Применение методов стохастических дифференциальных уравнений в задачах теории климата

Земная климатическая система (ЗКС) испытывала изменения на протяжении всей своей истории. Этот факт отражен в определении, данном Всемирной метеорологической организацией (ВМО), согласно которому ЗКС есть «система, состоящая из взаимодействующих физических элементов атмосферы, океана, криосферы, поверхности суши и биомассы, которые изменяются в определенных масштабах времени, представляющих для нас интерес, но превышающих время жизни индивидуальных возмущений синоптического масштаба» {Физические основы теории климата и его моделирования, 1977). Процессы, протекающие в каждой из подсистем и при взаимодействия между ними имеют различные временные масштабы. В совокупности с внутренне присущей системе хаотичностью это приводит к тому, что наблюдаемая эволюция большинства характеристик климата имеет непрерывный спектр.

Попытки построить композитный спектр колебаний в отдельных компонентах ЗКС {Mitchell, 1976; Pelletier, 1998) показали, что, по всей видимости, мы имеем дело с реализацией случайного процесса, спектр которого, содержащий отдельные пики (соответствующие годовому ходу, явлению Эль-Ниньо, ледниковым периодам и т. д.), имеет тенденцию к росту в область низких частот. Единственность реализации процесса делает невозможной постановку традиционных для физики контролируемых экспериментов над ЗКС в целом. Это обстоятельство, в совокупности с отмеченным ростом спектра от высоких частот к низким, создает трудности при попытках эмпирического описания законов климатической изменчивости.

Вместе с тем совершенствование наших знаний законов этой изменчивости необходимо в связи с усилением антропогенных выбросов парниковых газов в атмосферу {IPCC, 1996; IPCC 2001). Анализ изменения концентрации изотопов 14С (эффект Зюсса) и 13С в атмосфере показал, что наблюдаемый в XX веке рост концентрации СОг не может быть объяснен только естественными колебаниями компонент углеродного цикла {Кислое, 2001). Он является внешним для климатической системы вынуждающим воздействием, отклик на который.

— «сигнал» — необходимо рассчитывать и выделять на фоне естественных колебаний — «шума». Эти исследования проводятся в рамках ряда международных программ, в частности — программы CLIVAR (CLIVAR, 1998).

Для понимания закономерностей климатической изменчивости было создано множество моделей. Наиболее подробные модели — модели общей циркуляции (МОЦ) — содержат полный набор уравнений движения.

— законов сохранения — и в идеальном случае должны описывать все процессы, определяющие эволюцию ЗКС. Являясь «отображением» ЗКС на множество модельных динамических систем, в совокупности с эмпирическими исследованиями они позволяют проводить контролируемые численные эксперименты с разрешением синоптических процессов (Марчук и др., 1987). В настоящее время эти модели показали свою способность воспроизводить многие свойства климатической изменчивости. Они проходят регулярные сравнения в рамках международных программ AMIP и CMIP (Gates, 1998; Meehl, 2000), которые тем не менее показали, что во многих деталях их результаты еще расходятся между собой.

В дополнение к моделям общей циркуляции для исследования низкочастотной изменчивости климата, пренебрегая описанием эволюции отдельных синоптических образований, но рассматривая их статистику, была выдвинута концепция стохастических моделей климата (Hasselmann, 1976). Она базируется на привлекательной идее (Монип, 1969; Bretherton, 1982), что различные компоненты ЗКС характеризуются разными временными масштабами, так что состояние быстрых переменных может быть описано статистически, принимая во внимание, что на характерных временах изменения медленных переменных эволюция статистических моментов быстрых (средние, дисперсии и т. д.) подстраиваются к текущему состоянию медленных. Хассельманн предположил, что стохастическое воздействие неучтенных «погодных» возмущений может интегрироваться в медленных компонентах и приводить к низкочастотной изменчивости системы в целом.

Аналогом этого процесса в статистической физике служит движение тяжелой броуновской частицы в газе легких молекул. Математическая теория его описания хорошо разработана и позволяет применять в теории климатической изменчивости мощный аппарат стохастических дифференциальных уравнений и диффузионных случайных процессов (см, напр., Кляцкин, 1980, 2001, 2002; Гардинер, 1986; Arnold, 1974, 1998, 2001). В уравнениях стохастических моделей климата короткопериодные «погодные» возмущения выступают в качестве добавочных короткопериодных случайных воздействий — «белого шума», статистические характеристики которого предполагаются либо известными, либо определяемые по полуэмпирическим формулам через медленные переменные или средний климат. Сами уравнения представляют собой уравнения Ланжевена, плотность вероятностей решения которых подчиняется кинетическому уравнению (например, уравнению Фоккера-Планка). Теория дает возможность аналитического исследования зависимости свойств низкочастотной изменчивости ЗКС в зависимости от параметров моделей и параметризаций процессов. Она служит полезным инструментом для моделей общей циркуляции.

Стохастические дифференциальные уравнения применяются в рамках изложенного подхода к описанию изменчивости ЗКС несколькими способами. Исторически первый и наиболее ясный способ был применен к описанию спектра аномалий температуры верхнего квазиоднородного слоя океана (Frankignoul, 1977). Температура слоя, как мера его теплосодержания, является медленной по отношению к атмосфере переменной, стохастическое уравнение Ланжевена ее эволюции при известной из физических экспериментов температурной чувствительности контактного теплообмена и наблюдаемой интенсивности синоптических флуктуаций потока тепла через границу вода — воздух позволяет аналитически рассчитать спектр флуктуаций и сравнить его с наблюдениями. Результаты теории качественно воспроизвели поведение наблюдаемых спектров, хотя несколько занижала оценку времени корреляции флуктуаций по сравнению с эмпирической. Этот недостаток исправлен в данной работе путем аккуратного применения процедуры вывода оператора отклика.

В развитие первого успешного применения ланжевеновского подхода появился ряд работ, в которых погодные шумы добавлялись в модели эволюции различных инерционных подсистем ЗКС, таких, как ледовый покров Северного Ледовитого океана (L'Heveder, Haussais, 2001), МОЦ океана (Залесный, Мошонкии- 2002), модели сезонной океанской глубокой конвекции (Kuhlbrodt et al, 2001; Cessi, 1994). В стохастических моделях термохалинной циркуляции океана (Timmermann, Lohmann, 2000; Monahan et al, 2002; Monahan, 2002) изучалось явление стохастического переброса, впервые рассмотренное для движения жидкости вблизи порога гидродинамической неустойчивости (Кляцкин, 1974). Этот подход был успешно использован для интерпретации данных численного моделирования влагозапаса почвы (Delworth, Manabe, 9%l). Все эти работы не вызывают вопросов в части постановки задачиполученные результаты, зачастую аналитические, допускают ясную интерпретацию.

Второй способ применения стохастических моделей состоит в добавлении случайных короткопериодных источников в уравнения малопараметрических моделей климата, которые записываются для переменных ЗКС независимо от их принадлежности к быстрой или медленной подсистемам. Например, такой подход был применен в первой серии работ К. Хассельманна с сотрудниками для стохастической зональной энергобалансовой модели флуктуаций приповерхностной температуры (Lemke, 1977). Стохастические энергобалансовые модели также были применены к проблеме флуктуаций климата на временных масштабах в десятки и сотни тысяч лет, недостижимых для современных МОЦ. В частности, с использованием нуль-мерных моделей климата с нелинейной обратной связью альбедо температура были сделаны оценки вероятностей перехода к режиму полного оледенения Земли (Sutera, 1981) и опробован стохастический механизм возникновения ледниковых эпох (Nicolis С., Nicolis G. 1981). Несмотря на то, что задание основной нелинейности в рамках нуль-мерных моделей некорректно (этот недостаток преодолен в данной работе), в публикациях о возникновении ледовых эпох было теоретически открыто явление стохастического резонанса, что вызвало лавинообразный рост теоретических и экспериментальных работ в различных областях физики (см., напр., Gammaitoni et al, 1998; Benzi et al, 1983).

Этот способ применения стохастических дифференциальных уравнений аналогичен описанию малых флуктуаций в линейной неравновесной термодинамике, основанному на принципе Онзагера. Согласно этому принципу коэффициенты в уравнениях для флуктуаций термодинамических переменных относительно состояния равновесия полагаются равными таковым в детерминированных уравнениях релаксации к этому состоянию при возмущении начального состояния {Кайзер- 1998). Так как операторы уравнений для релаксации средних определяются из полуэмпирических теорий, данный способ представляет распространение метода стохастических дифференциальных уравнений на полуэмпирические модели климата (Golitsyn, 1983). При этом вычисление интенсивности случайных притоков представляет отдельную задачу.

Третий способ учета воздействия случайного возбуждения (неявный) применяется при выводе флуктуационно-диссипативных соотношений, которые связывают функцию отклика на внешнее воздействие с корреляционной функцией флуктуаций системы (Kraichnan, 1959). Применительно к теории климата использование флуктуационно-диссипативных соотношений для определения функции отклика началось совсем недавно и уже привело к обнадеживающим результатам (Дымников, 2002; Дымников, Грицун, 1999; Дианский и др., 1999).

Подобно тому, как реализация методов численного моделирования на базе моделей общей циркуляции нуждается в развитии математической теории климата (Dymnikov, Philatov, 1997), так и применение методов стохастических дифференциальных уравнений к описанию изменчивости ЗКС потребовало развития стохастической теории климата. Пионерская работа К. Хассельманна положила начало работ в этом направлении. Однако два важных момента остались не раскрытыми в первоначальной версии теории. Первый связан с тем, что временные масштабы собственной изменчивости в подсистемах «быстрой» и «медленной» могут быть разнесены не столь сильно. В статистической теории неравновесных процессов это приводит к тому, что уравнение Ланжевена заменяется на обобщенное уравнение Ланжевена, содержащее интеграл памяти — следствие конечности времени приспособления быстрой подсистемы (Mazo, 1978).

Второй принципиальный момент связан с решением проблемы, которая никогда не возникала в традиционной физической теории броуновского движения. Она заключается в том, что при описании климатической изменчивости нас в первую очередь интересуют долгопериодные флуктуации в атмосфере — быстрой подсистеме. Таким образом традиционная задача об определении флуктуаций в инерционных элементах ЗКС под действием короткопериодных атмосферных возмущений трансформируется в задачу определения долгопериодных флуктуаций атмосферных переменных при взаимодействии с низкочастотной изменчивостью в медленной подсистеме.

Для решения второй проблемы стала уже традиционной двухэтапная схема постановки численных экспериментов с моделями общей циркуляции, которая предполагает на первом этапе интегрирование МОЦ с явным описанием совместной эволюции атмосферы и медленных переменных (таких, как температура океана или влажность почвы). На втором этапе рассчитывается только атмосферная эволюция при детерминированном состоянии остальных звеньев системы. Затем результаты этапов сравниваются между собой и с данными наблюдений.

Delworth, Manabe, 1987; 1988, 1993). Для теоретического анализа данной схемы на языке стохастических дифференциальных уравнений необходимо модифицировать классическую статистическую теорию. Это оказалось возможно проделать исходя из первых принципов с использованием некоторых приближений {Демченко, 1989). В результате было введено понятие эквивалентной стохастической системы, которое позволило расширить возможности применения метода стохастических дифференциальных уравнений и возможности аналитических исследований в теории климата.

Основными целями работы является развитие теории стохастических моделей климата методами современной неравновесной статистической механики и применение теории для расчета флуктуаций в земной климатической системе. Приоритетные направления исследований: 1) построение уравнений флуктуаций климата исходя из исходных динамических уравнений совместной эволюции быстрых и медленных подсистем ЗКС и обоснование возможности использования стохастических дифференциальных уравнений для описания изменчивости как медленных переменных, например, океана, так и связанных с этой изменчивостью низкочастотных флуктуаций быстрых атмосферных переменных- 2) применение теории для исследования роли взаимодействия атмосферы и инерционных компонент ЗКС в долгопериодной изменчивости метеоэлементов- 3) применение теории для описания характеристик изменчивости отдельных компонент ЗКС.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 27 рисунков и 9 таблиц. Каждая глава разбита на разделы. Нумерация разделов двойная. В работе принята тройная нумерация формул: первая две цифры соответствуют номеру главы и раздела, третья номеру формулы в разделе. Нумерация таблиц и графиков — двойная.

В заключение резюмируем основные результаты работы и кратко сформулируем основные выводы:

1. Впервые создан и обоснован метод приведения уравнений эволюции переменных земной климатической системы к стохастическим дифференциальным уравнениям совместных флуктуаций в ее медленной (океане, почве и др.) и быстрой (атмосферной) подсистемах. Для этого современные методы статистической физики получения стохастических дифференциальных уравнений броуновского движения медленных переменных — обобщенных уравнений Ланжевена — были развиты в применении к одновременному описанию флуктуаций в быстрой атмосферной подсистеме. Полученные обобщенные соотношения Ланжевена приведены к эквивалентной стохастической системе дифференциальных уравнений. Выделены основные фрагменты правых частей эволюционных уравнений — случайные силы, связанные с собственной изменчивостью, и нелокальные в пространстве и времени функции осредненного отклика атмосферы на внешние возмущения. При выводе соотношений метода решена важная задача преодоления расходимости спектра решения для быстрых переменных в области низких частот, которая возникла при применении традиционных в задаче броуновского движения приближений к задачам расчета климатических флуктуаций. Такая проблема не возникала в традиционной теории. Построенная система стохастических дифференциальных уравнений удобна для применения аппроксимаций ее правых частей исходя из общих закономерностей термогидродинамики, данных наблюдений и данных численных экспериментов. На основе созданного метода теоретически рассчитаны спектры межгодичной изменчивости среднеглобальной температуры приповерхностного воздуха, проведено сравнение с результатами предшествующих версий стохастических моделей климата и эмпирическими оценками спектра. Показано, что усовершенствованная теория существенно приближает теоретический спектр к его оценке по данным наблюдений.

2. На стохастической модели генерации флуктуаций температуры поверхности океана впервые теоретически рассчитан спектр аномалий температуры поверхности океана с учетом нелокальности атмосферного отклика на интенсивность этих флуктуаций. Выявлена зависимость спектра флуктуаций от эффективности горизонтального атмосферного теплообмена и пространственной коррелированности синоптической изменчивости. Показано, что учет нелокальности отклика существенно улучшил теоретические оценки спектральной плотности аномалий ТПО по сравнению с более ранними теоретическими исследованиями и приблизил их к данным наблюдений. На эквивалентной стохастической системе совместных флуктуаций температур воды и воздуха выявлена зависимость предсказуемости температуры воздуха от характеристик синоптической изменчивости различных компонент теплового баланса атмосферы и океана. Введен безразмерный критерий для оценивания роли распределения между атмосферой и океаном стохастического возбуждения флуктуаций теплового балансадан анализ асимптотических режимов флуктуаций.

3. Метод стохастических дифференциальных уравнений позволил с единых позиций оценить статистические характеристики долгопериодной изменчивости отдельных переменных ЗКС, вызванных случайнами синоптическими воздействиями. Впервые были рассчитаны интенсивность межгодовой изменчивости широты снежно-ледовой границы и площади распространения потенциальной приповерхностной сплошной вечной мерзлоты, широтный ход дисперсии межгодичных флуктуаций среднезональных температур и влияние на него синоптической изменчивости отдельных компонент теплового баланса, интенсивность и время корреляции флуктуаций влагозапаса почвы.

4. Методами нелинейных стохастических дифференциальных уравнений впервые рассчитаны зависимости между первыми и вторыми статистическими моментами компонент гидрологического цикла суши.

Построена динамико-стохастическая модель формирования поверхностного стока. Найденная с помощью модели зависимость между средним стоком и осадками впервые учитывает действие синоптической изменчивости на связь средних характеристик. Проведенное сравнение с полуэмпирической формулой М. И. Будыко показало, что синоптические флуктуации эффективно осуществляют статистическую интерполяцию зависимости сток — осадки для диапазона смены режима увлажнения. На основе простой эквивалентной стохастической системы совместных флуктуаций влаги в почве и в атмосфере рассчитан эффект изменения интенсивности низкочастотных флуктуаций атмосферной влажности из-за этого взаимодействия. Впервые обнаружен нелинейный эффект увеличения интенсивности этих флуктуаций в промежуточной области частот, на которых влагозапас почвы еще не успевает реагировать на атмосферную изменчивость. Дано объяснение этого эффекта через сдвиг средних значений влажности атмосферы при учете взаимодействия флуктуаций влаги в атмосфере и почве (интерактивный эксперимент) по сравнению со случаем фиксированной влажности почвы (неинтерактивный эксперимент).