Операции дисконтирования

Задачи

Задача 1

1.1. 11.10.2013 г. вкладчик положил на счет в банк 88 тыс. рублей по схеме обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды под 8% годовых. По какое число нужно делать вклад, чтобы получить при закрытии счета 90 тыс. рублей?

Решение: т.к. данная задача на простые проценты, воспользуемся формулой наращённой суммы, в условии задачи необходимо найти дату закрытия.

Из условия нам известны следующие данные:

Из формулы, выразим n, и найдём чему равна доля года:

— приблизительная доля года.

Т.к. в условии сказано, что схема обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды, следовательно, это германская практика 360 дней.

По формуле n=t/k, где t — срок ссуды (в днях); k — количество дней в году (временная база начисления процентов), выразим t, получаем:

дня.

При округлении в меньшую сторону, получим, что через 102 дня, а именно 23.01.2014 года, найдем с помощью функции: / Дата и время / ДОЛЯ ГОДА, долю года, получаем:

Если мы возьмём дату откр. 11.10.2013 дату закрыт. 23.01.2014, долей года 0,28 333 333, ставкой 8% годовых и начальной суммой 88 000 р.

То получим, что вкладчик снял 89 994,6667 р. вместо 90 000 р.

Рассмотрим ситуацию, если округлить в большую сторону, получаем 103 дня и дата закрытия получается 24.01.2014 года. Найдём долю года для этой даты и получим следующее:

т.е. вкладчик может снять 90 000 р. и на счету останется 14,2222 р.

Вывод: Оптимально считать дату закрытия счёта 24.01.2014 года.

1.2. Какую сумму нужно сегодня положить на срочный вклад, чтобы через 4 года получить 23 500 рублей, при номинальной ставке 14,5% с начислением процентов каждый квартал?

Решение: введем все известные данные:

С помощью функции ПС, найдём первоначальную сумму:

Вывод: на срочный вклад сегодня необходимо положить 13 293,37 р., чтобы через 4 года получить 23 500 р.

1.3. Номинальная стоимость векселя 35 тыс. руб. Векселедержатель учел его в банке за полгода до срока погашения и получил 33,8 тыс. руб. По какой учетной ставке выполнена операция (проценты простые)?

касательный портфель вклад процент Решение: Операция дисконтирования проводится, если платежное обязательство принимается инвестором до даты его погашения (выдача кредита, покупка векселя, …).

Скидка с номинальной стоимости S определяется с использованием процентной ставки i или учётной ставки d (простой или сложной). Соответственно различают два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В нашем случае, это банковский учёт.

В случае банковского или коммерческого учета происходит удержание процентов с суммы S, подлежащей уплате в конце срока согласно учетной ставке d. Так как по условию проценты простые, используется следующая формула, дисконтный множитель, выразим d.

По условию задачи, известны следующие данные:

Найдём учетную ставку:

Вывод: Операция была выполнена по учётной ставке 0,069 (6,9 %)

Задача 2

При какой величине вклада, вносимого в начале каждого квартала, через 4,5 года накопится сумма в 2 млн. рублей, если установлена процентная ставка 21,5% с начислением процентов один раз в полугодие?

Решение: обозначим исходные данные: т.к. проценты начисляются 2 раза в год, то m=2, срок 4,5 года, значит n=4,5; накопленная сумма S=2 000 000, процентная ставка i=21,5%.

1) Для начала найдём эффективную ставку при m=1, получаем:

2) Затем найдём номинальную ставку при m=4, с помощью функции НОМИНАЛ получаем следующие данные:

3) С помощью функции Плт, найдем периодичную плату, которая вносилась в начале каждого квартала:

Вывод: при величине 66 068,88 р. вносимого в начале каждого квартала в течении 4,5 лет, накопится сумма равная 2 млн руб.

Задача 3

Задана матрица последствий .

1) Найдите матрицу рисков.

2) Проведите анализ ситуации полной неопределенности, применив правила по принятию решений Вальда, Сэвиджа и Гурвица (взять равному 0,4; 0,45 и 0,3).

3) Проведите анализ ситуации частичной неопределенности при известных вероятностях того, что реальная ситуация развивается по варианту j: 0,1; 0,3; 0,1; 0,15; 0,35 (примените правила максимизации среднего ожидаемого дохода и минимизации среднего ожидаемого риска).

Решение:

1) Каждый элемент матрицы рисков определяется равенством максимального в каждом столбце.

Определим максимальный элемент в каждом столбце:

Матрица рисков выглядит следующим образом:

2) Определим решение по правилу Вальда.

Проанализируем каждое решение, т. е в каждой строке матрицы Q

Правило Гурвица. Принимается решение i, при котором достигается максимум Выбирая максимальное значение равное 13, приходим к выводу, что правило Гурвица рекомендует первое решение.

Выбирая максимальное значение равное 14, приходим к выводу, что правило Гурвица и в этом случае рекомендует первое решение.

Вывод: все три правила (а правило Гурвица при всех трех значениях) рекомендуют первое решение, так что его и принимаем.

3) Применим правило максимизации среднего ожидаемого дохода.

При каждом решении средний ожидаемый доход будет равен:

Максимальный средний ожидаемый доход равен 12,8 и соответствует первому решению. Применим правило минимизации среднего ожидаемого риска.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных вероятностях:

Задача 4

Портфель состоит из трех бумаг: безрисковой с ожидаемой доходностью 7% и двух рисковых с эффективностью соответственно 9 и 16% и ковариационной матрицей

Найдите касательный портфель, его ожидаемую доходность и риск.

Решение: Дано:

Искомый касательный портфель T имеет вид:

а для его координат (доходность и риск) имеем выражения:

Для параметра имеем следующее выражение:

Все вычисления проведем в Excel с помощью специальных функций.

Найдём обратную матрицу с помощью функции МОБР, получаем:

Найдём I^T и :

С помощью функции МУМНОЖ найдём необходимые значения, для нахождения касательного портфеля, все вычисления проведем в Excel, с помощью специальных функций.

Найдем теперь координаты касательного портфеля Т.

Получим:

Найдем касательный портфель Т:

Итак, касательный портфель равен T= (0,49; 0,51), т. е. он включает 49% первой бумаги, 51% второй бумаги.

Задача 5

Найти выпуклость облигации со сроком погашения 3 года, купонной ставкой 12% ежегодной выплаты, доходностью к погашению 9%, курс которой равен 109%.

Решение:

Исходные данные:

Воспользуемся формулой:

высчитаем выпуклость облигации с помощью программы Exel:

W (y) = 8,854 327 191

Ответ: Выпуклость облигации (W) с купонной ставкой 12% ежегодной выплаты, со сроком погашения 3 года, доходностью к погашению 9%, курс которого равен 109%, равна 8,854 327 191