Исследование прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов обыкновенных конечно-разностных систем и обыкновенных дифференциально-разностных систем

Интенсивно развивающимися разделами математической теории являются качественная теория и теория устойчивости динамических процессов, определяемых различными типами уравнений (ОД-система-ми, ОКР-системами, ОДР-системами и т. д.). Качественная теория и теория устойчивости, разработанные великими учеными А. Пуанкаре С 70J и А. М. Ляпуновым [ 40] получили дальнейшее развитие в работах советских и зарубежных ученых. Особенно интенсивно разрабатывался прямой (второй) метод Ляпунова исследования устойчивости и качественных свойств динамических процессов. Прямой метод получил значительное обобщение и развитие в многочисленных работах советских и иностранных ученых. Среди советских ученых большой вклад в развитие современной теории устойчивости и, в частности, прямого метода Ляпунова внесли Н. Г. Четаев [ 86 J, А.М.Ле-тов[50], И. Г. Малкин [ol], КЛ. Персидский [68], Н.Н.Красов-ский С38, 39], В. В. Немыцкий [63, 64], Н. П. Еругин [25−27], Е. А. Барбашин [7−9], В. И. Зубов [3l], Б. С. Разумихин [71−73], В. М. Матросов [56], Э. Л. Эльсгольц [95, 9б], С. Н. Шиманов [93,94], А. А. Шестаков [52, 88−91] и другие ученые. Среди иностранных ученых заметный вклад в развитие прямого метода Ляпунова принадлежит Р. Беллману [ II, ЮО], Т. Иосидзаве [ 130, I3l], В. Хану [ill, 112], Ж. ЛаСаллго [49, 119, 120], Дж. Хейлу [l09, lio], Р. Драйверу [i05], Ж. Като [ II4-II7], Дж. Селлу [ 125], Р. Миллеру [l22], Н. Рушу [78], А. Халанаи [81, 82, 108] и другим ученым.

В настоящее время классический прямой метод Ляпунова и его различные модификации являются не только одним из основных методов исследования устойчивости решений ОД-систем, но и одним из основных методов исследования устойчивости решений ОКР-систем.

ОДР-систем, дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений и уравнений других типов. Работами О. Перрона [124], П .В .Бромберга [13], В. Хана [1ПД12] и других ученых было положено начало изучению устойчивоподобных свойств решений нелинейных ОКР-систем. Вопросам устойчивости решений ОКР-систем посвящены работы советских ученых [ю, 12, 14, 21, 22, 32, 33, 36, 55, 58, 62, 65−67, 79, 84 ] и работы иностранных ученых [15, 82, 100, 103, 104, 106, ИЗ, 126, 127].

До 1949 года изучались ОДР-системы с постоянными отклонениями и лишь отдельные системы, встречающиеся в приложениях. Систематически изучать общие классы ОДР-систем начал А. Д. Мышкис [5961]. Он решил ряд общих задач теории ОДР-систем (теоремы существования и единственности, непрерывной зависимости).

Изучению свойств устойчивости решений ОДР-систем прямым методом Ляпунова посвящены работы Н. Н. Красовского [38, 39], Л. Э. Эльсгольца [95, 963, Б. С. Разумихина [71−733, С. Н. Шиманова [93, 94], В. И. Рожкова [76, 77], Н. В. Азбелева [з, 4], А.М.Звер-кина [28−303, Р. Беллмана [II3, Д. Хейла [ТО9,По], А. Халаная [81, 1083, Н. С. Громовой [5, 18, 19], А. С. Авджяна [I, 2], В. Д. Горяченко [16, 17] и других ученых.

Большой вклад в теорию устойчивости ОДР-систем внесли: научный коллектив университета Дружбы народов имени Патриса Лу-мумбы [ 18, 19, 28−30, 34, 57, 76, 95, 96], научный коллектив семинара Н. В. Азбелева, работы участников которых опубликованы в трудах Московского и Тамбовского институтов химического машиностроения, Пермского политехнического института и в общесоюзных журналах [3, 4] .

За последние годы в самых различных областях механики, Физики, биологии, технических наук нашла приложения теория устойчивости СДР-систем. К исследованию указанных систем приводят физические и технические задачи, в которых сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в моменты, предшествувдие данному.

В задаче применения прямого метода Ляпунова к (ДР-системам в ({^ имеются два подхода:

1) подход Л.Э.сйьегольца [95, 96] и Б. С. Разумихина С71−73], связанный с поиском конечномерных функций Ляпунова;

2) подход Н. Н. Красовского [ 38, 39], связанный с поиском функционалов Ляпунова в классе функционалов, определенных на отрезках траекторий.

Первый подход назовём методом функций Ляпунова, а второй подход — методом функционалов Ляпунова.

В работах Л. Э. Зльсгольца [ 95, 96] показано, что основные формулировки и доказательства теорем прямого метода Ляпунова для СД-систем сохраняются и для ОДР-систем, если использовать функции Ляпунова. Однако приемы перенесения на СДР-системы метода функций Ляпунова для СД-систем оказались мало плодотворными. Более эффективным стало развитие метода функций Ляпунова для СДР-систем, предложенного в работах Б. С .Разумихина [ 71−73] «который указал условия, позволяющие значительно облегчить оценку знака производной функций Ляпунова.

Метод функций Ляпунова для СДР-систем довольно широко применяется для исследования устойчивости ряда прикладный конкретных задач. Однако метод функций Ляпунова обладает существенным недостатком, состоящем в его неуниверсальности, необратимости теорем об устойчивости и асимптотической устойчивости. Использованне функционалов Ляпунова для ОДР-систегл есть естественное обобщение прямого метода Ляпунова для ОД-систем. Рассматривая ОДР-систему как операторное уравнение в функциональном пространстве и используя функционалы Ляпунова, Н. Н. Красовский [38, 39J внес существенный прогресс в применении прямого метода Ляпунова к задачам теории устойчивости ОДР-систем. Использование функционалов Ляпунова в некотором функциональном пространстве сделало прямой метод Ляпунова универсальным, а теоремы прямого метода для ОДР-систем оказались обратимыми. Однако метод функционалов Ляпунова при практическом применении наталкивается на ряд трудностей. Для установления асимптотической устойчивости решений ОДР-систем в теореме Н. Н. Красовского требуется (как и в теореме А. М. Ляпунова для ОД-систем) определенная положительность самого функционала и определенная отрицательность его производной. в L? J Е. А. Барбашин и Н. Н. Красовский частично ослабили условия теорем Ляпунова для автономных и периодических ОД-систем. Ж. ЛаСалль [ 120] сформулировал так называемый принцип инвариантности для автономных ОД-систем. Затем Дж. Хейл?Ю9, ПО] обобщил принцип инвариантности Ж. ЛаСалля на бесконечномерное пространство для автономных ОДР-систем. Принципы инвариантности для БД-систем в бесконечномерном пространстве подробно изложены в обзоре А. А. Шестакова С92].

В теории устойчивости ОДР-систем получены многочисленные результаты [б, 23, 24, 35, 53, 54, 69, 74, 80, 83, 85, 87, 98, 99, 101, 102, 107, 118, 123, 130] .

Хотя теория устойчивости для ОКР-систем и ОДР-систем, основанная на классическом прямом методе Ляпунова, в основных чертах построена, однако исследование устойчивоподобных свойств решений.

— II неавтономных ОКР-систем и неавтономных ОЩР-еистем с помощью функций и функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной является актуальным и мало разработанным.

Настоящая диссертация посвящена исследованию прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов ОКР-систем и СДР-систем с помощью функций Ляпунова и функционалов Ляпунова на некоторых множествах фазового пространства^ Использование этих функций и функционалов для качественных исследований СД-систем позволило получить важные результаты как в классификации особых точек, так и в поведении траекторий в целом [ 63, 64]. Под устойчивоподобными свойствами решений в диссертационной работе понимаются различного типа свойства устойчивости, различного типа свойства притяжения, свойства ограниченности и свойства сходимости того или иного типа. Для исследования устойчивоподобных свойств решений ОКР-систем и ОДР-систем привлекается также аппарат так называемой теории предельных систем, рассмотренный в [ 97 ] .

Используя сдвиг правых частей неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем и так называемые предельные ОКР-системы и ОДР-системы, построены Щ-системы из решений изучаемых неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем. Это дает возможность терминалогию и результаты топологической динамики [64] применить к неавтономным ОКР-системам и неавтономным СДР-системам для исследования устойчивоподобных свойств их решений. Построение БД-систем для неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем является важным методом для изучения устойчивоподобных свойств решений неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем.

— 12.

Сочетая информацию, получаемую из функций Ляпунова и функционалов Ляпунова на некотором множестве фазового пространства с информацией об инвариантных свойствах предельных множеств, устанавливаются устойчивоподобные свойства решений неавтономных ОКР-систем и неавтономных ОДР-систем. Интерес к изучению устойчивоподобных свойств решений ОКР-систем и СДР-систем связан не только с нуждами теории устойчивости и качественной теории этих систем, но и возможностями их приложений в различных областях науки и современной техники, особенно для ряда прикладных задач теории колебаний, теории автоматического регулирования, динамики ядерных реакторов и т. д.

Для изучения свойств сходимости решений неавтономной ОДР-системы модифицирован прямой метод функционалов Ляпунова^.

Б диссертации рассмотрены устойчивоподобные свойства решений ОКР-систем следующих типов:

I. Автономной ОКР-системы вида где ОС (Х), |(ОС (Ю) — точки И — мерного евклидова пространства й*1 <3) — открытое множество в Цп. 2. Неавтономной ОКР-системы вида.

Х1к+1)=<^(к—зс (Ю),^: Я* (2) где ОС (К), 0-(К, Х (Ю) — точки 1Ъмерного евклидова простои. «* ранства Ц ^ множество всех неотрицательных целых чисел.

Б диссертации рассмотрены также устойчивоподобные свойства следующей обыкновенной дифференциально-разностной системы вида.

0сСЦ=Ра, зс (бГ))в (.ббЩ 1>-ц (3) где заданный функционал р определен для Ц+ и значений х (6) где оС й <04 • Теоремы существования и единственности для ОДР-системы (3) получены многими авторами при различных ограничениях на Г [ 38, 59, 60, 95, 105]. В [38]и в [71−73 ] рассмотрена менее общая ОДР-система где Ъ^о — заданная постоянная и ГЗС (б)), г t [ - 1} а,. у а} «заданный функционал, определенный для? и значений0С (б) =(5X1(6)^.^0СпГб)при {-Т: ^ 6<» {-.

Частными случаями ОДР-системы вида (3) являются ЭДР-систе-мы следующего вида: а) = —(4) где Сг — пространство непрерывных функций & :

Ив1| = 4ир|0ОС)|, ОСь (т): = Оса + <0 VTвi’XoJ^ где X «открытое множество в Съ) в) = се) где 0 ^ сО (£) Хо^О } ?0 — непрерывные функции от входящих аргументов.

Диссертация содержит 131 страницу машинописного текста. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 131 наименований, на русском и иностранном языках.

1. Авджян A.C. Об ограниченности решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Автореферат канд. диссертации. — М., 1966.

2. Авджян A.C. Равномерная ограниченность решении систем дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом. Учёные записки Ярославского государственного пединститута, 1968, вып.60, с.12−21.

3. Азбелев Н. Б., Максимов Б. П. Уравнения с запаздывающимся аргументом (обзор). Дифференц. уравнения, 1982, т.18,И2, с.2027;2050.

4. Азбелев Н. В., Сулавко Т. С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом. -Дифференц. уравнения, 1974, т.10, Н2, с.2091;2100.

5. Алексеевская Н. Л., Громова Н. С. Второй метод Ляпунова для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом.- Университет Дружбы народов, 1977, вып. Ю, с. 3−40.

6. Байков В. Г., Константинов М. М. Исследования по функциональной теории и теории устойчивости дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в Народной Республике Болгарии.- В кн.: 23, с.34−42.

7. Барбашин Е. А., Красовский Н. И. Об устойчивости движения в целом. -ДАН СССР, 1952, т.86, № 3, с.453−456.

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

9. Барбашин Е. А. 0 двух схемах доказательства теорем об устойчивости по первому приближению. -ДАН СССР, 1956, т. Ш, с.9−11. 119.

10. Безикович Я. С. Исчисление конечных разностей. Л.: ЛГУ, 1939.

11. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально разностные уравнения.- М.: Мир, 1967.

12. Бронштейн И. У. Расширения минимальных групп преобразований.- Кишинев, 1975.

13. Бромберг П. В. Устойчивость и автоколебания импульсных систем регулирования. Оборонгиз, 1953.

14. Быков Я. В., Линенко В. Г. 0 некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравнений. Фрунзе: Илим, 1968.

15. Видаль П. Нелинейные импульсные системы.- М.: Энергия, 1974.

16. Горяченко В. Д. Методы исследования устойчивости в динамике ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1977.

17. Горяченко В. Д. Об устойчивости системы «хшцник-жертва» как объекта с запаздыванием. Прикладные задачи динамики систем. Вып. 3. Сб. Горьковский университет, 1980, с. 14−27.

18. Громова Н. С. Устойчивость решений нелинейных уравнений нейтрального .типа в асимптотически критическом случае.- Мате-мат. заметки, 1967, т.1, № 6. с.715−726.

19. Громова Н. С., Лисаяа Пенья Маркое. Метод векторных функций Ляпунова для систем с запаздыванием. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. — Университет Дружбы народов, 1979, вып. П, с. 14−22.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

21. Демидович В. Б. Об асимптотическом поведении решений конечноразностных уравнений. Часть I. Общие положения. Дифферент. уравнения, 1974, т.10, ЖЕ2, с.2267−2278.

22. Демидович В. Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений. Часть П. Правильные уравнения.- Дифференц. уравнения, 1975, т. II, $ 6, с.2091;2107.

23. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.- Киев: Наукова думка, 1977.

24. Дуболарь В. К. Динамические системы с запаздыванием. -ДАН СССР, 1968, т.183, №.

25. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972.

26. Еругин Н. П. I) ПММ, 1950, т.14, &5, с.459−512;

27. ПММ, 1951, т.15, № 2, с.355−366;

28. ПММ, 1952, т.16, № 3, с.355−361.

29. Еругин Н. П. Труды Второго Всесоюзного совещания: по теории автоматического регулирования. Изд-во АН СССР, т.1, 1955.

30. Зверкин A.M., Каменский Г. А., Норкин С. Б., Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. -УМН, 1962, т.17, вып.2 (104), с.77−164.

31. Зверкин A.M., Каменский Г. А., Норкин С. Б., Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом.- Университет Дружбы народов, 1963, вып.2, с.3−49.

32. Зверкин A.M. Применение теорем сравнения к исследованию устойчивости уравнений с запаздыванием. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. — Университет Дружбы народов, 1969, вып.7, с.3−16.

33. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Изд-во ЛГУ, — 121.

34. Иртегов В. Д. К вопросу построения функций Ляпунова. Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. — Изд-во: Наука, Сибирское отд., 1981, с.115−124.

35. Иртегов В. Д. Об устойчивости решений разностных уравнений.- Труды Казан, авиад. ин-та, 1970, вып.125, с.14−18.

36. Каменский Г. А., Норкин С. Б., Зльсгольц Л. Э. Некоторые направления развития дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тр. семинара по теории дифференц. урав-нений с откл. аргументом. — Университет Дружбы народов, 1968, вып.6, с.3−36.

37. Колмановский В. Б. Об устойчивости нелинейных систем с запаздыванием. Математические заметки, 1970, т.6,№ 6,с.743—751.

38. Карев Б. Н., Шиманов С. Н. Две теоремы о неустойчивости для разностных систем. В сб.: Устойчивость и нелинейные колебания. — Свердловск, 1979, с.42−50.

39. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

40. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

41. Красовский H.H. К теории второго метода Ляпунова A.M. для исследования устойчивости. Матем. сб., 1956, т.40 (82).

42. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения, т.2, — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956.

43. Лапшина Р. Б. (совм. с Шестаковым A.A.). О локализации предельного множества в неавтономных разностных системах. В сб.: Управление, надежность и навигация. — Саранск, 1980, с.27−32.

44. Лапшина Р. Б. (совм. с Шестаковым A.A.). Об асимптотических- 122 свойствах решений неавтономной разностной системы. В сб.: Некоторые вопросы качественной теории дамп ер енциальных уравнений и теории управления движением. — Саранск, 1980, с.131−134.

45. Лапшина P.E. Локализации предельного множества для конечно-разностной системы. В сб.: Вопросы устойчивости и колебаний в механике железнодорожного транспорта. — М., Труды ВЗИИТа, вып. III, 1981, с.96−98.

46. Лапшина P.E. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных систем. В сб.: Вопросы устойчивости и•колебаний в механике железнодорожного транспорта. М., Труды ВЗИИТа, вып. III, 1981, с.49−53.

47. Лапшина P.E. (совм. с Шестаковым A.A.). Теорема о сходимости решений разностной системы к нуль-множеству мажоранты функции Ляпунова. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1982, с.133−134.

48. Лапшина P.E. О теоремах притяжения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В сб.: Управление, надежность и навигация. Саранск, 1982, с.83−87.

49. Лапшина P.E. Об асимптотическом поведении решений функционально-дифференциальной системы. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. — Горький, 1983, c. V6SO.- 123.

50. ЛаСалль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Мир, 1964.

51. Летов A.M. Математическая теория процессов управления.- М.: Наука, 1981.

52. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

53. Малышева И. А., Шестаков A.A. О сходимости решений в неавтономных дифференциальных системах. Дифференц. уравнения, 1980, т.16, J63, с.424−432.

54. Мансуров К. Применение метода функций Ляпунова к некоторым задачам теории устойчивости систем с запаздыванием. Автореферат канд. диссертации. — Алма-Ата, 1968.

55. Мартынюк Д. И. Лекции по теории устойчивости решений системс последействием. Институт математики. АН УССР. -Киев, 1971.

56. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.

57. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова.' Докторская диссертация. — М., 1968.

58. Мисник А. Ф. Второй метод Ляпунова для уравнений нейтрального типа. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. — Университет Дружбы народов, 1968, вып.6, с.78−108.

59. Миролюбов A.A., Солдатов М. А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

60. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с за-паздывающимся аргументом. УМН, 1949, т.4, № 5, с.99−141.

61. Мышкис А. Д., Зльсгольц Л. Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- УМН, 1967, т.22, №, с.21−57. 124.

62. Мьппкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМП, 1977, т.32, Ш, с.173−202.

63. Нафталевич А. Г. О применении метода итераций для решения разностного уравнения. Мат. сб., 1962, т.57, $ 2, с.151—178.

64. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИГТЛ, 1949.

65. Панов A.M. Качественное исследование траекторий разностных уравнений в окрестности неподвижной точки. Изв. вузов, Математика, I960, т.14, Ж, с.166−174.

66. Панов A.M. Качественное поведение траекторий системы разностных уравнений в окрестности особой точки. Изв. вузов, Математика, 1964, т.40, № 3, c. III-115.

67. Персидский К. П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Докторская диссертация, 1946.

68. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

69. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: 1ТТИ, 1947.

70. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием.- ПММ, 1956, т.20, с.500−512.

71. Разумихин Б. С. Применение метода Ляпунова к некоторым задачам устойчивости движения. Докторская диссертация.-М., 1958,.

72. Разумихин Б. С. Применение метода Ляпунова к задаче устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1960, т.21, с.740−749.

73. Репин Ю. М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием. ПММ, М., 1965, т.29, 163, с.564−572.

74. Сибирский К. С.

Введение

в топологическую динамику. Кишинёв, 1970.

75. Рожков В. И. Об оценке решения разностного уравнения с малым запаздыванием при слабой устойчивости. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. — Университет Дружбы народов, 1975, вып.9, с.39−52.

76. Рожков В. И. Уравнения нейтрального типа с переменным малым запаздыванием. Дифференц. уравнения, 1966, т.2, № 3,с.407−416.

77. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

78. Трусов А. Ф. Устойчивость в цел ом. нестационарных разностных систем. В сб.: Устойчивость и нелинейные колебания.- Свердловск, 1979, с.154−163.

79. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981.

80. Халанай А. Критерий устойчивости для систем дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом. тосОх.

81. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 126.

82. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными, и переменными отклонениями. Матем., Сб. переводов, 1961, т.5, № 6, с.73−98.

83. Хусаинов Д. Я. Об исследовании устойчивости решений разностных систем вторым методом Ляпунова. В кн.: Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. -Сб. научных трудов. Киев: Наукова думка, 1980, с.149−153.

84. Цыпкин Я. З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. Автом. и телем., 1946, т.6 12.

85. Шестаков A.A. О локализации предельных множеств неавтономной системы с помощью функций Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, МО, с. 1909,.

86. Шестаков A.A., Меренков Ю. Н. О притяжении траектории дифференциальной системы множеством нулей мажоранты функции Ляпунова. Изв. вузов, Математика, 1981, № 8, с.55−59.

87. Шестаков A.A., Меренков Ю. Н. Локализация предельного множества решения с ограниченным интервалом определения. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, № 8, с.1515−1517.

88. Шестаков A.A., Меренков Ю. Н. О локализации предельного множества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, HI, с.2017;2027.

89. Шестаков A.A. Теория и приложения обобщенного прямого метода Ляпунова для абстрактных динамических систем (обзорсовременного состояния геометрического направления в прямом методе Ляпунова). Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, М2.

90. Шиманов С. Н. Некоторые задачи теории устойчивости и колебаний систем с запаздыванием. Диссертация. — М., Институт? механики АН СССР, 1963.

91. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

92. Ol. ?kdm Ж р., Ьжуо & p.^ncLMiccxl ьи?>Ы.тъ} ytafo-hhj iiueoxtj and (Xji^licalLoi^, ~ &2?dui ~7&?cI??iei^ МиГ-Уош, SfiiLiiGjVL 196?, p. 1−416.

93. JV. У. SfitincfJt ffcddiexcj, b&dity J9W. 'tloikn. Ж diu Лпгёигийаг^ dore Jlgth-oAjLtycLfitLtiotf шл (^?ijmrt^ato 1958, 156, S .ЧЫ-Ш.112. lioJth. W.^JkloxjuL and J^aznAuicj (he dixickn Jktkcck U-on. itjxLjititiotf, bo/ditz — %ttinc^n — «Xeioklhw :

94. R.e.- &&tlvxmj.e. Coniul Syahm JLncdtjMo Q-hcL tyzUna ifca Ш «kwncl Jlhikod «o|- licLjumotf.J.ofr ?mc etiqLnwuity, ?96 0, if. 8 2, р. Ъ9</-Ч00.^114. iiaio X (/ On iiCLjuinotf ftaiuLmiilkin Gfiloximo.-JafiOLKL-U S. Sumiria^ Lil JUajthitncdicA~.

95. J. J" ., KoUi? A. OU cait^di^nlicdQj^LLcd-LOnA of} OL с? ож off кисАсис mtciot6 ufilkMacixudtxon/i. Л rcii. fiai, ditch. dna? y196 $, //31, p. i5i~lU.

96. JlUJ&JC R.Ji. Jk anJbi? ik. копкплж Lnhxffu>d^sniiraicji by^bum. LU. PZO-CUMLKC^} U. S. -focfian. Sunifta/t oil ^?j^LXtntial (Unci (Junctional è-tyuaiî-o^Ж Л. benjamin., 1961.

97. OiulcIllc? f. Oll ilu. JlMjtrLfbioila btkociiiot o^ Ьfat &о1и1СонЛ ofCoittciioKal ^i?lWbtccd efCL (lICon?r tyij^JtXJLhiicd, §>c?M-0dionA Cuu? Q^ucunicat &j&fem>6l96i.

98. GWc-оц 0, btcdliiAai ctnoi d^m/btoilAchia 1&к-1гalht d$K XoVcricpt CAIWI icjAItmA OAtctiiduL^J. {¡-¿-г dit Штi unoiСиъ^Ц'ьбюагсИх Jitaiiz^ 19Л.

99. YoMuXfttI0L ЧГ. Stodito^ Hhiat^ cuu? IHjl exid^nOL ojjOWWie $oLcLionA Сin. Jlmoyt tfbciodccL1.ionu. -AfUjb?iouL Jllorfh, See .j i 9.