ΠΠ½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ
Π΄Π²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈ Π»Π΅Ρ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΡΠ° Π²ΠΈΠ΄Π° Π² Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ
ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°Ρ
ΠΠ΅Π±Π΅Π³Π°.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΠΊ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ² Π‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²Π°.
ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² (1) Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅Π² ΠΈΡ
ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅Π² ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ
Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° (1) ΠΏΡΠΈ ΠΊ (Ρ
, Ρ) = Ρ{Ρ
) ^ 0, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ΅ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ
ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π¨ΡΡΡΠΌΠ°-ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ (ΡΠΌ., Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, [4]). ΠΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, Π±Π΅ΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ
Π. Π₯Π°ΡΠ΄ΠΈ ΠΈ ΠΠΆ. ΠΠΈΡΡΠ»ΡΠ²ΡΠ΄Π° [15], Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ 70-Ρ
Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² XX Π²Π΅ΠΊΠ°, ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π°Π²ΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½ΡΠ² Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΠΉΠ½Π°ΡΠΎΠ²Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊ (Ρ
, Ρ) ^ 0 ΠΈ.
D~1k (x, y) < ΠΊ (Ρ
, z) + k (z, Ρ) ^ Dk (x, y), b^x^z^y^a, (2) Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° D ^ 1 Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Ρ
, Ρ, z. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ,.
1) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΡΠ΄ΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°-ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΠΊ (Ρ
, Ρ) = (Ρ
— Ρ)01 ΠΏΡΠΈ, Π° ^ 1. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΏΡΠΈ 0 < Π° < 1 ΡΡΠΈ ΡΠ΄ΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (2). Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ Π² Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΠΈΠ΄Π°.
Kf (x) = [ΠΠ₯) ΠΊ (Ρ
, Ρ) f (y)dy, (3).
J Π° (Ρ
) ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ
(1) ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ΄ΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (2), Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π° (Ρ
) ΠΈ Π¬{Ρ
) ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ i) Π° (Ρ
) ΠΈ Π¬{Ρ
) Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Ρ ΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡ Π½Π° R± ii) Π° (Ρ
) < Π¬ (Ρ
) Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Ρ
Π΅ (0, ΠΎΠΎ), Π° (0) = 6(0) = 0, (4) Π° (ΠΎΠΎ) = Π¬ (ΠΎΠΎ) = ΠΎΠΎ.
ΠΡΠΎΡΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ
Π½ΠΎΡΠΌΠ°Ρ
ΠΠ΅Π±Π΅Π³Π° Π΄Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°-ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΠΈ.
Iaf{x) = Π{Π₯ — y) a~1f{y)dy, 0 < Π° < 1. (5).
J ΠΎ.
Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΠΌ. ΠΡ Π΄Π°Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ «ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ» ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ
ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ·ΠΊΠΈΡ
, ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ΅Π±Π΅Π³Π°, ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΡ
ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
, Π° > 0.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΡΡΡΡ 0 < Ρ ^ ΠΎΠΎ, —ΠΎΠΎ ^ Π° < Π¬ ^ ΠΎΠΎ, f’mPdx)K 0 < Ρ < ΠΎΠΎ, esssup |/(ΠΆ)|, Ρ = ΠΎΠΎ. Ρ
?[Π°, Π¬].
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Ρ' — Ρ/(Ρ — 1) ΠΠ Π 0<οΏ½Ρ<οΏ½ΠΎΠΎΠΈΡ' — ΠΎΠΎ ΠΏΡΠΈ Ρ = 1. ΠΠ»Ρ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΠ΅Π±Π΅Π³Ρ Π½Π° [Π°, Π¬] Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ v ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ΅Π±Π΅Π³Π° Π¦,[Π°, Πͺ] ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ
ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ
Π½Π° [Π°, Π¬] ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ / ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
, ΡΡΠΎ ||/J|p, v: = Π¦/^Π¦Ρ < ΠΎΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ, Π° = 0 ΠΈ b = ΠΎΠΎ, Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π©: = L%[0, ΡΡ]. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅Ρ v Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π° [Π°, Πͺ] ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ Ρ, Π° Π²Π΅Ρ ljv— Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π° [Π°, Π¬] ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ Ρ'. ΠΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠ΅Ρ
Π³Π»Π°Π², ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΡΡ
Π½Π° 9 ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠΎΠ², ΠΈ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΈΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ.
1. ΠΠ°ΡΡΠ΅Π² Π. Π., Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ°Π½ΠΎΠ² Π. Π., Π Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ
Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°Ρ
ΡΠΈΠΏΠ° Π₯Π°ΡΠ΄ΠΈ, Π‘ΠΈΠ±ΠΈΡ. ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌ. ΠΆΡΡΠ½Π°Π»., 30, 1989, 13−22.
2. ΠΠ°Π½ΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡ JI.B., ΠΠΊΠΈΠ»ΠΎΠ² Π. Π., Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1977.
3. ΠΠΠΠΠΠΠ¨ΠΠΠΠ Π.Π., Π Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°Ρ
Π₯Π°ΡΠ΄ΠΈ Π² Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ
ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°Ρ
, Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ. ΠΠ ΠΠ‘Π‘Π , (1) 96, 1979, 37−40.
4. ΠΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΈΠΉ Π. Π., ΠΠ°Π±ΡΠ΅ΠΉΠΊΠΎ Π. Π., ΠΡΡΡΡΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π. Π., ΡΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ Π³. Π., ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°Ρ
ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1966.
5. ΠΠ ΠΠ₯ΠΠ ΠΠ Π.Π., ΠΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°-ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π° ΡΠΎΠΈΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°ΡΠ° ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π½Π°ΡΠΊ, Π₯Π°Π±Π°ΡΠΎΠ²ΡΠΊ: ΠΠ¦ ΠΠΠ Π ΠΠ, 2001.
6. Π₯Π°ΡΠ΄ΠΈ Π. Π., ΠΠΈΡΡΠ»Π²ΡΠ΄ Π. Π., ΠΠΎΠ»ΠΈΠ° Π., ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, Π., 1948.
7. Ando Π’., On compactness of integral operators, Nederl. Akad. Wetensh. Proc., ser. A-65, (2) 24, № 2 Indag. Math., 1962.
8. BRADLY J.S., Hardy inequalities with mixed norms, Canad. Math. Bull., (1) 21, 1978, 405−408.20. chen Π’., Sinnamon G., Generalized Hardy operators and normalizing measures, Preprint, 1999.
9. Edmunds D.E., Stepanov V.D., On the singular numbers of certain Volterra integral operators, J. Fund. Anal., 134, 1995, 222−246.
10. Gogatishvili A., Lang J., The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach functions spaces, J. Ineq. Appl., 4, 1999, 1−16.
11. Gol’dman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D., On the principle of duality in Lorentz spaces, Can. J. Math., 48 (5), 1996, 959−979.
12. Heinig H.P., Sinnamon G., Mapping properties of integral averaging operators, Studia Math., 129, 1998, 157−177.
13. OlNAROV R., On weighted norm inequalities with three weights, J. London Math. Soc., 48, 1993, 103−116.
14. SAWYER E.T., Boundedness of classical operators on classical Lorents spaces, Studia Math., 96, 1990, 145−158.
15. SlNNAMON G., Weighted Hardy and Opial type inequalities, J. Math. Anal. Appl., 160, 1991, 434−445.
16. SlNNAMON G., STEPANOV V.D., The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p=l, J. London Math. Soc., 54, 1996, 89−101.
17. STEPANOV V.D., Weighted inequalities for a class of Volterra convolution operators, J. London Math. Soc., (2) 45, 1992, 232−242.37. stepanov v.d., Integral operators on the cone of monotone functions, J. London Math. Soc., (2) 48, 1993, 465−487.
18. STEPANOV V.D., The weighted Hardy’s inequality for nonincreasing functions, Trans. Amer. Math. Soc., (1) 338, 1993, 173−186.
19. STEPANOV V.D., Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators, J. London Math. Soc., (2) 50, 1994, 105−120.
20. Π£Π¨ΠΠΠΠΠ Π.Π., ΠΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°-ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ Π½Π° ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ
, ΠΠ°Ρ. Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ Π―ΠΠ£, 7, (2), 2000, 113−149.
21. Π£Π¨ΠΠΠΠΠ Π.Π., ΠΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½Ρ, Π₯Π°Π±Π°ΡΠΎΠ²ΡΠΊ: ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΠΠ Π ΠΠ, 41, 2000.
22. Π£Π¨ΠΠΠΠΠ Π.Π., ΠΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Ρ ΡΠ΄ΡΠΎΠΌ ΠΠΉΠ½Π°ΡΠΎΠ²Π° ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅Π²ΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌ. ΡΠΊΠΎΠ»Π°-ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈΠΌ. Π. Π. ΠΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ²Π°, Π’Π΅Π·.Π΄ΠΎΠΊΠ»., ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΎΠΊ: «ΠΠ°Π»ΡΠ½Π°ΡΠΊΠ°», 2000, 108−109.
23. Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ°Π½ΠΎΠ² Π. Π., Π£ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π. Π., ΠΠ± ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ°Ρ
Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π’ΡΡΠ΄Ρ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ. ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΡΡΠ° ΠΈΠΌ. Π. Π. Π‘ΡΠ΅ΠΊΠ»ΠΎΠ²Π°, Π.: ΠΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ «ΠΠ°ΡΠΊΠ°», 232, 2001, 298−317.