Проблема суммирования арифметических функций по числам, свободным от ?-ых степеней

Одной из основных задач в аналитической теории чисел является задача изучения асимптотического поведения величины п<�х при х —> оо с мультипликативной функцией /: N -" С.

Первый результат в этом направлении для функции Эйлера = «? (1) dn принадлежит Мертенсу [1], доказавшему в 1874 г., что.

N IN2.

Y/.

7 Г n=1.

Первый результат для функции суммы делителей натурального числа dn принадлежит Дирихле [2], доказавшему в 1849 г., что.

N 2.

J2a (n) =^N2 + 0(NlogN). п=1.

Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И. М. Виноградовым и Н. М. Коробовым в 1958 г., А. З. Вальфиш [3] и А. Н. Салтыков [4] улучшили результат для функции Эйлера с оценкой остаточного члена в виде.

О (iV (logiV)2/3(loglogiV)1+e) .

Оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции а (п) с оценкой остаточного члена в виде.

О (jV (logiV)2/3) •.

В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы.

Ел"), п<�х п? М где f (n) — заданная арифметическая функция, М — некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел.

В настоящей работе в качестве функции /(п) рассматриваются функции <�р (п), <�р (п) -<�р (п +1), <�т (п), а (тг) -cr (n+1). В качестве множества Ммножество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней (при к > 2). Обозначим его через МкА также в роли М выступает множество таких натуральных чисел п, что п свободно от к-ых степеней и (n-f-1) свободно от 1-ых степеней (при к > 2 и I > 2).

Натуральное число п называется числом, свободным от к-ых степеней (при к > 2), если для любого простого р выполняется условие рк п.

Приведем некоторые утверждения о числах, свободных от к-ых степеней.

Доказано (см., например, [5]), что характеристической функцией множества Мк является функция.

Х*(п) = ?>(<0- (2) dkn.

Определим величину.

Qk (x) = 1 п<�х.

— количество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, не превосходящих х. Применяя формулу (2), получим х =? Е м.

П<�х dkn d.

Q2{x) =^х + О (у/х).

В асимптотической формуле для Qk (x) можно получить более точную оценку остаточного члена в виде с некоторой константой с (к) > 0, применив оценку суммы значений функции Мёбиуса.

ЕМп) = о (£), (3) где возрастающая функция д (х) согласно [3] (см. также [7]) имеет вид с fog г)3/5 д (х) = е (loglogx)1/5 (с > о). (4).

В конце сороковых годов XX века Л. Мирский [9], [10] рассматривал арифметическую задачу, которая состоит в следующем. Пусть даны s различных целых положительных чисел li,., ls. Найти асимптотику величины F (x) — количества натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + li, ., п + ls свободны от к-ых степеней. Мир-ский получил асимптотическую формулу для F (x), главный член которой имеет порядок х, а остаток оценил как 0{x2^k+v>+e). Доказательство основано на представлении характеристической функции множества натуральных чисел, свободных от к-ых степеней в виде формулы (2).

Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, P.P. Хэлл [И] получил асимптотическую формулу количества тех натуральных чисел п, не превосходящих х, для которых числа п + h, ., 71 + ls являются бесквадратными. Остаточный член при s > 2 был.

В 1932 г. Л. Карлиц [13] рассматривал несколько иную задачу, а именно нахождение асимптотики количества бесквадратных чисел п, не превосходящих х, и таких, что п+1 также бесквадратно. Элементарным ме.

14] посредством метода решета усилил результат Карлица с оценкой.

Т.К. Иконниковой [5], а именно получена асимптотика количества натуральных чисел п, не превосходящих х, свободных от к-ых степеней, и таких, что п + 1 свободно от 1-ых степеней. Главный член асимптотики также имеет порядок х, а остаточный член оценен как О.

Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами, свободными от к-ых степеней. В 1931 г. Т. Эстерман [15] доказал асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых, а и 6, каждое из которых свободно от к-ых степеней. Эта асимптотика имеет вид тодом он оценил остаточный член как 0(х2/3+6). Позднее Д. Р. Хиз-Браун остаточного члена в виде 0(х7/и (log ж)7). Более общая задача решена с* = П (! ~ 2Р" *) • р

Более точную оценку остаточного члена в виде 0(n2/3 log2 х) получил Е.

Коен [16] в асимптотической формуле Эстермана при к = 2. Позднее Г. Ригер привел в работе [17] более общий результат, доказав асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых, а и 6, где, а свободно от к-ых степеней и b свободно от 1-ых степеней. При к < I асимптотика имеет вид.

Е °(-***). n=a+b Р |П о емк, ьем1 где cv = Y[(i-p-k-p-1). р

Таким образом, исследованиями в данной предметной области занимались в разные годы многие авторы, получившие интересные результаты. В тоже время, на взгляд соискателя, при изменении отдельных условий могут быть получены результаты, которые будут иметь важное значение для дальнейших исследований в данной предметной области. Изложенное обусловливает актуальность проведенного исследования.

Целью работы является поиск асимптотик сумм п<�х п<�х п<�х п<�х пемк п€Мк п€Мк «еМд.

П+16ЛГП+16Мп<�х п<�х п<�х п<�х пемк пеМк п€Мк пе~Мк n+i?M[ n+ieMi.

Методы исследования. Доказательства основаны на представлении характеристической функции множества чисел, свободных от к-ых степеней формулой (2). Также в доказательствах применяются производящие ряды Дирихле, используются известные оценки сумм некоторых функций.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Получены асимптотики сумм п<�х п<�х п<�х п<�х пеМь пбЛ/д. п? Мк «бТЦ.

П+16Л/- п+1бЛ/г.

П<1 п<�х п<�х п<�х п€Мд. п€Мк п€Мк п+1 &euro-М[ п+1бМ (.

Также получены более точные оценки остаточных членов в асимптотиках сумм п<�х п<�х п&Мк пбМд. в предположении, что верна гипотеза Римана для ?(s). Кроме того, в оценках остаточных членов сумм п<�х п<�х п<�х п<�х п? Мк п? Мк п€Мк п&euroМк п+1 €М[ п+16Мпроизведена замена х£ на log2 ж, а в оценках остаточных членов сумм <�р (п)-<�р (п+ 1), XI сг (п) • 67(n+ 1) п<�х п<�х п€Мк.

П+1 €М (П+16Мна log4 х. Доказано, что постоянные при главных членах во всех суммах отличны от нуля.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании вопросов аналитической теории чисел, в частности при изучении асимптотического поведения сумм значений арифметических функций на различных множествах. Кроме того, их можно использовать в учебном процессе при чтении специальных курсов по теории чисел в высших учебных заведениях.

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации 91 страница. Библиография включает 26 наименований.

В первой главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций <�р (п) и (р (п)-<�р (п+1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n + 1) свободно от £-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 1 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера на множестве М&-.

ТЕОРЕМА 1. Для любого натурального к >2 при х —> оо выполняется асимптотическое равенство п<�х n? Mj. где с некоторой константой с (к) > 0.

Доказательство проводится с использованием производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса. Это позволило улучшить оценку остаточного члена, полученную ранее в работе [18] в виде О (х1+1/к+е). В теореме 2 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для ?(s).

ТЕОРЕМА 2. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для С (s). Тогда с некоторой константой с (к) > 0.

Эти результаты получены автором в работе [19]. В теореме 3 доказывается асимптотика суммы значений функции Эйлера ip (n) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (n + 1) свободно от 1-ых степеней.

ТЕОРЕМА 3. Для любых натуральных к > 2, I > 2 при х -" оо выполняется асимптотическое равенство <�р (п) = в^х2 + О log2 х) ,.

Z /.

П< X nZMfc n+i ел/(где.

П ^ р2 pk pi рк+1 ^.

Доказательство основано на представлении характеристической функции множества Мк в виде формулы (2). Также произведены действия по замене х£ на log2 х в оценке остаточного члена. Этот результат получен автором в [20].

В работе [5] Т. К. Иконникова рассмотрела проблему делителей Инга-ма на множестве чисел без к-ых степеней. Ею были получены асимптотики сумм значений функции т (п) • т (п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней. Доказано, что при любых натуральных к > 2,1 > 2 и при х —> оо выполняются асимптотические равенства.

Y^ г (п) ¦ т (п + 1) = А^х In2 х + В®х In х + С (к)х + О, п<�х п€Мк.

J2 т[п) • т (п + 1) = D^x In2 ж + E^l)x lnx + F^x + О, n< I neMj. n+16M (где h = min (k, l), B{kC[k E[k*F<-w> - постоянные, nfi-1- —+ — -—)><>,.

11 утр/ pk pk-^-2 J ' и.

11 ^ pk pk-^-X pk—2, pi pl-{~2, J.

В данной работе вместо функции т (п) • т{п + 1) рассмотрена функция ip (n) • (р (п + 1) и в теоремах 4 и 5 доказываются асимптотики сумм значений этой функции на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней.

ТЕОРЕМА 4. Для любого натурального к >2 при х -> оо выполняется асимптотическое равенство ф) • <�р (п + 1) = хг + О (x2+1'k log2 я), п< X пемк где р

ТЕОРЕМА 5. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х -" оо выполняется асимптотическое равенство.

Y, Ч>(*) • ?>(«+ 1) = V + О log4я), п<�х n? Mf. n+ieMj где flYl — - - — - I + J- + > п.

11 р2 pk pi ^ pk+1 Т pl+l j ^.

Доказательство теорем основано на представлении характеристических функций множеств Мк и Mi в виде формулы (2). Произведены действия по замене х£ на log2 х и log4 ж в оценках остаточных членов. Результаты теорем 4 и 5 получены автором в [21] и [22] соответственно.

Во второй главе настоящей работы изучается асимптотическое поведение сумм значений функций а (п) и а (п) • <�т (п + 1) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, и на множестве натуральных чисел п таких, что п свободно от к-ых степеней и (n +1) свободно от 1-ых степеней. Доказано пять теорем. В теореме 6 доказывается асимптотика суммы значений функции а (п) на множестве Мк.

ТЕОРЕМА 6. Для любого натурального к > 2 при х сю выполняется асимптотическое равенство *lG{k)x2 + о ,.

ПбМд, где) = П ~^k ~ + > с (к)~ некоторая положительная константа.

Применение производящих рядов Дирихле и оценки суммы значений функции Мёбиуса позволило в оценке остаточного члена вместо множителя х£ получить g v ' (log log z)1^.

В теореме 7 приведена более точная оценка остаточного члена в предположении, что верна гипотеза Римана для ?(s).

ТЕОРЕМА 7. Предположим, что справедлива гипотеза Римана для ф). Тогда а (п) = ^G^x2 + О, п<�х п? М). с некоторой константой с (к) > 0.

В теореме 8 доказывается асимптотика суммы значений функции а (п) на множестве натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней, и таких, что (п + 1) свободно от 1-ых степеней.

ТЕОРЕМА 8. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х оо выполняется асимптотическое равенство а (п) = tDmx2 + о log2^ j п<�х nEMfc п+1 €М[ где.

В теоремах 9 и 10 доказаны асимптотики сумм для функции а (п) • <�т (п + 1) на множестве чисел без k-ых степеней.

ТЕОРЕМА 9. Для любого натурального к > 2 при х —> оо выполняется асимптотическое равенство.

Y, • + 1) =^Л3 + О (®2+1/* log2, п<�х пб Mf. где.

ТЕОРЕМА 10. Для любых натуральных к > 2 и I > 2 при х —> оо выполняется асимптотическое равенство г (п) ¦ а (п + 1) = + О log4 ж), п<�х n+l€Ml где.

J.А. i^pi pk pk+2 pi.

Доказательство теорем 8, 9 и 10 основано на представлении характеристических функций множеств и Mi в виде формулы (2), а также на полученной в [23] А. И. Виноградовым и Ю. В. Линником оценке суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии, что позволило заменить х£ на log2 х (теоремы 8 и 9) и log4 х (теорема 10) в оценках остаточных членов. Результаты теорем второй главы доказаны в работах [24] и [25].

Результаты исследования апробированы на семинарах кафедры теории чисел Московского педагогического государственного университета под руководством профессора Д. А. Митькинана V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Тула, 19−24 мая 2003 г.) — на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова (Саратов, 13−17 сентября 2004 г.).

0.

1. Mertens F. Uber einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie //J. reine und angew. Math. 1874. 77. № 4. S. 289−338.

2. Dirichlet // Abhandl. Akad. Berlin. 1849. P.69−83. (Werke, ii. 49−66).

3. Walfisz Arn., Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Deutsch. Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1963.

4. Салтыков А. И. О функции Эйлера // Вестник Москов. ун-та, сер. матем., мех. 1960. № 6. С. 34−50.

5. Иконникова Т. К. Проблема делителей Ингама на множестве чисел без к-ых степеней: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Моск. пед. гос. ун-т. М., 2001. -66 с.

6. Gegenbauer L. Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie // Denkschriften der Akademie der Wissenschaften zu Wien. 1885. 49. Abt. 1. P. 37−80.

7. Воронин C.M., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. M.: Физмат-лит, 1994.

8. Постников А. Г.

Введение

в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

9. Mirsky L. Aritmetical pattern problems relating to divisibility by r-th powers // Proc. London Math. Soc. (2). 1949. V.50. P. 497−508.

10. Mirsky L. Note on an asymptotic formula connected with r-free integers // Quart. J. Math. (Oxford). 1947. V. 18. № 71. P. 178−182.

11. Hall R.R. Square-free numbers on shot intervals // Mathematika. 1982. V. 29. P. 7−17.

12. Tsang K.-M. The distribution of r-tuples of square-free numbers // Mathematika. 1985. V. 32. № 2. P. 265−275.

13. Karlitz L. On a problem in additive aritmetic // Quart. J. Math. (Oxford) Ser. 3. 1932. P. 273−290.

14. Heath-Brown D.R. The square sive and consecutive square-free numbers // Math. Ann. 1984. V. 266. № 3. P.251−259.

15. Estermann T. On the representations of a number as the sum of two numbers not divisible by k-th powers //J. London Math. Soc. 1931. V. 6. Part. 1. № 21. P. 37−40.

16. Cohen E. The number of representations of an integer as a sum of two square-free numbers // Duke Math. J. 1965. V. 32. № 1. P. 181−185.

17. Rieger G.J. Einige Satze uber k-freie Zahlen // Math.Nachr. 1963. Bd.25. № 3. S. 159−168.

18. Орлова С. В. Функция Эйлера и числа свободные от k-ых степеней. //Сборник материалов по итогам научно-исследовательской деятельности студентов в области гуманитарных, естественных и технических наук в 2002 году. М.: «Прометей» МПГУ, 2002. С. 370−373.

19. Орлова С. В. О среднем значении функции Эйлера на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней // Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. JI.H. Толстого. Том VI. Вып. 3(15). 2005. С. 139−150.

20. Орлова С. В. Суммирование значений арифметической функции на множестве чисел без к-ых степеней // Чебышевский сборник. -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. Том VI. Вып. 1(13). 2005. С. 157 162.

21. Виноградов А. И., Линник Ю. В. Оценка суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии // Успехи математических наук. 1957. Т. 12. № 4. С. 277−280.

22. Орлова С. В. Арифметические функции и числа, свободные от к-ых степеней // Известия ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. -Тула: Изд-во ТулГУ. Вып. 1. 2006. С. 214−221.

23. Орлова С. В. Суммирование значений функции а (п) на множестве натуральных чисел, свободных от к-ых степеней. -Деп. в ВИНИТИ 20.04.2006. ДО537-В2006. 31 с.

24. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.