Определение пределов и производных

Контрольная работа № 8

Выполнила студентка группы ДЭФ-101

Васильева Кристина

Задание № 58

Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):

А) Найти:

Решение При х>? числитель и знаменатель этой дроби являются бесконечно большими функциями, такое отношение, условно обозначаемое символом, представляет собой неопределенность, для раскрытия которой нужно провести преобразования.

Разделим числитель и знаменатель почленно на наивысшую в данной дроби степень х (на):

Замечание:

;; представляют собой бесконечно малые функции при х>?, т. е. их пределы равны 0.

Б) Найти:

Решение:

Для раскрытия такого вида неопределенности [] сделаем следующие преобразования:

В) Найти:

Решение:

Для раскрытия такого вида неопределенности [] сделаем следующие преобразования:

Г) Найти:

Решение:

Для раскрытия неопределенности [] сделаем следующие преобразования:

При вычислении заданного предела мы воспользуемся следующим результатом, называемым «первым замечательным пределом»:

При этом под б подразумевается любая бесконечно малая функция.

Д) Найти:

Решение:

Неопределенность представляет собой вид [], т.к.:

Для раскрытия такого вида неопределенности можно воспользоваться следующей формулой:

=(

Задание № 68

Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:

y=

Исследуем непрерывность функции в точке =;

т.к. полученные результаты совпадают, условие непрерывности выполняется и у непрерывна в точке =;

Исследуем непрерывность функции в точке

Несовпадение полученных результатов уже говорит о невыполнении условий непрерывности, и в точке имеет разрыв.

Схематический график (рис.1)

Задание № 78

Найти производные:

А) у =

= 3(

Б) у =

В)

Г)

Д)

Правило вычисления производной функции, заданной неявно, заключается в том, что дифференцируют левую и правую часть равенства в предположении, что у есть функция от х:

(

Задание № 88

Найти и для функции, заданной параметрически:

Задание № 98

предел график производный дифференциальный Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:

А)

Функция определена при всех значениях х.

С осью ОХ график функции пересекается в точке С осью ОУ график функции пересекается в точке (0;1,5)

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не является периодической.

Функция непрерывна, т.к. определена при всех значениях Х.

Вертикальных асимптот нет.

Находим горизонтальные и наклонные асимптоты.

то наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Находим производную данной функции:

В интервале (;

В интервале (-1;3) функция убывает.

В интервале (3; функция возрастает.

Х=-1 точка максимума Х=3 точка минимума Находим вторую производную функции:

точка перегиба

Схематический график (рис.2)

Б)

Область определения (;

С осью ОХ график функции пересекается в точке (

С осью ОУ график функции пересекается в точке (0;1,5)

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. область определения не симметрична.

Функция не является периодической.

На интервале (- функция непрерывна.

Вертикальные асимптоты:

вертикальная асимптота

Ищем наклонные асимптоты:

=

наклонная асимптота.

Находим производную данной функции:

=

В интервале (функция убывает.

В интервале (-3;-2) функция возрастает.

В интервале (-2; -1) функция возрастает.

В интервале (-1; функция убывает.

Находим вторую производную функции:

выпукла вниз

Схематический график (рис.3)

Задание № 108

Найти частные производные функции: