Коммутаторные свойства линейных групп

Основным содержанием настоящей работы является исследование коммутаторных свойств некоторых классов линейных групп.

Пусть G — группа с коммутантом G. Хорошо известно, что в общем случае не всякий элемент из О является коммутатором в О, Примеры такого сорта существуют как для конечных групп, так и для бесконечных. Поэтому естественным образом возникает задача об исследовании коммутаторной длины для G, т. е. требуется определять минимальное число коммутаторов, необходимых для представления произвольного элемента из G в виде произведения коммутаторов из o. Если такое число существует, то, следуя работе [25], мы будем обозначать его Мб'), Если группа совершенна, T.e.G-G, то мы просто говорим о коммутаторной длине G.

Не вызывает сомнений то обстоятельство, что для произвольной группы (з вопрос о существовании и точном вычислении Ж 6) является малореальной задачей. Неудивительно поэтому, что результаты в этом направлении относятся в первую очередь к определенным классам групп.

Преяде всего отметим, что наибольшее количество работ по коммутаторной длине имеет отношение либо к случаю конечных групп, либо к тем группам, коммутант которых обладает специфическим свойствам: конечен, цикличен и т. д. Обзоры результатов, полученных в этом направлении, содержатся в [23], [25], [28]. Несмотря на то, что конечное число возможностей упрощает до некоторой степени задачу вычисления коммутаторной длины, тем не менее в каждом конкретном случае приходится сталкиваться с немалыми трудностями. Для конечных групп исследование комму та торной длины облегчается в определенном смысле тем обстоятельством, что для них существуют критерии представимости произвольного элемента группы в виде произведения любого заданного числа коммутаторов. Эти критерии формулируются в терминах теории характеров (см. [21], [22], [26]).

При переходе к бесконечным группам совершенно ясно, что в общем случае подобных критериев представимости быть не гложет и поневоле приходится конкретизировать исследование коммутаторной длины, рассматривая определенные классы групп. Одним из важнейших классов является класс линейных групп. Интерес к указанной тематике здесь связан с более глубоким изучением алгебраических групп с абстрактно-групповой точки зрения. Исследование коммутаторной длины линейных групп начато еще в конце ХЕХ века. Вскоре были получены первые результаты о простых линейных группах над конечными полями. Затем в ряде случаев удалось установить коммутаторную длину для некоторых симплектиче-ских, ортогональных и проективных групп (см. [27], [32], [37]). Гото в работе [24] показая, что в связной полупростой компактной группе Ли всякий элемент есть коммутатор. Далее, если бсвязная полупростая комплексная группа Ли, то Л (0)~1 (см. [31]). Томпсон в работе [36] вычисляет точное значение коммутаторной длины полной и специальной линейных групп над произвольным полем. Наконец, наиболее общим результатом в этом ряду, по-видимому, следует признать утверждение, доказанное Ри: если <3 — связная полу простая алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем, то Л (0)~1 (см. [33]). При переходе к группам над незамкнутыми полями указанное выше равенство перестает быть справедливым и исследование коммутаторной длины осложняется тем обстоятельством, что оно в значительной степени зависит от свойств исходного поля.

Шея в качестве отправного пункта указанный ранее результат Томпсона о коммутаторной длине специальной линейной группы над полем, в настоящей работе проводится исследование коммутаторных свойств линейных групп в двух резко отличающихся друг от друга направлениях. Первое связано с рассмотрением полной линейной группы над телом. Главный результат здесь состоит в том, что показана почти полная определяемость коммутаторной длины свойствами исходного тела (теорема 3). В рамках второго направления изучаются коммутаторные свойства групп Шевалле над произвольным бесконечным полем. Основной результат заключается в следующем.

Теорема 5. Если (? — группа Шевалле над произвольным бесконечным полем, то Л С О) -4*.

Эти различающиеся меящу собой направления естественно опираются на разную технику исследования. С одной стороны используются результаты и методы структурной теории матриц над телом, критерии подобия таких матриц и т. д., с другой — разложение Брюа в группах Шевалле, вычисления в группах Вейля, корневая техника.

После формулировки этих основных результатов диссертации перейдем к изложению ее содержания по главам и параграфам.

Диссертация состоит из двух глав. Глава I содержит три параграфа. В § 1.1 рассматривается специальная линейная группа степени Ннад телом вещественных кватернионов Н. Относительно нее доказывается следующее утверждение.

Теорема I. Для любого 1ь > 1 произвольный элемент из ЗИ (^И) есть коммутатор элементов из Н). Целью § 1.2 является доказательство того факта, что утвержде ние теоремы I перестает быть справедливым вообще говоря при переходе к полной линейной группе над произвольным телом. Это нарушение наблюдается уже в случае тел, т. е. при .

Теорема 2. Существует тело индекса 4 над своим центром, коммутант которого обладает бесконечным множеством элементов, каждый из которых не является коммутатором.

Построенный пример является минимальным в том смысле, что для тел индексов 2 и 3 хорошо известным является тот факт, что произвольный элемент коммутанта есть коммутатор. В общем случае результаты по коммутаторной длине немногочисленны, наиболее важные из них мы сейчас приведем. Пусть ЯЗ обозначает коммутант мультипликативной группы тела Ф. В работе [30] показано, что всякий элемент из ® для конечномерного центрального тела над? -адическим полем представим в виде произведения не более, чем трех коммутаторов. Из результатов, установленных В. П. Платоновым и В. И. Янчевским для тел над полным дискретно нормированным полем с коммутативным телом вычетов, следует, что для таких тел) (см. [13 ]). В работе [20] для некоторых тел анонсировано существование оценок коммутаторной длины, являющихся функциями индекса, причем шдеке предполагается свободным от квадратов. Особое место занимает результат, принадлежащий В. П. Платонову (см [12]). Пусть, А — простая конечномерная центральная алгебра с центром К и ВЫ 1, А) — подгруппа мультипликативной группы, А, состоящая из элементов единичной приведенной нормы. В. П. Платонов доказывает следующее утверждение, которое вскрывает удивительную связь между алгебраическими и геометрическими свойствами группы А) .

Теорема. Пусть = определяет рациональное многообразие. Тогда существует такое т>, что каждый элемент ^^С^А) является произведением не более, чем Иг коммутаторов из А*, в частности ВК±(А) — 1.

Возможно анализ этого явления будет способствовать новому подходу к проблеме рациональности групповых алгебраических многообразий.

Заметим, что все вышеприведенные результаты относятся к случаю тел с тривиальной приведенной группой Уайтхеда. Это неудивительно, потому что при таком условии абстрактно — групповое образование 0 приобретает довольно определенную алгебраическую характеризацию и исследование коммутаторных свойств в значительной степени облегчается.

В § 1.3 рассматривается полная линейная группа = ОЬОг, сО) над телом 0 таким, что существует Л (Ю'). I.

В этом случае показывается, что коммутаторная длина группы (5^ не зависит от степени ко и почти полностью определяется свойствами тела ?).

Теорема 3. Для любого Я (б^) .

Другими средствами эту же проблему изучал Рехман (см. [34]). Из его результатов, основанных на дополнительном предположении о центре рассматриваемого тела, следует несколько более слабое утверждение чем-то, которое содержится в приведенной теореме.

Глава П также состоит из трех параграфов. В § 2.1 цриводятся некоторые известные факты о группах Шевалле над произвольным полем, которые затем используются в остальной части главы. Здесь также устанавливаются условия, при которых полупростой элемент группы Шевалле является коммутатором (цредложение 2).

Разложение Брюа в группе Шевалле указывает на ту важную роль в структуре этой группы, которую играет группа Вейля. В § 2.2 устанавливается некоторая редукция групп Вейля классивеских типов к типу Д^ (теорема 4). Это утверждение используется при доказательстве основной теоремы главы, оно представляет и самостоятельный интерес.

В § 2.3 доказывается основное утверждение о коммутаторной длине групп Шевалле над бесконечным полем.

Теорема 5. Если (5 — группа Шевалле над произвольным бесконечным полем, то.

Доказательство этой теоремы разбивается на две части: для групп классических типов используется только что упомянутая теорема, исключительные типы разбираются особым образом.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. П. Платонову за постоянное внимание к работе и советы, он также признателен В. И. Янчевскому за обсуждение результатов первой главы.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Определения. Как уже отмечалось во введении, мы используем обозначение коммутаторной длины коммутанта <3 ' группы О, которое было введено в [26] для случая конечных групп. В общем случае понятие коммутаторной длины определяет/ I ся следующим образом. На в существует функция Я: О —^Я (N — совокупность натуральных чисел): для любого уеб Я/Ср равно минимальному числу коммутаторов в в, произведение которых равно. Если существует конечное число ЯИ^ЛС^), то мы обозначаем его через Л (О) и называем коммутаторной I длиной С. Если рассматриваемая группа совершенна, т. е. I.

3-(у, то мы говорим просто о коммутаторной длине группы б .

Обозначения. Объекты, рассматриваемые в главе I, обозначены более или менее общепринятым образом. Основные оцределения и факты, относящиеся к ним, можно найти в [2], [3], [5]. В главе П используются обозначения и определения, принятые в книге [17].

Ссылки. В диссертации принята сквозная нумерация основных утверждений (теорем и предложений), нумерация вспомогательных утверждений в каждом параграфе своя.

1. Алгебраическая теория чисел. /Под ред. А. Фрёлиха и Дж. Касселсз/. — М.: Мир, 1969. — 483 с.

2. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969. 283 с.

3. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966. — 555 с.

4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл.1У-У1. М.: Мир, 1972. — 331 с.

5. Джекобсон Н. Теория колец. М.: Иностранная литература, 1947. — 287 с.

6. Кон П. Свободные кольца и их связи. М.: Мир, 1975. 422 с.

7. Курсов В. В. О коммутанте полной линейной группы над телом. Докл. АН БССР, 1979, т.23, $ 10, с.869−871.

8. Курсов В. В. Коммутаторы мультипликативной группы конечномерного центрального тела. Докл. АН БССР, 1982, т.26, № 2, с.101−103.

9. Курсов В. В. О коммутаторной длине групп Шевалле. Тезисы сообщ. ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции. — Минск, 1983, ч.1, с.III.

10. Курсов В. В. Комщтаторы в вещественных группах Шевалле. Докл. АН БССР, 1984, т.28, с.208−210.

11. Ленч С. Алгебра. М.: Мир, 1968. — 564 с.

12. Платонов В. П. Бирациональные свойства приведенной группы Уайтхеда. Докл. АН БССР, 1977, т.21, 1% 3, с.197−198.

13. Платонов В. П., Янчевский В. И. О гипотезе Хардера.- Докл. АН СССР, 1975, т.221, Ш 4, с. 784−787.

14. Платонов В. П., Янчевский В. И. для тел некоммутативных рациональных функций. Докл. АН СССР, 1979, т.249, JS 5, с. I064−1068.

15. Серр Ж.-П. Когомологии Гатуа. М.: Мир, 1968. — с.208.

16. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. — с.261.

17. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. -с. 192.

18. Carter R.W. Conjugacy classes in the V/eyl groups.-Compos, math., 1972, v. 25, Fasc. 1, p. 1−59.

19. Cohn P. The similarity reduction of matrices over a skew field.- Math. Z., 1973, Bd. 132, S. 151−163.

20. Pan K. Some remarks on commutators.- Arch. Math., 1954, v. 5, p. 102−107.

21. Gallagher P.X. Group characters and commutators.- Math. Z., 1962, Bd. 79, S. 122−126.

22. Gordon В., Guralnick R.M., Miller D.M. On cyclic commutators subgroups.- Aequationes Math., 1978, v.17, p.241−248.

23. Goto M. A theorem on compact semi-simple groups.- J. Math. Soc. Jap., 1949, v. 1, p. 270−272.

24. Guralnick R.M. On groups with decomposable commutators subgroups.- Glasgow Math. J., 1978, v. 19, p. 159−162.

25. Honda Kin’ya. On commutators in finite groups.- Comment. Math. Univ. St. Pauli, 1953, v. 2, p. 9−12.

26. Hsu. Ch'eng-hao. Commutators in the symplectic groups.-Shuxue Jinzhan, 1964, v. 7, p. 443−448.

27. Ito N. A theorem on the alternating group /4/^ (iV?/5). Math. Jap., 1951, v. 2, p. 59−60.

28. Kuyk W.J. Generic construction of non-cyclic division rings.- J. Pure and Appl. Algebra, 1972, v. 2, N 2, p. 121−130.

29. Nakayama T., Matsushima Y. liber die multiplikative Gruppe einer ^ -adischen Divisionsalgebra.- Proc. Imp. Acad. Jap., 1943, v. 19, p. 622−628.

30. Pasiencier S. Y/ang H.- C. Commutators in a complex semisimple Lie groups.- Proc. of A.M.S., 1962, v. 13, p. 907−913.

31. Qin, Jian-min. On commutators in orthogonal groups.- Acta Math. Sinica, 1965, v. 15, p. 708−719.

32. Ree R. Commutators in semi-simple algebraic groups.- Proc. of A.M.S., 1964, v. 15, N 3, p. 457−460.

33. Rehmann V. Kommutatoren in GL^C^D). -In: S K± von Schiefkorpern: Seminar Bielefeld-Gottingen, 1976. Berlin Heidelberg New York, 1980, S. 117−123. (Lect. Notes in Math.- v. 778).

34. Springer T. Sur les formes quadratics d’indice zero.- C.r. Acad. Sci., 1952, t. 234, p. 1517−1519.

35. Thompson R.C. Commutators in the special and general linear groups.- Trans, of A.M.S., 1961, v. 101, N 1, p. 16−28.

36. Villari G. Sui commutatori del gruppo modulare.- Boll. Un. Math. Ital., 1958, v. 13, p. 196−201.