Актуальность темы
Всплеск-функцией (англ. wavelet) называется функция ф, либо используемая в качестве ядра интегрального оператора j, к Е Z пространства L2®. В данной работе термин всплеск-функция будет пониматься во втором смысле.
Теория всплесков — интенсивно развивающееся межпредметное направление, включающее в себя исследования из области теоретической математики, прикладной математики, информатики. Один из первых примеров всплесковых базисов, построен И. Мейером в 1986 г. [33] и носит его имя. В настоящее время семейство всплеск-функций Мейера и его модификации находят многочисленные применения в математическом и функциональном анализе, теории функций, численных методах решения дифференциальных уравнений, обработке сигналов и т. д. (см., например, обширную библиографию в [29, 20]).
Константа неопределенности служит количественным показателем в задачах, связанных с принципом неопределенности, используемом в квантовой механике, в гармоническом анализе, в задачах время-частотной локализации (см., например, обзоры [26, 27] и статьи [25, 35]). Константа неопределенности характеризует локализованность функции во временной (множитель Аф) и в частотной (множитель А?) областях. Чем меньше каждый при соблюдении условия либо порождающая ортонормированный базис 2^2ф (2^и — к) из данных множителей, тем лучше функция локализована в соответствующей области. Так, для системы Хаара (см., например, [15]) Д^ = >/5/6, Д^ = сю, поэтому система Хаара лучше локализована по времени, чем по частоте. Система всплеск-функций Мейера является самым ранним примером ортонормированного базиса пространства Ь2(Ж), элементы которого при достаточной гладкости имеют конечные константы неопределенности и очень хорошую локализованность во временной (если if) G С00(К), то всплеск-функция убывает на бесконечности быстрее любой степени) и в частотной областях (ф финитна). Хорошая время-частотная локализация — одно из основных преимуществ всплеск-функций Мейера. Но, насколько известно автору, до сих пор не был решен вопрос о нахождении всплеск-функции Мейера с минимальной константой неопределенности и об уточнении нижней границы константы неопределенности для данного семейства всплеск-функций. Обобщения принципа неопределенности и уточнения констант неопределенности для различных простанств можно найти в статьях [26, 27, 24, 21, 35], а также в обширной библиографии, помещенной в данных статьях.
Важен вопрос не только хорошей локализованное&tradeодной всплеск-функции, но и локализованное&tradeцелого семейства всплеск-функций, в составе которого есть всплеск-функции с различными свойствами, например, всплеск-функции произвольной гладкости. Здесь необходимо отметить работу [23], в которой для некоторых классических систем всплеск-функций (всплеск-функции Добеши, Баттла-Лемарье, Стремберга) и их обобщений доказан неограниченный рост константы неопределенности с увеличением гладкости. Однако в статьях [14, 34] построено семейство модифицированных всплеск-функций Добеши (всплеск-функции Новикова), имеющих компактный носитель, причем локализованность по времени и частоте автокорреляционной функции, построенной для масштабирующей функции данной всплеск-функции, сохраняется с возрастанием гладкости. Возникает вопрос, можно ли построить семейство всплеск-функций, масштабирующие функции которых имеют как и сплайн-всплески экспоненциальное убывание на бесконечности и убывание порядка 0(си~1) при |о-| —> сю в частотной области, при этом константы неопределенности масштабирующих функций, а также самих всплеск-функций равномерно ограничены по параметру I, определяющему гладкость.
Цели работы.
• исследовать время-частотную локализацию системы всплеск-функций Мейера: уточнить нижнюю границу констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейера, найти численно или аналитически всплеск-функцию Мейера с наименьшей константой неопределенности;
• построить новое семейство всплеск-функций, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций и для всплеск-функций, равномерно ограниченные по параметру, определяющему гладкость.
Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории функций и вариационного исчисления, в частности метод Ритца. Новизна методов состоит в применении средних Валле-Пуссена для построения масок ортогональных всплеск-функций.
Научная новизна.
• уточнена нижняя граница констант неопределенности семейства всплеск-функций Мейера;
• прямыми методами найдена минимизирующая последовательность для всплеск-функции Мейера с наименьшей константой неопределенности;
• найдено дифференциальное уравнение с параметром, решение которого при определенном значении параметра минимизирует константу неопределенности всплеск-функции Мейера в пространстве W\.
• построено новое семейство всплеск-функций, имеющих экспоненциальное убывание и константы неопределенности для масштабирующих функций и для всплеск-функций, равномерно ограниченные по параметру, определяющему гладкость.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования систем всплесков, в частности для изучения свойств локализованности.
Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: Recent Progress in Wavelet Analysis and Frame Theory, Бремен, Германия (2006), Воронежская зимняя математическая школа &bdquo-Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2007) — на семинаре по теории функций и теории приближений С. В. Конягина в МГУ (2007), на семинаре &bdquo-Конструктивная теория функций и теория всплесков" в СПбГУ (2008).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [9]-[13], [31],[32]. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 87 страниц состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 35 источников. Окончания доказательств отмечены знаком ¦, окончания замечаний отмечены знаком ?.
1. Завьялов Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — М.: Наука, 1980. — 352 с.
2. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — 2-е изд., доп. — М.: АФЦ, 1999. — 560 с.
3. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1968. — 496 с.
4. Лебедева Е. А. Минимизация константы неопределенности семейства всплесков Мейера / Е. А. Лебедева // Матем. заметки. — 2007. — Т. 81, № 4. С. 553−560.
5. Лебедева Е. А. Семейство всплесков с равномерно ограниченными константами неопределенности / Е. А. Лебедева // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции / Воронеж. гос. ун-т. — Воронеж, 2007. — С. 125−126.
6. Лебедева Е. А. Экспоненциально убывающие всплески, имеющие равномерно ограниченные константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость / Е. А. Лебедева // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 3. С.574−591.
7. Лебедева Е. А. Всплеск Мейера улучшенной локализации / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постников // Вычислительные методы и программирование. — 2006. — № 7. — С. 122−124.
8. Лебедева Е. А. Построение вейвлетов Мейера на базе В-сплайнов при условии минимизации константы неопределенности / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постников // Ученые записки Курск, гос. ун-та. Сер. Естественные науки и техника. 2006. — № 1 (3). — С. 72−76.
9. Новиков И. Я. Константы неопределенности для модифицированных всплесков Добеши / И. Я. Новиков // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т. 4, вып. 1. — С. 107−111.
10. Новиков И. Я. Теория всплесков / И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с.
11. Рудин У. Основы математического анализа / У. Рудин — перевод с англ. В. П. Хавина. — 2-е изд., стереотип. — М.: Мир, 1976. — 320 с.
12. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин. М.: Наука, 1976. — 248 с.
13. Фихтенгольц Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Физматлит, 1959. — Т. 1. — 808 с.
14. Чуй Ч.
Введение
в вэйвлеты / Ч. Чуй — перевод с англ. Я. М. Жилей-кина. — М.: Мир, 2001. — 412 с.
15. Ajith К. More efficient ground truth ROI image coding technique: implementation and wavelet based application analysis / K. Ajith, Z. Ye // J. of Zhejiang University, Science A. — 2007. — Vol. 8, N. 6. — P. 835−840.
16. Battle G. Heisenberg Inequalities for Wavelets States / G. Battle // Appl. Сотр. Harm. Analysis. — 1997. — N. 4. — P. 119−146.
17. Chui С. K. A Study of Asymptotically Optimal Time-frequency Localization by Scaling Functions and Wavelets / С. K. Chui, J. Wang // CAT Report #323, Texas A&M University. — (www.shsu.edu/~mthjxw/psffies/optwin.ps).
18. Chui С. K. High-order orthonormal scaling functions and wavelets give poor time-frequency localization / С. K. Chui, J. Wang // J. Fourier Anal, and Appl. 1996. — Vol. 2, N. 5. — P. 415−426.
19. Dahlke S. The affine uncertainty principle in one and two dimentions / S. Dahlke, P. Maass // Computers Math. Applic. — 1995. — Vol. 30, N. 3−6. P. 293−305.
20. Donoho D. L. Uncertainty principles and Ideal Atomic Decomposition / D. L. Donoho, X. Huo // IEEE Trans. Inform. Theory. — 2001. Vol. 47, N. 7. — P. 2845−2862.
21. Folland G. B. The uncertainty principle: a mathematical survey / G. B. Folland, A. Sitaram // J. Fourier Anal. Appl. — 1997. — Vol. 3, N. 3. P. 207−238.
22. Goh S. S. Uncertainty principles in hilbert spaces / S. S. Goh, C. A. Mic-chelli // J. Fourier Anal. Appl. 2002. — Vol. 8, N. 4. — P. 335−373.
23. Goodman T. N. T. On Refinement Equations Determined by Polya Frequency sequences / T. N. T. Goodman, C. A. Micchelli // SIAM J. Math. Anal. 1992. — Vol. 23, N. 3. — P. 766−784.
24. Johnstone I. M. Wavelet deconvolution in a periodic setting / I. M. Johnstone, G. Kerkyacharian, D. Picard, M. Raimond // J. R. Statist. Soc. B. 2004. — Vol. 66, Part 3. — P. 547−573.
25. Karlin S. Total positivity / S. Karlin. — Stanford: Stanford University Press, 1968. — 590 p.
26. Lebedeva E. A. Minimization of a Constant of Uncertainty for the Meyer Wavelet Basis / E. A. Lebedeva, E. B. Postnikov // Sampl. Theory Signal Image Process. 2006. — Vol. 5, N. 3. (Sept.) — P. 341−348.
27. Meyer Y. Principe d’incertitude, bases Hilbertiennes et algebras d’operateurs / Y. Meyer // Seminaire Bourbaki 1985/86. — 1987. — N. 145−146. P. 209−223.
28. Novikov I. Ya. Modified Daubechies wavelets preserving localization with growth of smoothness / I. Ya. Novikov // East J. Approximation. — 1995. Vol. 1, N. 3. — P. 314−348.
29. Selig К. K. Uncertainty principles revisited / К. K. Selig // Electronic Trans. Numer. Anal. 2002. — Vol. 14. — P. 165−177.
