Реконструкция поверхностей геометрических моделей, представленных дискретным множеством цифровых данных

Актуальность исследования.

Современные достижения в области измерительной технологии, например, такие как лазерное сканирование, предоставляют возможность цифрового описания исследуемых объектов с достаточно высокой степенью точности. Это обстоятельство обусловило значительное повышение спроса на создание математических моделей, сгенерированных по данным, полученным в результате измерений, в таких областях как медицина, геология, археология, компьютерная графика и автоматизированное проектирование. При оцифровке поверхности бесконтактные сенсоры с высоким разрешением позволяют получить свыше 100 000−500 000 исходных точек. Представление той же поверхности параметрической математической моделью гораздо более экономичное, так как требует всего 50−500 параметров. Кроме того, параметрическое представление дает возможность простого редактирования формы поверхности путем изменения небольшого количества параметров, таких как управляющие точки, узловые вектора или весовые коэффициенты. Построение математического описания формы физических поверхностей является сравнительно новой областью исследования под названием реконструкция поверхности. Процесс преобразования дискретных оцифрованных точек в гладкую поверхностную модель представляет собой главную составляющую часть инженерного анализа — RE (Reverse Engineering). В области моделирования поверхностей за последние 30 лет создано множество методов, начиная от классических методов аналитической и дифференциальной геометрии, кончая современными методами сплайновой геометрии [72],[73],[126],[127]. Однако в инженерном анализе задача прямой генерации геометрической модели из дискретных оцифрованных точек по-прежнему не решена полностью, поскольку в процессе реконструкции поверхностной модели невозможно минимизировать численную ошибку, одновременно повысив гладкость поверхности [80],[89],[92].

Существует два основных подхода к реконструкции поверхности по облаку точек, представляющему модель объекта, — интерполяция и аппроксимация [99],[101],[106]. Интерполяционный тип подгонки поверхности использует каждую точку исходных данных в реконструируемой поверхности, тогда как при аппроксимации поверхности отыскивается наилучшая подгонка гладкой поверхностью к оцифрованным данным с минимальным отклонением. Для минимизации численной ошибки с одновременным повышением гладкости поверхности в процессе моделирования широко используется среднеквадратичная аппроксимация.

Таким образом, основная задача реконструкции поверхности формулируется следующим образом — необходимо найти оптимальную подгонку неизвестной поверхности так, чтобы минимизировать погрешность измерения, возникающую из-за ограничения по точности в измерительных приборах, или из-за недостаточного качества поверхности физической модели.

Поставленная задача требует своего кардинального разрешения в таких прикладных областях как подгонка поверхностей корпусов судов и кузовов автомобилей к набору дискретных точекреконструкция геологической, геодезической и т. д. поверхности, полученной в результате лазерного сканированияреконструкция поверхности сложной формы по сечениям, полученным в результате компьютерной томографии, магнитно-резонансного или ультразвукового сканирования. Решение перечисленных задач является в настоящее время актуальным, так как большинство существующих систем реконструкции поверхностей не являются совершенными и не всегда доступными.

Объектом исследования является оптимальная реконструкция поверхности по облаку дискретных оцифрованных точек с использованием NURBS-аппроксимации и интерполяции. В геометрическом моделировании реконструкция поверхностей является эффективным инструментом для преобразования физических объектов в математическое представление для последующих исследований и компьютерной доработки. Использование для этих целей NURBS обусловлено тем, что они приводят к классу наиболее гибких дискретных методов интерполяции и аппроксимации.

Цель исследования состоит в создании эффективного математического аппарата, предназначенного для решения проблем геометрического моделирования, возникающих при реконструкции поверхностей по облаку дискретных точек, в частности: на основе обобщения теоретических основ реконструкции поверхностей по облаку дискретных точек разработать двух шаговый алгоритм аппроксимации и интерполяции поверхности для случая положительных NURBS весовых коэффициентов, в частности, разработать полный набор алгоритмов для реконструкции поверхности сложной формы по набору пространственных сечений произвольной формыразработать компьютерные процедуры, реализующие указанные методы реконструкции поверхности, для различных задач геометрического моделированиядоказать эффективность разработанного компьютерного инструментария для решения практических задач геометрического моделирования.

В соответствии с целью исследования решались следующие задачи:

1. Обосновать возможность достижения положительной интерполяции и наилучшей положительной подгонки при построении поверхности по облаку дискретных точек.

2. Сформулировать двух шаговый алгоритм для поиска положительных NURBS весовых коэффициентов для подгонки поверхности по облаку дискретных точек.

3. Показать преимущества сформулированного двух шагового алгоритма при решении выделенного класса задач по сравнении с В-сплайновой подгонкой.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

— Разработан математический аппарат для оптимальной реконструкции поверхности по облаку дискретных точек с использованием NURBS, обеспечивающий эффективное решение разнообразных задач, возникающих при моделировании поверхностей.

— Доказана применимость данного метода реконструкции поверхности и его эффективность, по сравнению с другими способами геометрического моделирования, при построение гладких поверхностей судового корпуса по дискретному набору точекпри реконструкции формы поверхности геодезических объектов по результатам лазерного сканирования.

Практическая ценность исследования заключается в разработке специализированных алгоритмов и компьютерных процедур, реализующих возможности алгоритма реконструкции поверхности, для конструирования и сглаживания поверхностей судового корпуса, построенных по дискретному набору точеквосстановления формы поверхности геодезических объектов по результатам лазерного сканирования. На базе созданных алгоритмов и компьютерных процедур разработаны специализированные системы КЗ-Ship (автоматизированное проектирование, геометрическое моделирование и модификация поверхностей и конструкций судового корпуса), КЗ, КЗ-Design (реконструкция и моделирование поверхностей произвольной формы с использованием NURBS). Системы являются законченными коммерческими программными продуктами, используемыми отечественными и зарубежными судостроительными (Польши, Норвегии и Нидерландов) и промышленными предприятиями.

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы представлялись на Международной конференция по компьютерной графике и визуализации «ГРАФИКОН-1994» (Нижний Новгород, 1994), ТРАФИКОН-2001″ (Нижний Новгород, 2001), Всероссийской конференции КОГРАФ-95 (Нижний Новгород, 1995), КОГРАФ-96 (Нижний Новгород, 1996). Разработанное программное обеспечение демонстрировалось на Международных выставках «SoftTool-2000», «SoftTool-2001», «SoftTool-2002» и «НЕВА-2001» .

На защиту выносятся следующие положения:

1. Двух шаговый алгоритм оптимальной реконструкции поверхности по облаку дискретных точек, предоставляющий принципиально новые способы моделирования и реконструкции поверхностей.

2. Применение указанного алгоритма для решения ряда задач геометрического моделирования, позволяющее достигать цели более эффективными способами. К решаемым задачам относятся: подгонка сложных поверхностей судового корпуса к дискретному набору точекформирование геодезических поверхностей по результатам лазерного сканирования.

3. Созданный компьютерный инструментарий применительно к решению практических задач, возникающих при геометрическом моделировании. 0 Ф.

ВЫВОДЫ.

1. Двухшаговый алгоритм оптимальной NURBS-подгонки является эффективным алгоритмом одинаково хорошо позволяющим реконструировать поверхности как по регулярной сетке данных, так и по дискретному набору произвольно расположенных точек.

2. Оптимальная ЖЖВБ-подгонка позволяет реконструировать геодезическую поверхность с минимальными отклонениями от заданных реперных точек, что позволяет создать качественную документацию для последующих строительных работ.

3. Реконструкция поверхности судового корпуса по набору дискретных точек является сложной проблемой, до настоящего времени не имеющая своего полного решения.

4. Подход, основанный на использовании В-сплайнов, имеет тенденцию давать переопределенную модель поверхности, которая содержит осцилляции, трудно удаляемые даже вручную.

5. Поверхность судового корпуса, реконструированная ГШИВБ-подгонкой точек теоретической поверхности с учетом имеющихся особенностей топологии, удовлетворяет самым высоким требованиям, предъявляемым к качеству судовых поверхностей.

6. Оптимальная МиИВЗ-подгонка является наиболее продуктивным подходом к реконструкции судовых поверхностей, поскольку позволяет получить гладкую поверхность, которая, при необходимости, может быть легко отредактирована проектировщиком вручную. Данный подход апробирован в процессе практических работ по заданиям отечественных и зарубежных заказчиков-судостроителей и может быть внедрен в практику проектирования судостроительных организаций.