Ортонормированная матрица

1. Содержательная (исходная) постановка задачи

Предварительные сведения

Рассматриваем матрицу размера NЧM вида:

Матрица в программе представляется в виде двумерного массива (array[i][k]). Например, пусть дана матрица:

В программном языке эта матрица будет представляться в виде массива, элементами которого являются:

Array [0][0] = 1; array [0][1] = 2; array [0][2] = 3; array [1][0] = 4 ;

array [1][1] = 5; array [1][2] = 6; array [2][0] = 7; array [2][1] = 8;

array [2][2] = 9.

Ортонормированная (в высшей терминологии ортогональная) матрица — это такая матрица столбцы и строки которой образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

где, n — порядок матрицы, а д_jk — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Постановка задачи

Матрица является ортонормированной, если скалярное произведение каждой пары различных строк равно 0, а скалярное произведение каждой строки на себя равно 1. Определить, является ли заданная матрица A размера N M ортонормированной.

Указания Использовать две функции:

1. Функция которая проверяет условие ортонормированности матрицы и возвращает true, либо false

2. Функция, которая непосредственно производит перемножение строк.

2. Анализ и пример решения задачи Анализ задачи Как упоминалось ранее для определения ортонормированности функции нужно проверить скалярное произведение строки саму на себя и затем произведение этой строки с последующими.

· Чтобы в программе не выполнялись лишние действие перемножения строки с другими надо начинать не с первой строки, а с последующий (соответственно, когда мы в цикле дойдем до последний строки, то она только перемножается сама на себя).

· Перемножение строк реализуется в функции с помощью сложения всех пар произведений типа array[i][k]*array[j][k] b и записи получившийся суммы в отдельную переменную.

· В проверяющей функции после каждого полученного результата перемножения строк сверяем полученный результат с условием, если неверно, то возвращаем false. А после окончания цикла проверки возвращаем true (таким образом, если матрица ортонормирована, то она пройдет все проверки и вернет true)

Пример решения задачи Рассмотрим 2 примера решения задачи, для матрица, который является и не является ортонормированной.

1.Матрица ортонормированна

· Сначала находим произведение первой строки саму на себя:

S= 1*1 + 0*0 + 0*0 + 0*0=1 (удовлетворяет условию)

· Затем происходит перемножение первой строки на 2,3 и 4

S_1,2 =0; S_1,3 =0; S_1,4 =0 (удовлетворяет условию)

· Далее рассматриваем вторую строку (во-первых производим умножение саму на себя, а затем рассматриваем произведения уже со строками 3 и 4)

S₂² =1; S_2,3 =0; S_2,4 =0 (удовлетворяет условию)

· По аналогии рассматриваем третью строку.

S₃² =1;S_3,4 =0 (удовлетворяет условию)

· Для последний строки производи только перемножение саму на себя

S₄² =1 (удовлетворяет условию)

· Матрица прошла все проверки, значит она ортонормирована.

2.Матрица не ортонормирована.

· Сначала находим произведение первой строки саму на себя:

S= 1*1 + 0*0 + 0*0 + 0*0=1 (удовлетворяет условию)

· Затем происходит перемножение первой строки на 2,3 и 4

S_1,2 =1*0 + 0*2 + 0*0 + 0*1=0; (удовлетворяет условию)

S_1,3 =1*3 + 0*5 + 0*3 +0*6=3 (не удовлетворяет условию)

· Функция возвращает false значит матрица не ортонормирована.

3. Формальная постановка задачи Исходные данные

1) Размеры матрицы целые числа n и m.

2) Двумерный массив размера nЧm содержащий элементы вещественные числа двойной точности.

Ограничения на исходные данные Числа n и m должны быть меньше 50, т.к. array это статический массив размера 50Ч50.

Матрица состоит из вещественных чисел Результирующие (выходные) данные Выходными данными является отчет о том ортонормированная ли матрица.

Связь выходных данных с исходными данными Опишем формально связь между выходным булевским значением otvet и входной матрицей a. Для этого используем следующие функции над матрицей.

1) Функция определяющая скалярное произведение строки на строку в математическом представлении выглядит следующим образом:

где m — это количество столбцов в матрице

2)Функция проверки ортонормированности матрицы:

Перебор строк от i = 1 до n

j=i;

Если S? 1 (значение S берется из первой функции) то Функция = false;

Перебор строк от j = i+1 до n-1

Если S? 0

то Функция = false;

Конец перебора;

Конец перебора;

Функция = true;

Т.е. входная матрица проверяется в функции 2, для реализации скалярного произведения строк используется функция 1. В проверяющей функции рассматриваются все возможные варианты скалярного произведения строк и сравниваются с условием задания. Если хоть одно условие не совпадает, то функция завершается и принимает false. Если матрица успешно проходит все проверки, то по завершению начального цикла функции присваивается значение true.

4. Спецификация программы Исходные данные (ИД) Перечень и основные характеристики ИД:

1) n — количество строк в матрице

2) m — количество столбцов в матрице

3) Array — Массив, задающий проверяемую матрицу A, вида Ограничения на исходные данные:

1) Для n и m задан диапазон 2 n, m 50, это натуральные числа типа int

2) Элементы вводимого массива любые числа диапазона double

Место и форма представления исходных данных:

1) n и m вводится с клавиатуры в процессе диалога, порядок ввода и форма представления описаны в сценарии диалога;

2) данные, задающие матрицу, вводятся с клавиатуры в процессе диалога через пробел с переносом на следующую строку, тогда когда все элементы строки будут введены. Введённая матрица будет выглядить следующим образом

Функции программы по обработке исключительных ситуаций Исполняющая система прекращает выполнение программы, выдавая диагностическое сообщение об ошибке в следующих случаях:

1) если значение n не принадлежит диапазону 2…50;

2) если значение m не принадлежит диапазону 2…50;

Выходные данные Состав выходных данных:

1) Сообщения, которые просят пользователя ввести размеры матрицы.

2) Если размер массива не вписывается в рамки 50 на 50, то выводиться сообщения об ошибке.

3) Сообщение, которое просит пользователя последовательно ввести элементы матрицы.

4) Отчет о проверки матрицы.

Место и форма представления выходных данных. Выходные данные выводятся на экран.

1) Вывод сообщений диалога пользователя по порядку подробнее описано в пункте описание сцен диалога.

Макет вывода выходных данных в диалоговом окне в том случае, когда матрица ортонормированна

Сценарий диалога Общая схема диалога:

1.Сцена 1 (ввод, анализ количества строк в матрице + если размер недопустим выводиться сообщение об ошибке).

2.Сцена 2 (ввод, анализ количества столбцов в матрице + если размер недопустим выводиться сообщение об ошибке).

3.Сцена 3 (ввод элементов матрицы).

4.Сцена 4 (вывод отчета).

Описание сцен диалога. Описание сцены 1 приведено в табл. П. 1.

Таблица П.1

Описание сцены 2 аналогично сцене 1 приведено в табл. П. 2.

Таблица П.2

Описание сцены 3 приведено в табл. П. 3.

Таблица П.3

5. Разработка структур данных и алгоритмов Алгоритм тела программы

Алгоритм функции summa:

6. Код программы на языке С++

#include

using namespace std;

/*

* Функция выполняет скалярное перемножение твух строк матрицы

* m — колличество столбцов в матрице

* i — номер первой перемножаемой строки

* j — номер второй перемножаемлй строки

* k — интератор столбца

* array — проверяемый массив

* s — сумма произведений пар элементов

* Функция возвращает значение переменной s

*/

double summa (double array[50][50], int m, int i, int j);

/*

* Функция выполнят проверку ортонормированности матрицы

* n — колличество строк в матрице

* i — интератор основной строки

* j — интератор второй строки

* array — проверяемый массив

* s — значение, которое возвращает функция summa,

* обозначающее результат перемножения двух строк

* Функция возвращает true, если матрица ортонормированна

* и false в противоположном случае

*/

bool proverka (double array[50][50], int n, int m);

int main ()

{

double array[50][50]={0};

int n=0,m=0;//максимальное количество строк и столбцов

bool otvet=0;//булевская переменная, отображающая результат проверки массива

cout << «Enter number of rows» << endl;

cin >> n;// Вводим колличество строк

/*если количество строк больше, чем максимальное количество элементов, выводим сообщение о превышении максимального значения и завершаем работу программы */

if (n>50||n<2){

cout << «Matrix size is inappropriate» << endl;

return 0;}

cout << «Enter Number of Columns» << endl;

cin >> m;// Вводим колличество столбцов

/*если количество столбцов больше, чем максимальное количество элементов, выводим сообщение о превышении максимального значения и завершаем работу программы */

if (m>50||m<2){

cout << «Matrix size is inappropriate» << endl;

return 0;}

cout << «Lead elements of the matrix» << endl;

//Осуществляем ввод элементов массива

for (int i=0;i

{

for (int k=0;k

cin >> array[i][k];

cout << endl;

}

otvet=proverka (array, n, m);//Вызывает функцию проверки и возвращаемое значение присваеваем булевской переменной otvet

//Выводим сообщение о результате проверки

if (otvet==true)

cout << «Matrix is orthonormal» ;//Выводим сообщение об ортонормированности матрицы

else cout << «Matrix is not orthonormal» ;//Выводим сообщение о том, что матрица не ортонормарованна

getch ();

return 0;

}

bool proverka (double array[50][50], int n, int m)

{

int i=0, j=0;

double s=0;

// начало проверяющего цикла где сначала проверяем строки с 0 до n-1

for (i=0; i

// передаем дополнительной строке значение основной, для проверки скалярного произведения строки саму на себя

j=i;

s=summa (array, m, i, j);

// проверка условия

if (s≠1)

// если сумма не равна 1 то возвращаем false

return false;

// перебираем дополнительные строки начиная с i + 1

for (j=i+1; j

s=summa (array, m, i, j);

// проверка условия

if (s≠0)

// если сумма не равна 0 то возвращаем false

return false;}}

// после окончания проверки возврашем true

return true;

}

double summa (double array[50][50], int m, int i, int j)

{

double s=0;

for (int k=0; k

// суммируем произведение пар элементов

s+=array[i][k]*array[j][k];

// в конечном итоге возвращаем результат скалярного произведения двух строк

return s;

}

7. Испытание программы

ортонормированная матрица программа

8. Анализ результатов Программа прошла тестирование со всеми возможными входными данными, а так же проверкой всех диалогов между пользователем-программой. В процессе тестирования некорректной работы программы не выявлено. Следовательно программа может быть признана завершенной и годной к эксплуатации.