Теоретико-игровые модели формирования коалиционных структур

В настоящей работе изучается проблема формирования коалиций в большой неоднородной популяции индивидов, каждый из которых описывается своей идеальной точкой в некотором множестве. Вся популяция характеризуется распределением на множестве идеальных точек. В общем случае это множество является подмножеством тг-мерного Евклидового пространства. Каждое измерение соответствует некоторой альтернативе или положению в пространстве. Например, в применении к политической конкуренции, одно из измерений может соответствовать социальной политике, другое — международной политике, третье — вопросам защиты окружающей среды и т. д. Предполагается, что та или иная альтернатива представляет собой вещественное число (например, бюджетные расходы на те или иные направления, ставка налога, допустимый уровень загрязнения или же вероятности, с которыми агенты склоняются к одной из двух альтернатив, соответствующих концам отрезка [0,1]). Таким образом, идеальная точка агента — вектор из политик по каждому вопросу. Непрерывное распределение по идеальным точкам описывает все население.

В данной работе мы предлагаем следующую теоретико-игровую модель формирования коалиций. Игроками являются индивиды из данной популяции, характеризуемые своими идеальными точками из некоторого множества X. Есть достаточно большой набор меток: «Коалиция 1», «Коалиция 2»,., «Коалиция М» (например, в случае формирования политических партий это социалисты, демократы, либералы и т. д.). Каждый из агентов выбирает метку и становится членом соответствующей коалиции, или же решает воздержаться и не вступает ни в одну из коалиций. Политика (стратегия) коалиции — точка из того же множества, положение которой определяется по некоторому фиксированному правилу в зависимости от состава коалиции (в частности, как медианная идеальная точка агентов, входящих в коалицию). Размер коалиции равен доле агентов, выбравших соответствующую метку. Таким образом, профиль стратегий агентов определяет множество непустых коалиций I, их размеры и политики. Выигрыш агента зависит от факторов: размер коалиции и расстояние от идеальной точки агента до политики коалиции. По первому параметру выигрыш возрастает, по второму — убывает.

Для данной игры мы исследуем известные теоретико-игровые понятия решения игры: равновесие Нэша (РН) и различные коалиционные равновесия и находим коалиционные структуры, соответствующие равновесному профилю стратегий.

В литературе, посвященной проблеме эндогенного формирования политических структур, существует два основных направления исследования. Одно из направлений изучает проблему формирования индивидами, расположенными на некоторой географической плоскости или линии, юрисдикций (муниципалитетов или регионов, см. [1, 2], [3], [4, 5]). Они формируют коалиции для того чтобы обеспечить себя необходимыми общественными благами: школами, больницами, библиотеками. Каждая коалиция создает центр, который включает в себя все указанные общественные институты. В литературе рассматривается несколько правил определения положения центра коалиции в зависимости от расположения ее членов: правило медианы (the median rule) рассматривается в [6, 7, 8], правила Ролса (the Rawlsian rule) используется в [9], правило среднего (the mean voter rule) подробно изучено в статье [10].

Функция выигрыша агента в этом случае представляет собой сумму двух отрицательных членов: общие издержки на постройку центра, деленные на размер коалиции, и индивидуальные транспортные издержки агента, пропорциональные расстоянию от места расположения агента до центра коалиции. Таким образом, агенты сталкиваются с выбором: либо присоединиться к большой коалиции, где удельная стоимость строительства центра на одного члена коалиции ниже, чем в относительно небольшой коалиции, но можно оказаться достаточно далеко от центра, или принять на себя более высокие издержки на строительство центра в коалиции небольшого размера, но оказаться ближе к нему. Авторы рассматривают эту модель как коалиционную игру с побочными платежами и исследуют ядро игры. В статьях [6, 7], [8] авторы изучают равновесие Нэша и различные коалиционные равновесия для схожих игр без побочных платежей и с малым количеством игроков. В данных статьях получены некоторые результаты относительно существования, единственности и поиска этих равновесий. Однако, данные модели не подходят для описания свойств равновесий в больших популяциях.

Другое направление в литературе посвящено вопросам эндогенного формирования политических партий. В статьях [11], [12], [13, 14] рассматриваются модели в предположении о непрерывном распределении идеальных точек агентов на политическом пространстве. Важное отличие данных работ от настоящей состоит в том, что в указанных работах число партий фиксировано и выигрыш агента не зависит от размера партии. Последнее является достаточно сильным ограничением, поскольку размер партии представляется достаточно существенным фактором. Также данные условия не позволяют определить количество партий в равновесии. Данные модели лучше описывают распределение избирателей по уже существующим партиям, чем процесс формирования партий.

Таким образом, следующие положения отличают базовую модель, рассматриваемую в настоящей работе от других моделей из данной области:

• отсутствие побочных платежей;

• общий вид зависимости выигрыша агентов от размера коалиции и расстояния до политики коалиции;

• некооперативные принципы решения игры.

Основные результаты диссертации состоят в следующем. Исследована модель эндогенного формирования коалиционных структур с игроками, распределенными на множестве значений характеристического параметра (идеальной точки) в трех основных модификациях: базовый случай одномерного множества значений идеальных точек, случай произвольной (конечной) размерности множества значений идеальных точек, игра с вертикальной дифференциацией игроков. Для указанных игр описаны множества равновесий Нэша, исследована устойчивость равновесий к отклонению коалиций игроков, а в игре с двумя типами игроков также проанализирована зависимость коалиционной устойчивости равновесий от соотношения численности игроков различных типов. Научная новизна полученных результатов состоит в следующем. Построена теоретико-игровая модель формирования коалиций игроками, распределенными на множестве значений идеальных точек для функции выигрыша обобщенного вида. В случае единичной размерности множества идеальных точек описаны свойства (регулярных) равновесий Нэша, а также необходимые и достаточные условия локальной устойчивости, то есть устойчивости к объединению соседних коалиций и расколу одной из существующих коалиций. В случае равномерного распределения игроков полностью описано множество регулярных равновесий Нэша: указы три возможных типа равновесий и показано, что других равновесий не существует. Показано, что два из найденных классов равновесий является заведомо неустойчивыми. Для третьего типа равновесий получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость этих равновесий. Установлены достаточные условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия, то есть коалиционной структуры, в которой невозможно образование новой коалиции, обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам. Показано, что в отличие от рассматривавшихся ранее случаев линейной или квадратичной зависимости выигрыша от расстояния до политики коалиции, в общем случае локальная устойчивость структуры не гарантирует, что данная структура является коалиционным равновесием. Сформулировано обобщение базовой модели на случай, когда множество значений параметра имеет размерность п > 2. Установлены основные свойства регулярных равновесий Нэша, а само множество равновесий описано в форме системы уравнений и неравенств. Найдены уравнения гиперповерхностей, разделяющих множества идеальных точек игроков, относящихся к различным коалициям и описаны их свойства. При определенных ограничениях показано, что регулярному равновесию соответствуют структуры, задаваемые равномерной прямоугольной решеткой на множестве значений параметра. Найдены условия, гарантирующие существование равновесия. Найдено условие устойчивости к образованию произвольной коалиции внутри существующей, а также необходимое и достаточное условие устойчивости к локальному объединению равновесий. Показано, что в отличие от одномерного случая, в игре на многомерном множестве идеальных точек из локальной устойчивости не следует устойчивость к объединению произвольного числа коалиций. Получено достаточное условие устойчивости к произвольному объединению коалиций. Описана связь между размерностью множества значений параметра, свойствами функции потерь и существованием устойчивых коалиционных структур. Описана теоретико-игровая модель с вертикальной дифференциацией игроков: все множество игроков делится на два типа игроков («конформисты» и «индивидуалисты»), различающихся характером зависимости функции выигрыша от своих параметров. Для этой игры описаны свойства регулярных равновесий Нэша, существовавших в игре с одним типом игроков. Установлены критерии локальной устойчивости этих равновесий, а также критерии эквивалентности понятий локальной устойчивости и коалиционного равновесия. Проведен анализ отличий полученных условий от их аналогов в случае однородной популяции. Также описан и исследован вид равновесных структур, не существовавший в игре с одним типом игроков. В таких структурах границы разбиения на коалиции не совпадают для разных типов игроков. Исследована зависимость множества равновесий от соотношения численностей двух типов игроков.

Заключение

.