Наилучшие оценки в методах аппроксимации производных функции, заданной с погрешностью

Во многих областях науки и техники возникают некорректно поставленные задачи. Эти задачи обычно формулируются в виде операторных уравнений 1-го рода или в виде задачи вычисления значений неограниченного оператора. Напомним соответствующие определения корректности и регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления некоторого неограниченного линейного оператора Т,.

Ту = х, (В.1) действующего на паре нормированных пространств У, X (см. [21]).

Определение В.1. Задача (В.1) называется корректной по Адама-ру, если выполнены условия:

1. 2)(Т) = У, т. е. область определения оператора Т есть всё пространство У;

2. Т — однозначный оператор (каждому у соответствует единственный элемент х = Ту);

3. оператор Т непрерывен (ограничен).

Определение В.2. Задача (В.1) называется некорректно поставленной, если нарушено по крайней мере одно из условий 1−3.

Обычно идёт речь о нарушении условий 1,3.

Определение В. З. Семейство операторов {Д?}, У ->• X, называется регуляризующим семейством операторов для задачи (В.1), если для любого у Е Т>(Т) имеет место сходимость.

Нтвир \Rsys — Ту\ = 0. (В.2).

У5,.

Семейство {Л^}, У —"¦ X называют также регуляризующим алгоритмом (РА).

Заметим, что часто сначала строится семейство {Да}, зависящее ог некоторого параметра регуляризации а, а затем при подходящей связи конструируется РА.

Возможность конструирования эффективных методов решения некорректно поставленных задач (регуляризующих алгоритмов), было показано в работах М. М. Лаврентьева, А. Н. Тихонова, В. К. Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в [21], [23], [41], [42].

В настоящей работе изучается задача численного дифференцирования зашумлённой функции, т. е. задача приближённого вычисления т-й производной (для целого и дробного т).

1Ш 3 ^ = *(()¦ (Е-3) например, на паре пространств X = У = С[а, Ь] или Ьр[а, Ь], в условиях, когда функция у задана своим ¿—приближением уз, ||у — ^ 5. Как известно [21], эта задача является некорректно поставленной. Нетрудно показать, что на любой разумной паре функциональных нормированных пространств У, X, задача вычисления производной (В.З) по приближённым данным уй, является некорректной (оператор Т неограничен), если нормированная топология X не слабее топологии У. Поэтому для построения устойчивого приближённого решения задачи (В.З) необходимо привлечение идей регуляризации и методов некорректно поставленных задач.

В связи с рассмотрением задачи дифференцирования (В.З), возникают следующие проблемы: а) построение регуляризующего алгоритма при заданном параметре m и паре функциональных пространств Y, Х б) оценка погрешности метода R = Rs в точке или на заданном классе М при фиксированном уровне погрешности S.

7S{TR М) = sup {\Rys — Ту\: у еМ,\уу6\ ^ 5}, (В.4) причём в качестве М обычно используют множество м- = {у: y{m+n) G С, Цу^ИсО}, либо.

Мп {у: У^еь, ||y.

В.5) где В (У —> X) — пространство линейных ограниченных операторов из У в X] г) построение на основе РА численно реализуемых алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов.

Все эти вопросы рассматриваются в диссертационной работе для задачи (В.З) на функциональных пространствах Ьр[а, Ь), С[а, Ь], причём, как для целочисленного, так и для дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и Маршо (см главу I, § 3).

Заметим, что задача численного дифференцирования зашумлённой функции часто возникает во многих прикладных задачах, поэтому исследование сформулированных выше проблем представляет несомненный интерес, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

С задачей (В.5) тесно связана задача Стечкина об оптимальной аппроксимации на классе М неограниченного оператора Т ограниченными.

Ем (Т-М)= т| 8ир||Яу-Ту|| (В.6).

Оказывается, что при некоторых условиях согласовании параметров 6 и ./V, из решения одной задачи можно построить решение другой (см., например, [10], [4]).

Задача Стечкина хорошо исследована и во многих случаях найдены экстремальные операторы, на которых достигается нижняя грань (В.б). Эти операторы можно использовать при консгруировании оптимальных регуляризаторов, в частности, задачи (В.З). В данной работе задача Стечкина не исследуется.

Проблемой численного дифференцирования зашумлённой функции и родственной ей задачей Стечкина занимались многие исследователи, что нашло отражение в многочисленных публикациях. Задача восстановления производных зашумлённой функции рассмотрена в [7], [8], [12], [16] ,[17], [18], [19], [24], [25], [26], [43], [45], [47], [48] и многих других.

В некоторых работах ограничиваются построением конкретного РА [16], [17], [24]. В [18], [19], [26] доказывается сходимость приближённого решения к точному. В других статьях устанавливаются мажорантные оценки погрешности метода и доказывается их оптимальность по иоряд-ку [19], [7], [8],[25], [48],[43].

Оценки погрешности методов регуляризации и модулей непрерывности для операторов дифференцирования на отрезке получены в работах [22], [44].

Задаче Стечкина посвящены рабогы [36], [2], [3], [5], [6], [13], [15], [38], [39]. Подробный обзор см. в [4].

В [36] приведены наилучшие формулы численного дифференцирования для пространств X = У = С[0, оо) при 1 ^ т < 3, т + п = 3.

В [2] даётся решение задачи Стечкина и найдено точное значение Е^ в пространстве С{—оо, оо) для т+п = 4, бив пространстве Ь{—оо, оо) для т + п = 2, 3, 4, 5.

Проблема существования решения задачи Стечкина для различных значений т, п в пространствах С и Ьр рассматривается в [3] на прямой и в [14] на прямой и полупрямой.

В [13] исследуется неравенство Колмогорова для общего случая. Вы-иисано условие для конечности константы в неравенстве Колмогорова.

В [15] задача Стечкина решена для пространств X = ¿-2[0,оо) и У = С[0,оо) при всех 0 ^ ш, п, М = {у: \у\ь2 ^ р}- Найден наилучший приближающий оператор.

В [39] решена задача Стечкина для пространств X = ?2(-оо, оо) и У = С (-оо, оо) при всех 0 ^ т, п, М = {у: \у\ь2 ^ р}- Найден наилучший приближающий оператор.

Задача Стечкина для оператора дробного дифференцирования, действующего на полупрямой, рассматривалась в [46].

Обзор по задаче Стечкина для неограниченных операторов и, в частности, для операторов дифференцирования в пространствах С и Ьр, можно найти в [1].

Конечно, более трудной задачей является получение точных (неулуч-шаемых) оценок погрешности, а также построение оптимальных на классах или в точке алгоритмов.

Определение В.4. Метод (оператор) Щ: У -«¦ X называется оптимальным на классе М для задачи (В.1) — если он реализует нижнюю грань в (В.5), т. е. его погрешность совпадает с величиной.

Будем называть Щ оптимальным регуляризатором.

Определение В.5. Оператор Щ называется оптимальным по порядку, если для некоторой константы выполняется неравенство.

7¡-(ТД- М).

— щщ * 0 < (в'7) где С? = 1 соответствует оптимальному алгоритму.

Известны немногочисленные случаи конструктивного построения оптимальных методов для задачи дифференцирования (В.З) на классах равномерной регуляризации.

М™'п = {у: у^еС (-оо, оо), Ыт+п)\с < р], например, при значениях параметров т = 1, п = 1,2- т = 2, п = 1, [35], (см. подробности в § 4 главы I).

Эти результаты могут быть получены как на основе известных оценок снизу [10] оптимальной погрешности через модуль непрерывности.

П5(ТМ)>ы5(Т, М), и использовании неравенства Адамара-Колмогорова иЛс ^ кмг-ть, так и на основе связи задач (В.5), (В.6) и результатов, полученных для задачи Стечкина [35], [4].

Упомянутые выше оптимальные регуляризаторы являются конечно-разностными, следовательно, вполне конструктивными.

К сожалению, при тп+п^ 4 экстремальные операторы в задаче Стеч-кина являются уже бесконечно-разностными, что не позволяет говорить о конструктивности регуляризаторов, построенных на их основе.

Значительная часть диссертационной работы посвящена исследованию регуляризующего алгоритма для задачи (В.З) на основе метода средних функций.

ЯМ ()= / ^'^юМФ. (В 8) с гладкими усредняющими ядрами в). Этот метод был предложен в работе [8] для ш = 1, п = 1 и в частном случае были получены мажорантные оценки на классе. В работе [48] с аналогичных позиций был рассмотрен другой частный случай для т = 1, п = 2. В [45] рассматриваются интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами, в частности для регуляризации задачи (В.З) для т, п ^ 1 и для дробных производных (точнее, для решения уравнения Абеля) — получены оптимальные по порядку оценки сверху и снизу для погрешности метода.

В диссертации существенно усиливаются и обобщаются эти результаты. При этом исследуется случай не только целочисленного, но и дробного дифференцирования. Более того, для некоторых троек {X, У, М}, получено точное значение величины погрешности л на классе. Кроме того, изучается задача построения оптимального регуляризатора в каждой точке конечного огрезка [а, Ь], что уточняет результаты работы [22], относящиеся к оптимальным на классе методам численного дифференцирования в пространстве С[а, Ь] при т = 1, п = 1.

Перейдём к более подробному изложению результатов настоящей работы.

В первой главе даётся материал, необходимый для изложения основных результатов диссертации. Приводятся определения и свойства усредняющих ядер, с помощью которых конструируются регуляризую-щие алгоритмы в задаче численного дифференцирования. Вводится понятие дробной производной и излагается примыкающий к этому соответствующий материал. Формулируется задача Стечкина об аппроксимации неограниченного оператора ограниченными и устанавливается её связь с задачей об оптимальном регуляризаторе (задачей Страхова, [37]).

Во второй главе исследован мегод средних функций с ядрами вида для регуляризации задачи (В.З).

В первом параграфе в пространстве С (—оо, оо) точно вычислена величина погрешности метода 75 для произвольных тип, при подходящей связи между, а и 5 с р показана его оптимальность по порядку. Дан отрицательный ответ на вопрос о возможности построения оптимального регуляризатора для случая т = 1, п = 1 на основе метода средних функций с гладкими ядрами б) = саш ((Ь — з)/а), и указан способ построения регуляризатора, сколь угодно близкого к оптимальному.

Во втором параграфе для пространств Ьр{—оо, оо) найдена оценка сверху величины погрешности метода 75 для всевозможных тип. Показана оптимальность по порядку найденной оценки. При определённом выборе пространств доказано, что эта оценка является точной.

В третьем параграфе рассмотрен метод средних функций для случая функции двух переменных и найдена оценка величины 7,5 для смешанной производной.

В четвёртом параграфе построен регуляризатор на основе метода средних функций для задачи численного дифференцирования функции, заданной на отрезке. Найдена величина 75 для пространства С[а, 6] при связи п = т + 1.

В третьей главе исследован случай дробной производной. Для всей числовой оси применялся метод средних функций, а для отрезка — метод Тихонова.

В четвёртой главе приведены примеры реализации метода средних функций для случая одной переменной, а также приведены результаты, полученные методом Тихонова с регуляризатором на основе дробной производной для одномерных и двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в [30], [31], [33], а также в тезисах [28], [29] и [32].

1. Арестов В. В. Приближение неограниченых операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. -1996. — Т. 51, вып. 6. — С. 89−124.

2. Арестов В. В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1967. — Т. 1, № 2. — С. 149−154.

3. Арестов В. В. О наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1969. — Т. 5, № 3. — С. 273 284.

4. Арестов В. В., Габушин В. Н. Наилучшее приближение неограниченых операторов ограниченными // Изв. вузов. Матем. 1995. — № 11. — С. 44−46.

5. Бердышев В. И. Наилучшее приближение в Ь0, оо) оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1971. — Т. 9, № 5. — С. 477−481.

6. Буслаев А. П. О приближении оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1981. — Т. 25, № 5. — С. 731−742.

7. Васин В. В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Матем. зап. Уральский ун-т. 1969. — Т. 7, № 2. — С. 29−33.

8. Васин В. В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С (-оо, оо) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. — Т. 13, № 6. С. 1383−1389.

9. Васин В. В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1977, препринт 77−59 — 17 с.

10. Васин В. В. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: Ур-Гу, 1989. — 94 с.

11. Васин В. В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Сборник трудов Ин-та матем. и механ. «Динамические системы: моделирование, оптимизация и управление» 2006. Т. 12, № 1. С. 64−77.

12. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Их, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определённых с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1980. — Т. 145. С. 63−78.

13. Габушин В. Н. Неравенства для норм функции и её производных в метриках Ьр// Матем. заметки. 1967. — Т. 1, № 3. — С. 291−298.

14. Габушин В. Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в метрике Ьр // Матем. заметки. 1972. — Т. 12, № 5. -С. 531−538.

15. Габушин В. Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой // Матем. заметки. 1969. — Т. 6, № 5. -С. 573−582.

16. Грабарь Л. П. Применение полиномов Чебышева, ортонормирован-ных на системе равноотстящих точек, для численного дифференцирования //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1967. — Т. 7, № 6. -С. 1375−1379.

17. Демидович В. Б. Восстановление функции и её производных по экспериментальной информации //В кн.: Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. — вып. 8. — С. 96−102.

18. Долгополова Т. Ф., Иванов В. К. О численном дифференцировании // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. — Т. 6, № 3. — С. 570−576.

19. Долгополова Т. Ф. Конечномерная регуляризация при численном диффенецировании периодических функций // Матем. записки Урал, ун-та. 1970. — Т. 7, тетр. 4. — С. 27−33.

20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: «Мир», 1965.

21. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. — 206 с.

22. Колпакова Э. В., Колпаков В. И. Восстановление математических объектов по неполно заданной информации. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1995. — 136 с.

23. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. — 91 с.

24. Морозов В. А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации //В сб.: Вычислит. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1970. — Т. 14 -С. 46−62.

25. Рамм А. Г. О численном дифференцировании // Изв. вузов. Математика. 1968. — № 11. — С. 131−134.

26. Савёлова Т. И. Об устойчивом дифференцировании функций //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1980. — Т. 20, № 2. — С. 501−505.

27. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

28. Скорик Г. Г. К вопросу об оптимальности метода средних функций в задаче дифференцирования // Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. 2−6 фев. 1998 г. Екатеринбург, 1998. — С. 237−238.

29. Скорик Г. Г. Об оптимальных в точке методах аппроксимации производных зашумленной функции // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф. 2−6 фев. 2004 г. Екатеринбург, 2004. — С. 67−68.

30. Скорик Г. Г. К вопросу о точной оценке погрешности метода средних функций в задаче дифференцирования // Изв. Урал. гос. ун-та. -2004. № 30. — С. 138−156.

31. Скорик Г. Г. О наилучшей оценке погрешности метода усредняющих ядер в задаче дифференцирования зашумлённой функции // Изв. вузов. Математика. 2004. — № 3. — С. 76−80.

32. Скорик Г. Г. Об оптимальности метода средних функций в задаче численного дифференцирования // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Регион, молодеж. конф. 30 янв. -3 фев. 2006 г. Екатеринбург, 2006. — С. 146−150.

33. Скорик Г. Г. Оценка погрешности метода средних функций в задаче численного дифференцирования зашумленной функции // Изв. вузов. Математика. 2006. — № 2. — С. 35−41.

34. Соболев С.Jl. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: изд-во СО АН СССР, 1962. 255 с.

35. Стечкин С. Б. Наиучшее приближение линейных операторов // Ма-тем. заметки. 1967. — Т. 1, № 2. — С. 137−148.

36. Стечкин С. Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sei. Math. 1965. — Т. 26, № 3−4. — С. 225−230.

37. Страхов В. Н. Теория приюлиженного решения линейных некорро-ектных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике // Изв. АН СССР. Физика земли. 1969. — № 8. С. 50−53- № 9. С. 64−96.

38. Субботин Ю. Н., Тайков JI.B. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве ?2 // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 2. С. 257−264.

39. Тайков JI.B. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем. заметки. 1968. — Т. 4, № 2. — С. 233−238.

40. Тимошин O.A. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках L и С на плоскости // Матем. заметки.- 1984. Т. 36, № 3. — С. 369−375.

41. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.- М: Наука, 1974. 224 с.

42. Тихонов А. Н., Морозов В. А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач // Сер. Вычислительные методы и программирование. М. :Изд-во МГУ, 1981. — Вып. 35. — С. 3−34.

43. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Диф. уравнения и теория функций. СаратовИзд-во Сарат. ун-та, 1984. — Вып. 6. — С. 53−58.

44. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 2006. — № 9. — С. 71−78.

45. Шишкова Е. В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах // Дисс.. канд. физ.-матем. наук. Саратов, 2006.

46. Arestov V.V. Inequalites for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory.- Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ, 1979. V. 4. — P. 1934.

47. Cullum J. Numerical differention and regularization // SIAM J. Numer. Anal. 1971. — V. 8, № 2. — P. 254−265.

48. Groetch C.W. Optimal order of accuracy in Vasin’s Method for differentiation of noisy functions //J. Optimiz. Theory. Appl. 1992. -V. 74, № 2. — P. 373−378.