ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Π ΠΈ Π, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, Π ΠΈ Π. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π*Π ΠΈ Π*Π ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ; Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π*Π, ΡΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ Π ΠΊ, Π Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠΎ-Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ Π³. Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ²Π°.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ: ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠ’ΠΠΠ Π ΠΠ₯ ΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠ Π ΠΠΠΠΠΠ Π Π ΠΠΠΠΠΠ’Π ΠΠ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ: ΠΡΠΌΠΈΠ½ ΠΠΌΠΈΡΡΠΈΠΉ,
ΠΡΠ°ΡΡΠ² ΠΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΈ 11 «Π±» ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΠΠ.
Π ΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ: ΠΠΈΠ½Π½ΠΈΠΊ ΠΠΈΠ½Π° ΠΠΌΠΈΡΡΠΈΠ΅Π²Π½Π°
Π£ΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ² 2007 Π³.
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Π°Π²Π° 1 ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
2. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
3. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
4. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
5. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· n ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠ»Π°Π²Π° 2 ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
2. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
3. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
4. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
5. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ.
6. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ (Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ).
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌ ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠΎΡΠ΄Π°Π½Π° — ΠΠ°ΡΡΡΠ° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²Π΅Π΄ΡΡ ΠΊ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΊΠ΅.
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ Π·Π°ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅.
(Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΠ» ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊ 11 «Π±» ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠΎ-Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΡΠ΅Ρ ΠΡΠΌΠΈΠ½ ΠΠΌΠΈΡΡΠΈΠΉ).
ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ, ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠΎΠ² Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅.
(Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΠ» ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊ 11 «Π±» ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΡΠ°ΡΡΠ² ΠΠ΅Π½ΠΈΡ).
ΠΠ»Π°Π²Π° 1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΏΡ. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° — ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Ρ. ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ (ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ°ΠΌΠΈ). Π‘ΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ «ΡΡΠ΄Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ». ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ — aij; ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ i ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ aij, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ j ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΈΡ aij. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΊΡΡΠ³Π»ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΠΎΡΠΊΠΈ. (ΠΡΠ°ΡΠΊΠΎ: (aij) ΠΈΠ»ΠΈ IIaijII).
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅, ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΏΡ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ (Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ) n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° — Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° n! ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ: ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π·ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ (-1)t, Π³Π΄Π΅ t — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ ΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π² Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅.
2. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅
ΠΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A=, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ 2≠2 ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ :
a11a22 ΠΈ + a21a12, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, (-1)0= -1, Π° Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΠΈ (-1)1 = -1.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, = a11a22 — a21a12
ΠΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° aij ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° n-1, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ i — ΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ j — ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°.
3. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²:
1) ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ (ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²).
2) ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ) ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
3) ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΈΠ· Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ), ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ.
4) ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ i-Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ , ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ i-Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ) Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ — Π²ΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ.
5) ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ , Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π²Π½ΡΡ , ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ), ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
6) ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ (ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅) ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ).
7) ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° k, ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
4. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 1: ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ (ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΠΏΡ. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ Aji Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ Aij
= det A = det AT
det A = det AT
ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
a1i a2j … ank
ai1 aj2 … akn? ΡΡΠΌΠΌΠ΅ det AT
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 2: ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ) ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0.
=detA ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌ.
=0*Π°22*Π°33+Π°12*Π°23*0+Π°32*Π°13*0 = 0
=-(Π°13*Π°22*0+Π°12*Π°33*0+Π°23*Π°32*0)=0
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 3: ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΈΠ· Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ), ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ detA ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² Π½Π΅ΠΉ 2 ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
,ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: .
ΠΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
det A=(-1)0*((a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11))
det B=(-1)2*((a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13))
(a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11) +(a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13)=0
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ det A=-det B.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 4: ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ i-Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ , ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ i-Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ) Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ — Π²ΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ aij+bj ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
.
Π Π°ΡΠΊΡΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅.
.
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ: .
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 5: ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ , Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π²Π½ΡΡ , ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ), ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ detA?0, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ.
= detA; =
ΠΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ detA ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΡΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅detA. Π ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ detA ΠΈdetA ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ detA=-detA. ΠΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎ detA=0. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 6: ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ (ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅) ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
.
ΠΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ № 7: ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° (ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° k, ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
5. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ n ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ n ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°: ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°: Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ , Π³Π΄Π΅ — ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ., ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π° I — ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π° ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ:
ΠΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ :
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅Π·Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π°.
=== 6 = 6 = 6*(4*2-(-2)*11)=180
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ x1=; x1=.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x2 ΠΈ x3:
ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
= 2*11*4+3*11*(-1)+4*(-2)*3= 88−33−24=31 =60
— 2*(-2)*11−3*4*4 — (-1)*11*3= 44−48+33=29
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ x2=
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ x3=
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ n ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠ²Π΅Ρ: (3;1;1)
ΠΠ»Π°Π²Π° 2. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΏΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π‘ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Π ΠΈ Π ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ, Π ΠΊ Π Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π‘ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π‘.
ΠΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π‘ ΡΠ°Π²Π½Π°: .
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ (ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ).
2. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
1. ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° (-1). Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠxΠ=-(ΠxΠ).
2. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ: ΠΈ, Ρ. Π΅. ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ.
3. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ .
4. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Π ΠΈ Π, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ .
3. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²
1. Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Π ΠΈ Π, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, Π ΠΈ Π. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π*Π ΠΈ Π*Π ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ; Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π*Π, ΡΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ Π ΠΊ, Π Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π*Π Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠxΠ=-(ΠxΠ) ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠxΠ ΠΈ ΠxA — Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
2. ΠΠ±Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ . ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ >0.
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΠxΠ) ΠΈ ΠxΠ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ:
.
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (Π*Π) ΠΈ Π*Π ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
3. ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠxΠ‘0, Π³Π΄Π΅ Π‘0 — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ (ΡΠΈΡ. 1).
ΡΠΈΡ. 1.
Π‘ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π= Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊ Π‘0, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ 1 ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ Π½Π° 900 (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π‘0).
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 2 ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π*Π‘0. Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅,
1) ΠΠ2=ΠΠ1=Πcos (900-Ρ)=AsinΡ, Π³Π΄Π΅ Ρ — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π ΠΈ Π‘0;
2) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ 2 ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, Π ΠΈ Π‘0 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. ΠΡΠ°ΠΊ, 2=Π*Π‘0.
ΠΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π‘0, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Ρ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ1Π1 (ΡΠΈΡ. 2.), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ 1=Π, =Π ΠΈ 1=Π+Π.
ΡΠΈΡ. 2.
Π‘ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ1Π1 Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ2Π2 Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ Π½Π° 900.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ3Π3, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌΡ
3=(Π+Π)*Π‘0, 3=Π*Π‘0, =Π*Π‘0.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ = +, ΡΠΎ (Π+Π)*Π‘0=Π*Π‘0 + Π*Π‘0.(1)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ², ΡΡΠΎ Π‘=Π‘*Π‘0, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (1) Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ Π‘. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 2 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
(Π+Π)*Π‘Π‘
4. Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π½Π° ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π ΠΈ Π. (ΡΠΈΡ. 3,4)
ΡΠΈΡ. 3
Π ΠΈΡ. 4
4. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΌΠ΅ΠΌΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌΠ½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ :
.
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ:
Ρ. Π΅. ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ :
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ,
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ (Ρ. Π΅. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ), ΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ.
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΡΠ° ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΠΠ‘)=(Π*Π)Π‘ ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ Π, Π ΠΈ Π‘, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠ±ΡΠ°Ρ . ΠΠ½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π, Π ΠΈ Π‘ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡΠ½Π½ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ
5. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· x1, y1, z1 ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π, Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· x2, y2, z2 ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π. ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π*Π:
ΠxΠ=(ix1+jy1+kz1)*(ix2+jy2+kz2).
ΠΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ:
ΠxΠ=(i*i)x1x2+(j*i)y1x2+(k*i)z1x2+(i*j)x1y2+(j*j)y1y2+(k*j)z1y2+(i*k)x1z2+(j*k)y1z2+(k*k)z1z2. (1)
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ I, j, k ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ j ΠΊ k ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° i ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ:
.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (1) Π΄Π»Ρ ΠΠ ΠΏΡΠΎΠΏΠ°Π΄ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ , ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ:
ΠxΠ=i (y1z2-y2z1)+j (z1x2-z2x1)+k (x1y2-x2y1).
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ, Π»ΡΠ³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ 3-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΠ½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΡΠΎ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²Π΅ΡΠ½Π°
6. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ (Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘ Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ Π (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), C (x3; y3; z3).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ x2-x1, y2-y1, z2-z1 Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ x3-x1, y3-y1, z3-z1, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
=.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π°, Π ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘ Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π (1,2,3), Π (3,4,5), Π‘ (2,4,7).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ 2,2,2 ΠΈ 1,2,4, ΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²Π·ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ, ΠΈ ΡΡΠΏΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ³ΠΎΠ», Π ΠΎΡΡΡΡΠΉ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
1. ΠΡΠΈΠ²Π°Π»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΠΎΡΠΊΠ²Π° ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΎ-ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ 1956
2. www.wikipedia.ru