Исследование аттракторов дискретизаций параболических уравнений на неограниченных областях

В настоящее время изучение аттракторов динамических систем является хорошо развитой областью качественной теории динамических систем. Аттракторы изучаются во многих фундаментальных трудах, например, [1], [3], [25]. Такое изучение важно, так как именно аттракторы отвечают за поведение системы при больших временах.

В связи с развитием вычислительной техники все большее значение приобретает изучение динамических систем с помощью компьютера. С помощью компьютера оказывается возможным не только получить приближенные решения различных уравнений, но и построить приближенные аттракторы динамических систем, порождаемых ими. Соответствующие аттракторы являются аттракторами дискретных динамических систем, возникающих в результате дискретизации изучаемых уравнений. Отсюда естественно возникает интерес к изучению свойств динамических систем, порождаемых дискретизациями. В настоящее время изучение динамических систем, порожденных дискретизациями, превратилось в интенсивно развивающуюся область теории динамических систем (см., напр., [10], [15], [16]).

Основными двумя вопросами, связанными с динамическими системами, возникающими в результате дискретизации, являются следующие:

1. Насколько точно их решения, аттракторы и прочие объекты, связанные с динамикой, аппроксимируют соответствующие объекты исходного уравнения?

2. Каковы свойства этих дискретизованных динамических систем? В этой связи особо важными представляются различные вопросы устойчивости этих систем, так как при их решении с помощью компьютера возникают различные погрешности, связанные с ошибками округления.

В настоящей работе исследуются эти вопросы для полулинейного параболического уравнения вида ut = Аи + f (x, и), и = u (t, х), х е О, t > 0 (1) с граничным условием Дирихле иап = 0, где, А — оператор, действующий из соболевского пространства H2(Q) в пространство L^Q), симметричный и положительно определенный относительно скалярного произведения (д, h) := f ghdx, а / — функция класса Cv (r > 1), глобально п липшицевая по переменной и.

В главе I исследуется уравнение (1) с оператором, А = ^ на прямой (то есть, в случае Q = R), dtu (t, х) = uxx (t, х) — f{u{t, x)), t> 0, ае R- (2) ut=o = Щ- (3).

Вопросы сходимости «приближенных» решений и глобальных аттракторов полулинейных параболических уравнений на ограниченных областях к «точным» хорошо изучены для различных схем дискретизации по переменным х и t (например, в работах [17],[25],[26]). Однако изучение динамических систем на неограниченных областях началось сравнительно недавно. Препятствием для изучения таких уравнений является то, что оператор ихх на прямой обычно не является положительно определенным и не имеет компактной резольвенты. Толчок к изучению аттракторов для уравнения (2) дала работа Бабина и Вишика [9], где было предложено понятие аттрактора, соответствующего паре пространств. Подмножество I С % называется глобальным (71', 7£)-аттрактором динамической системы Ф, если i) I — компактное подмножество пространства.

И) множество I инвариантно, но отношению к действию системы Ф, то есть, Ф (£, /) = I для t > 0- iii) множество I притягивает ограниченные подмножества пространства TZ' в топологии пространства 1Z.

В работе [9] было показано, что уравнение (2) имеет аттрактор, соответствующий паре, состоящей из весового соболевского пространства и его же, но со слабой топологией. В дальнейшем появились и другие работы, посвященные существованию аттракторов, соответствующих различным парам пространств (см. напр. [21], [10]). В работе [21] изучалось уравнение Гинзбурга-Ландау и было показано, что у него есть глобальный аттрактор, соответствующий паре пространств с сильной топологией в обоих, а именно, паре постранств (Hi,", %i, 7®), где T/i)7® есть банахово пространство таких функций и: R —" R, что квадрат нормы.

IMIi, 7= / p (x)(u'(x)2 + u{x)2)dx Jr с весовой фунцией р = (l+rr2)7, 7 < —½) конечен, а пространство Hi, u это такое подмножество пространства «Hij7®, что для всех функций и? «Hi, и норма.

IMk" = sup||T>||i, 7 ye R конечна и выполнено соотношение \и (• + у) — u (')||i, u 0. у-* о.

Одним из основных результатов главы I является следующая теорема о существовании глобальных аттракторов для уравнения (2), соответствующих той же паре пространств, что и в работе [21]. Теорема 1.

Пусть нелинейность f в уравнении (2) удовлетворяет условию дис-сипативности f (u)-u>u2(4).

Тогда уравнение (2) nopooicdaem непрерывный полупоток в пространствах «Hi)7® и 'Н>и и У этого полупотока есть глобальный («Hi, u, ®) — аттрактор.

Другой основной результат главы I связан с дискретной динамической системой, порождаемой уравнением un+i /h = о+дип+1 + 7(un+1), (5) где ип — {u%}k?z и un+1 = {u%+1}kez — последовательности вещественных чисел, оператор д+д- — это дискретный аналог оператора Лапласа, а отображение / действует на последовательности по формуле (f (u))i — /(щ)) возникающим в результате дискретизации уравнения (2) по неявной схеме с шагом h по времени и d — по пространственной переменной. Известно ([Ю]), что уравнение (5) порождает поток в пространствах #1д7 и Яхди, где, аналогично непрерывному случаю, пространство //i, d,7 есть пространство таких последовательностей и = {ик: к? Z}, что квадрат нормы.

Ml = d^Pk ((d+u)l + ul) kez конечен, где Рк = p (kd) = (1 + (Ы)2)7, д+и := {h~1(uk+i~uk)}keZ, а подмножество пространства состоящее из последовательностей, для которых норма.

Ml, и = sup||T"u||i>7 yez конечна. Кроме того, в работе [10] показано, что у динамической системы, порожденной уравнением (5), есть глобальный (#1ди, Я^^-аттрак-тор.

Введенное нами пространство i? i, d,7 естественным образом вкладывается в пространство %ii7® так, что последовательность {uk}kez? соответствует функции и (х) = Uk+iO + «^(1 — в), х = kd + 9, к е Z, в € [0,1). Соответствующий оператор вложения обозначим через Td¦ Сформулируем теперь другой основной результат главы I. Теорема 2.

1. Пусть St, t > 0 — полупоток, порожденный уравнением (2), а Sh, d ~~ гомеоморфизм, порожденный уравнением (5). Тогда для любых функции v Е /Hi-7® и числа Т > 0 верна оценка sup \TdSld (TalVdv)-'PdSnhv\hy->0 при h, d-+ 0,.

2. Пусть, А — глобальный (/^i)tl,?^i)7®)-аттрактор уравнения (2), a A{h, d) — глобальные Hi^y) -аттракторы уравнения (5). Тогда аттракторы A (h, d) сходятся к аттрактору, А в следующем смысле: dev (TdA{h, d), A) := sup inf ||a — 6||i)7 -> 0 при h, d -" 0. (6) aeTdA (h, d).

Заметим, что для параболических уравнений на ограниченных (по х) областях были получены явные оценки погрешности на конечном интервале по времени, например, в работе [20]. Однако эти оценки неравномерны по времени и ухудшаются при малых временах. В нашем случае тоже могут быть получены такие оценки, если немного изменить использованный метод.

Следует также заметить, что утверждение теоремы 2 легко распространяется на случай произвольной размерности с помощью метода, использованного в работе [10].

1. Brunovsky P., Polacik P. The Morse-Smale Structure of a Generic Reaction-Diffusion Equation in Higher Space Dimension. //J. Differential Equations, 135, 1997. P.129−181.

2. Chen M., Chen X.-Y., Hale J.K. Structural stability for time-periodic one-dimensional parabolic equations. //J. Differential Equations, 96, 1992. P.355−418.

3. Eirola Т., Pilyugin S. Yu. Pseudotrajectories Generated by a Discretization of a Parabolic Equation. //J. Dynam. Differ. Equat., 8, N2, 1996. P.281−297.

4. Fusco G., Oliva W.M. Jacobi matrices and transversality. //Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 109A, 1988. P.231−243.

5. Hale J.K., Lin X.-B., Raugel G. Upper semicontinuity of attractors and partial differential equations. //Math. Сотр., 50,1988. P.80−123.

6. Henry D. Some infinite-dimensional Morse-Smale systems defined by parabolic partial differential equations. //J. Differential Equations 59, 1985. P. 165−205.

7. Henry D. Perturbation of the Boundary for Boundary Value Problems of Partial Differential Operators. //New York: Cambridge Univ. Press, 2005. 324p.

8. Larsson S. Nonsmooth data error estimates with applications to the study of the long-time behavior of finite element solutions of semilinear parabolic problems. //Preprint 1992;36, Dept. of Math., Chalmers Univ. of Technology, 1992.

9. Mielke A., Schneider G. Attractors for modulation equations on unbounded domains existence and comparison. //Nonlinearity, 8,1995. P.743−768.

10. Oliva W.M., de Oliveira J.C.F., Sola-Morales J. An infinite-dimensional Morse-Smale map. //NODEA, 1, 1994. P.365−387.

11. Palmer K. Shadowing in dynamical systems. Theory and applications. //Kluwer Academic Publishers, 2000. 299p.

12. Polacik P. Transversal and nontransversal intersections of stable and unstable manifolds in reaction diffusion equations on symmetric domains.// Differential Integral Equations, 7, 1994. P.1527−1545.

13. Sell G.R., You Y. Dynamics of Evolutionary Equations. //Applied Mathematical Sciences, 143. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2002. 672p.

14. Stuart A. Perturbation theory for infinite dimensional dynamical systems. //Theory and numerics of ordinary and partial differential equations, Leicester, 1994. P.181−290.Публикации автора по теме диссертации.

15. Колежук В. С. Типичные свойства дискретизаций параболических уравнений. //Нелинейные динамические системы, 5, СПб., 2003.

16. Kolezhuk V.S. Dynamical systems generated by parabolic equations on the line. //Preprint 04−44, DFG Research Group 'Spectral analysis, asymptotic distributions and stochastic dynamics', 2004.

17. Kolezhuk V.S. Properties of some operators in weighted function spaces. //Preprint 04−45, DFG Research Group 'Spectral analysis, asymptotic distributions and stochastic dynamics', 2004.

18. Beyn W.-J., Kolezhuk V.S., Pilyugin S. Yu. Convergence of discretized attractors for parabolic equation on the line. //Записки научных семинаров ПОМИ, т. 318, 2004. С.14−41.

19. Колежук B.C. Аттракторы параболических уравнений на оси и их дискретизаций. //Международная конференция «Четвертые окуневские чтения». Тезисы докладов. СПб., 2004. С.12−13.

20. Колежук B.C. Аттракторы точных и дискретизованных динамических систем на неограниченных областях. //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и диамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2004. С.107−109.

21. Kolezhuk V.S. Hyperbolicity and transversality for generic discretizations of parabolic equations. //Tools for Mathetical Modelling. Abstracts. SPb, 2003. P.93.