Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Этап Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представим i2 как сумму двух составляющих i2св — свободная составляющая и i2вын — вынужденная составляющая. В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока. 1,94−0,666е-477t+0,304е-1162t (А… Читать ещё >
Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство Образования Украины Кафедра электротехники
Курсовая работа
по курсу «Теория электрических и электронных цепей»
на тему «Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами»
Вариант № 12
Содержание курсовой работы
1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис. 1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R4=R3), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Еm.
2. Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса tnn.
Это время определить по следующим формулам:
tnn= или tnn=
где ?min — наименьший из двух вещественных корней;
? — вещественна часть комплексного корня.
3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.
4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону
e (t)=Emsin (?t +?).
Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.
Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.
5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону (заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U0, U1, U2, U3. Принимая значение времени: t1=?, t2=1,5?, t3=2?, t4= 2,5? .
Здесь? — постоянная времени рассматриваемой цепи.
Таблица 1:
Номер варианта | Номер схемы | Параметры источника | Параметры цепи | Параметры источника для интеграла Дюамеля | Номер схемы по рисунку 2 | Исследуемая величина ?(t) | |||||||||||
Напряжение U, В | Частота ?, Гц | Нач. фаза ?, град. | R1 Ом | R2 Ом | R3 Ом | L мГн | C мкФ | № графика | Uо В | U1 В | U2 В | U3 В | |||||
UR2 | |||||||||||||||||
Рисунок 1:
Рисунок 2:
График 1:
1 этап курсовой работы
Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом
1 этап Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
i2(-0)=i1(-0)=== 1.52 (A)
Uc (-0)= i2.R2=Uc (+0)
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0 (1)
i1.R1+ i2. R2+L=U (2)
i1.R1+ Uc=U (3)
Из (2) уравнения выразим i1
i1= (2.1)
i1 из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic
ic= (1.1)
i1 подставим в (3) и выразим Uc
U= (3)
Uc=U-Ui2. R2— (3)
Uc=i2.R2+ (3.1)
Uc= (3.2)
Подставим в место Uc и ic в уревнение (3.2), получим:
(3.3)
Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:
(3.4)
В дифференциальном уравнении (3.4) приведём подобные слогаемые:
2 этап Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представим i2 как сумму двух составляющих i2св — свободная составляющая и i2вын — вынужденная составляющая
i2=i2св+i2вын
i2вын найдём по схеме
i2вын=
i2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через, а через 2 получим:
L2+R2++=0 (3.5)
Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни 1 и 2
0.12+10++
15 384,6+153,85+40 000+10+0,12=0
Д=b2-4ac=(163,85)2-4.0,1.55 384,6=26 846,82−22 153,84=4692,98
1,2=;; 12 — вещественные
1=
2=
i2св=А1е-477t+А2е-1162t (3.6)
i2=1.94+ А1е-477t+А2е-1162t (3.7)
3 этап Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.
Найдём ток i2 для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.
i2(+0)=i2вын (+0)+ А1+А2
— 477 А1-1162 А2
Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0
(3.8)
Из уравнения (3) выразим i1 для момента времени t+0 при Uc=i2R2
i1= (3.9)
Найдём подставив значение i1 из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)
(4.0)
Подставим значение, i2(+0), i2вын в систему и найдём коэффициенты А1 и А2
1,52=1,94+ А1 + А2 (4.1)
2=-477 А1-1162 А2 (4.2)
Из уравнения (4.1) выразим A1 и подставим в (4.2)
А1=-0,42-А2
2=-477(-0,42-А2)-1162А2 (4.3)
Из уравнения (4.3) найдём А2
2=200,34+477А2-1162А2
2=200,34−685А2
А2=
А1=-0,42−0,29=-0,71
Подставим найденные коэффициенты А1 и А2 в уравнение (3.7)
i2=1,94−0,71е-477t+0,29е-1162t (А)
4 этап Определяем остальные переменные цепи UL, Uc, ic, i1
UL= (В)
Uc= +i2R2=
= (В)
ic= (А)
i1=ic+i2=(0,044е-477t+0,014е-1162t)+(1,94−0,71е-477t+0,29е-1162t) =
=1,94−0,666е-477t+0,304е-1162t (А) Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса tnn.
Это время определим по формуле:
tnn=
Найдём tпп время переходного процесса
tпп= © Таблица переменных
Время переходного процесса tnn (c) | Значение тока i1 (A) | Значение тока i2 (A) | Значение тока ic (A) | Значение напряжения UL (B) | Значение напряжения UC (B) | |
0.000 | 1.578 | 1.520 | 0.058 | 0.20 | 15.22 | |
0.001 | 1.622 | 1.590 | 0.032 | 10.49 | 16.95 | |
0.002 | 1.713 | 1.695 | 0.018 | 9.75 | 17.92 | |
0.003 | 1.790 | 1.779 | 0.011 | 7.07 | 18.50 | |
0.004 | 1.844 | 1.837 | 0.006 | 4.70 | 18.84 | |
0.005 | 1.879 | 1.875 | 0.004 | 3.02 | 19.06 | |
0.006 | 1.902 | 1.899 | 0.0025 | 1.90 | 19.19 | |
0.0063 | 1.907 | 1.905 | 0.0022 | 1.65 | 19.21 | |
Рисунок 3 — График токов где
i1 i2 ic
Рисунок 4 — График напряжений где
UL UC
2 этап курсовой работы
2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:
e (t)=Emsin (t+)
R1
где Em=100 (B)
=2f =2 3,14 50=314 (Гц)
=300
R1=R2=10 (Ом) L=100 (мГн)
R3=9 (Ом) С=100 (мкФ)
=314 (Гц)
XL=L=314. 0,1=31,4 (Ом)
XC= (Ом) Найдём начальные условие:
U (t)=Umsin (t+)=100sin (314+30);
Um=100ej30=86,603+j50 (В)
UC (-0)=0 (B)
Найдём полное сопротивление цепи
Zп=R1+R3+jXL=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом) Зная сопротивление и напряжение найдём I3m
I3m=I1m=(А) Найдём мгновенное значение тока
i3(t)=I3msin (t+)=2.725sin (314t-28.82) (A)
Для времени t=0 ток будет равен
i3(-0)=2.725sin (-28.82)=-1.314 (A)6 (A)
Таким образом
UC (-0)=UC (+0)=0 (B)
i3(-0)= i3(+0)=-1.314 (A)
1 этап Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-i3=0 (1)
i1.R1+ i3.R3+L=U (t) (2/)
i1.R1+i2.R2+Uc=U (t) (3/)
Из (2/) уравнения выразим i1
i1= (2/.1)
i1 из уравнения (2/.1) подставим в (1/) и выразим i2
i2= (1/.1)
U (t)=U (t)-i3.R3-L+R2
— (3.1)
Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
(3.2)
2 этап Вид решения для i3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i3св не зависит от входного напряжения.
Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:
i3св=А1е-406t+А2е-234t
Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i3вын
i3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e (t);
Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I1, а для этого найдём Zп вын сопротивление цепи:
Zп вын= (Ом)
I1m= (A)
Найдём Uab вын
Uab m= I1m (В)
I3 m= (A)
Найдём i3 вын
I3 вын= I3 msin (t+)=2.607sin (314t-43.60) (A)
Таким образом
i3=2.607sin (314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
3/ этап Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1/ этапе.
i3=2.607sin (314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
i3(+0)=i3(-0)=-1.314 (A)
i3(+0)=2.607sin (-43.60)+A1+A2=-1.798+A1+A2
R1i1=U (t)-R2i2-UC
=
=
Подставим значение, i3(+0), и найдём коэффициенты А1 и А2 для времени t+0
— 1.314=-1.798+A1+A2
433.96=592/806−406A1-234A2
A1=-1.314+1.798-A2=0.484- A2
433.96=592.806−406(-0.484- A2)-234 A2
433.96−592.806+406 .0.484= A2(406−234)
37.658=172A2 A2=0.219
A1=0.265
Ток i3 будет равняться
I3=2.607sin (314t-43.600)+0.265е-406t+0.219е-234t (A)
Таблица переменных
Время t, c | 0.000 | 0.001 | 0.002 | 0.003 | 0.004 | 0.005 | 0.006 | 0.0063 | |
Ток i2, A | 1.115 | 1.327 | 1.528 | 1.671 | 1.7428 | 1.7430 | 1.6745 | 1.6413 | |
3 этап курсовой работы
Найдём выражение для тока катушки операторным методом:
R1 R2
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
I3(-0)=== 5.263 (A)
Uc (-0)=0 (В) Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.
В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.
Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.
I1(p)-I2(p)-IC (p)=0 (1.3)
(2.3)
(3.3)
Из уравнения (2.3) выразим ток I1(p) и подставим в уравнение (3.3):
Из уравнения (3.3)
(2.3.1)
(2.3.2)
Подставим численные значения элементов По полученному изображению найдём оригинал тока .
Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.
Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.
p1=0
0,65p2+0,1065p+36=0
Д=(0б1065)2-4.0,65.36=0,0019
I2(p)=
Найдём A1 A2 A3
Коэффициент An будем искать в виде, где N (p) — числитель, а M (p) — знаменатель
A1=
A2=
A3=
Таким образом, i2(t) будет равняться
i2(t)=A1.exp (p1t)+ A2.exp (p2t)+ A3.exp (p3t)=1,944−0,71e-477t+0,3e-1162t
Искомый ток катушки i2 равняется :
i2=1,944−0,71e-477t+0,3e-1162t (A)
Токи сходятся.
4 этап курсовой работы
Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её
Определим переходную характеристику h1(t) цепи по напряжению UR2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия UC (-0)=UC (+0)=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0
i1.R1+ i2.R2=U iс=
iс.R3-i2.R1+Uc=0 i1=i2+iс
i1=i2+iс
i2(R1+R2)+iсR1=U i2=
iс.R3-i2.R1+Uc=0
iс.R3+Uc-+
ic+
0,43+1=0 = -2322,58 ()
UC св=Ae-2322,58t
UC вын= (B)
UC=UC св+UC вын=0,278+Ae-2322,58t A=-0,278
UC=0,278−0,278e-2322,58t (B)
iс==25.10-6.0,278.2322,58e-2322,58t=0,016e-2322,58t (A)
Uab=icR3+UC=0,278−0,12e-2322,58t (B)
Таким образом переходная характеристика h1(t) будет равна
h1(t)=UR2(t)=0,28−0,12.e-2322,58t (В)
= (c)
5 этап курсовой работы
Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.
Переходную характеристику h1(t) возьмем из предыдущего этапа
h1(t)=0,28−0,12.e-2322,58t (В)
tпп=(c)
Найдём, t1, t2, U1/(), U2/():
= (с)
t1==0.43 © t2=1,5=0.65 © t3=2=0.86 (c)
U0=20 (В); U1=-5 (B); U2=-10 (B);
U1/()=0 () U2/()= ()
U3/()= ()
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+ (B)
t (c) | 0.0001 | 0.0002 | 0.0003 | 0.0004 | 0.43 | ||
UR2 (B) | 3.2 | 3.697 | 4.092 | 4.404 | 4.652 | 4.716 | |
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
;
(B)
t (с) | 0,43 | 0.45 | 0.0005 | 0.55 | 0.0006 | 0.65 | |
UR2 (B) | 4,14 | 3,64 | 2,37 | 1,06 | — 0,27 | — 1,64 | |
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+=
— )+
+ (B)
t (c) | 0.65 | 0.0007 | 0.75 | 0.0008 | 0.85 | 0.86 | |
UR2(B) | — 5,145 | — 4,396 | — 3,653 | — 2,914 | — 2,179 | — 2,03 | |
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
;
+ (B)
t (c) | 0.86 | 0.0009 | 0.95 | 0.001 | 0.0013 | |
UR2(B) | — 1,97 | — 1,79 | — 1,60 | — 1,42 | — 0,707 | |
Строим графики U (t) и UR2(t) по данным таблиц.