Основные математические вычисления

Кунгурский лесотехнический техникум Тренировочная работа Работа № 7

Асанов Марат

27.12.2013

Тренировочная работа 7

Часть 1

В1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 6 человек следует взять 2,5 фунта чернослива, ¼ фунта миндаля и 1/3 фунта сливочного масла. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 9 человек? Считайте, что один фунт равен 0,4 кг.

Решение:

2,5*9/6*0,4*1000 = 1500 грамм.

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев второго полугодия 1999 года средняя температура была ниже 14оС.

Решение:

4 (сентябрь, октябрь, ноябрь и декабрь).

B3. Периметр треугольника АВС равен 10. Найдите периметр треугольника FDE, вершинами которого являются середины сторон треугольника АВС.

Решение:

P (FDE) = FD+DE+FE = ½AB+½BC+½AC = ½*(AB+BC+AC) = ½*P (ABC) = ½*10 = 5.

B4. Для изготовления книжных полок требуется заказать 60 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Решение:

A) 60*0,15*90 + 60*15 = 1710 руб.

Б) 60*0,15*80 + 60*20 = 1920 руб.

В) 60*0,15*140 = 1260 руб.

Ответ: 1260.

В5. Найдите корень уравнения log5(x-4) = 2.

Решение:

log5(x-4) = log525.

x-4 = 25.

x = 29.

B6. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, sin A =4/5. Найдите АВ.

Решение:

AB = 2*5*4/5/2 = 10*2/5 = 4.

B7. Найдите значение выражения (v18+v162−5v8)/v2.

Решение:

(v18+v162−5v8)/v2 = (v9*2+v2*81−5v4*2)/v2 = (3v2+9v2−10v2)/v2 = 2v2/v2 = 2.

B8. На рисунке изображен график функции y = f (x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f (x) в точке х0 = -1.

Решение:

— 1/(-1) = 1.

B9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что ВС = 3v2, СС1 = 6. Найдите угол между АС1 и плоскостью АВС.

Решение:

Т.к. ВС=3v2=а, значит АС=аv2=6

Отсюда получаем прямоугольный треугольник АСС1, угол С = 90 градусов.

находим угол С1АС по тангенсу.

tgб = СС1/АС = 6/6 = 1

т.к. tgб = 1, значит угол б = 45град.

B10. В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 48 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

Решение:

(50−48)/50 = 0,04.

B11. В сосуд, имеющий форму конуса, налили 50 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Решение:

K=½. K3=1/8.

1/8 = 50/V, V = 8*50 = 400 мл.

400 — 50 = 350.

B12. При температуре 0оС рельс имеет длину l0 = 25 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 12 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l (t0) = l0(1+б*to), где б = 1,2*10−5(Со)-1 — коэффициент теплового расширения, t0 — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия).

Решение:

25+12*10−3 = 25(1+1,2*10−5*t)

25,012 = 25(1+0,12*t)

1+0,12*t = 1,48.

0,12*t = 0,48.

t = 40 градусов.

B13. Первая труба наполняет бак объемом 570 литров, а вторая труба — бак объемом 530 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды меньше чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?

Решение:

570/(V+4) = 530/V

570/(V+4) — 530/V = 0.

570V-530V-2120 = 0.

40V-2120 = 0.

V = 53 литра.

t = 530/53 = 10 минут.

B14. Найдите наименьшее значение функции y = 8tgx-8x-2р+5 на отрезке

[-р/4; р/4].

Решение:

y' = 8/cosІx-8; y' = 0

8/cos2x-8 = 0.

8/cos2x = 8.

cos2x = 1.

cos x = 1.

x = ± arcos 1 + 2рn

x = ±2рn

заданному промежутку принадлежит точка х=0

cosx = -1

x2 = р+2рn

объем средний температура угол Получили одну стационарную точку:

Найдем значение функции на концах промежутка и в стационарной точке:

у (-р/4) = -8+2р-2р+5=-3 — наименьшее значение функции у (р/4)=8−2р-2р+5=13−4р

y (0)=-2р+5 — наибольшее значение функции Ответ: -3

Часть 2

C1. А) Решите уравнение (16sinx)cosx = (¼)v3*sinx.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2р; 7р/2].

Решение:

a) (16sinx)cosx = (¼)v3*sinx

(¼)-2*sinx*cosx = (¼)v3*sinx

— 2*sinx*cosx = v3*sinx

— 2*cosx = v3

cosx = -v3/2

x = ± arcos (-v3/2) + 2рn

x = ± 5р/6 + 2рn

б) Возьмем 2р

cos2р = -v3/2

2р = ± arcos (-?3/2) + 2рn

2р = ± 5р/6+2рn

р = ± 5р/12+рn

Возьмем 7р/2

cos7р/2 = -?3/2

7р/2 = ± arcos (-?3/2) + 2рn

7р/2 = ± 5р/6+2рn

7р = ±10р/6+4рn

р = ±10р/42+4рn/7

C2. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 2, точка М — середина ребра АВ, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.

Решение:

MC = BC*v3/2

MC = 2*v3/2 = v3

R = OC = AC/v3

R = OC = 2/v3

H = OS = v (SC2-OC2)

H = OS = v (4−4/3) = v (12/3−4/3) = v8/3 = 2v2/v3

r = MO = R/2

r = MO = 2/v3/2 = 1/v3

OF = 1/3*OS

OF = 1/3*2v2/v3 = 2/3*(v2/v3)

MF = v (OF2+OM2)

MF = v (4/9*2/3 + 1/3) = v (8/27+1/3) = v (8/27+9/27) = v17/v27.

sin б = OF/MF

sin б = 2/3*(v2/v3)/v17/v27 = 2v2/v17