (x, y) и выполнить команду Insert->Graph->Surface Plot или нажать соответствующую кнопку наборной панели Graph (сочетание клавиш [Ctrl+3]). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. MathCAD автоматически построит график поверхности.

Можно строить графики для следующих типов кривых:

поверхности, узлы которых соединены в сетку;

кривые, подобные 2D-графикам, но отображенные в трехмерном пространстве;

разбросанные данные, отображаемые отдельными точками.

С помощью форматирования стиля графика можно переключиться с отображения поверхности или кривой на отображение разбросанных данных.

В MathCAD входные данные для построения графиков принимают следующий вид:

· функция, принимающая значения в виде векторов, для одного или двух параметров с тремя элементами, определяющими координаты x, y, z;

· функция двух переменных;

· матрица с 3 столбцами, содержащими координаты x, y, z;

· матрица m*n, в которой индексы ячейки представляют координаты x, y, а значение ячейки представляет координаты z;

· вектор из трёх векторов, представляющих координаты x, y, z и являющихся выходными данными функции CreateMesh;

· вектор из трёх векторов, представляющих координаты x, y, z и являющихся выходными данными функции CreateSpace;

Решение данного задания на построение трёхмерного графика проиллюстрировано на рис 5.

Рис. 5. Построение трехмерного графика.

V. Решение систем нелинейных уравнений

Цель работы.

1. Научиться решать системы нелинейных уравнений в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом решения систем уравнений.

Задание.

1. Изучить методические указания по выполнению работы.

2. Решить системы нелинейных уравнений в MathCAD.

Методические указания

Огромное количество задач вычислительной математики связано с решением нелинейных алгебраических уравнений, а также систем таких уравнений. MathCAD обладает уникальной способностью решать такие системы уравнений.

Как правило, отыскание корней численными методами связано с несколькими задачами:

· исследование существования корней в принципе, определение их количества и примерного расположения;

· отыскание корней с заданной погрешностью tol.

Mathcad предлагает несколько встроенных функций, которые следует применять в зависимости от специфики уравнения, т. е. свойств f (x). Для решения одного уравнения с одним неизвестным служит функция root, реализующая метод секущих; для решения системы — вычислительный блок Given/Find, сочетающий различные градиентные методы.

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

· Given — ключевое слово;

· система, записанная логическими операторами в виде равенств и, возможно, неравенств;

· Find (x₁,., х_м) — встроенная функция для решения системы относительно переменных x₁,., х_м.

Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью инструментов Булевы операторы. Блок Given/Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому, требуется задать начальные значения для всех x₁,., хм. Сделать это необходимо до ключевого Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения и каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно числу аргументов Find.

Решение данной системы нелинейных уравнений проиллюстрировано на рис. 6.

Рис. 6. Решение систем нелинейный уравнений.

VI. Решение интегралов

Цель работы.

1. Научиться решать интегралы в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом решения интегралов.

Задание.

1. Изучить интегральный оператор.

2. Решить интегралы в MathCAD.

Интегральный оператор.

Для вычисления неопределённого интеграла на панели Матанализ используется оператор Неопределённый интеграл, значок которого полностью соответствует применяемому значку интеграла в математике.

При нажатии на этот значок на рабочем столе системы Mathcad появится шаблон, который необходимо будет заполнить для вычисления неопределённого интеграла функции.

Операнды:

· f является любой скалярной функцией, определенной в замкнутом интервале [a, b]. Эта функция может быть комплексной за исключением случая интегрирования с бесконечным пределом. Эта функция может иметь любое количество переменных.

· x является переменной интегрирования.

· a, b являются вещественными скалярами. Они должны иметь единицы измерения, сравнимые с x.

Дополнительные сведения Можно создать многократный интеграл, вставив интегральный оператор несколько раз.

Подынтегральные выражения с острым максимумом или подынтегральные выражения с формой, не характеризующейся полностью одним масштабом длин, могут вычисляться неточно. Такие функции можно интегрировать по частям.

Решение данных интегралов проиллюстрировано на рис. 7.

Рис. 7. Решение интегралов.

Заключение

В ходе проделанной работы были приобретены практические навыки по работе с программой MathCAD. Было установлено, что MathCAD является несложной программой пользователя, для решения достаточно сложных и трудоемких задач.

Основные принципы программирования в рамках MathCAD представляют собой достаточно простую структуру. Для начала работы программы необходимо задать определенный контент и несколько переменных. Затем потребуется определить аналитическое выражение, которое должно основываться в свою очередь на контенте. MathCAD находит численное значение формулы. Подобное программное средство осуществляет при этом построение изображения, для того чтобы можно было увидеть результаты сложных вычислений в виде графического рисунка. В процессе работы с MathCAD необходимо учитывать тот факт, что данная программа является восприимчивой к меняющимся условиям, а именно «х» и «Х» в рамках данного компьютерного средства понимаются как разные переменные.

Таким образом, навыки приобретенные в ходе практики позволят студенту проверять правильность своего решения путем, обращения к программе MathCAD.

1. Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по курсу Математика / I курс. М.: МИЭЭ, 2007.6с.

2. Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по курсу Математика / II курс. М.: МИЭЭ, 2009.16с.

3. Дьяконов В. П. Справочник по MathCad PLUS 7.0 PRO. М.: СК ПРЕСС, 1998.