Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей

Диссертация посвящена описанию подпространств инвариантных относительно сдвигов в весовых пространствах двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел, а также вопросам описания замкнутых идеалов и интерполяции в алгебрах целых периодических функций.

Задача описания подпространств аналитических функций, инвариантных относительно оператора дифференцирования, впервые была поставлена в 1947 году Л. Шварцем в его известной работе о периодических в среднем функциях (см. [40]): пусть Ооткрытое множество в комплексной плоскостиН — пространство функций, голоморфных в С, с топологией равномерной сходимости на компактах С] верно ли, что каждое замкнутое инвариантное подпространство }? С Н допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки экспоненциальных одночленов, в нем содержащихся. Сам Л. Шварц рассмотрел в этой работе случай С = С и показал, что каждое инвариантное подпространство допускает спектральный синтез.

Задачей описания инвариантных подпространств в других пространствах аналитических функций занимались: Л. Эренпрайс (пространство целых функций в Сп, п > 1) [37], И.Ф. Красичков-Терновский (Н (В) — пространство голоморфных в И функций, где Ивыпуклая область) [11] - [13], Леонтьев А. Ф. [18], Напалков В. В. [26] и другие математики.

При исследовании инвариантных подпрострванств аналитических функций роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающие структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов и, как следствие этого, задача сводится к исследованию аналитико-алгебраических свойств целых функций экспоненциального типа.

В ряде случаев замкнутые аннуляторные подмодули являются замкнутыми идеалами в некоторых пространствах целых функций. Так, например, в случае пространства целых функций Н© аннуляторные подмодули инвариантных подпространств являются замкнутыми идеалами в алгебре целых функций экспоненциального типа. Таким образом, задача описания инвариантных подпространств в пространстве Н© сводится к описанию замкнутых идеалов в алгебре целых функций экспоненциального типа.

Пусть I нетривиальный замкнутый идеал в алгебре целых фзшкций Н©. Любая функция / Е Н© имеет нули (иначе I = Н (С')). Обозначим через А/ = {Апоследовательность нулей функции / - кратность Хк). Множество, А = П А/ называется нулевым множее* ством идеала I. Хорошо известно, что в Н© любой замкнутый идеал описывается нулевым множеством, т. е. любая функция, обращающаяся в нуль на, А принадлежит I и любая функция из I обязательно обращается в нуль на А.

Оказывается, последнее справедливо и для более узких классов целых функций. Так, Л. Шварц (см. [40]) доказал, что в алгебре целых функций экспоненциального типа любой замкнутый идеал однозначно описывается своими нулями. В 1965 году Рашевский Г1.К. (см. [33]) показал, что и в алгебре целых функций первого порядка минимального типа справедливо аналогичное утверждение. Более общий случай в 1967 год}' рассмотрел Красичков — Терновский И. Ф. (см. [10]): здесь роль мажоранты играет достаточно произвольная монотонно возрастающая непрерывная функция M (i), t > 0. Он показал, что в алгебре целых функций, рост которых определяется такой мажорантой, любой замкнутый идеал однозначно определяется множеством своих нулей. Частный случай последней задачи, а именно случай M (t) = exp (atp), 0 < а < оо, q < оо, рассмотрел Никольский Н. К. (см. [30]). Он получил аналогичный результат, и в частности, указал условия, при выполнении которых замкнутый идеал будет главным. Для алгебры целых функций порядка q конечного типа (g — целое) этим оо условием является сходимость следующего ряда:? z^ q, где {??j к—1 последовательность нулей идеала. Заметим, что при q нецелом идеал всегда главный.

Близкими к задаче об описании инвариантных подпространств аналитических функций являются задачи, связанные с решением однородного уравнения свертки, так как множество решений такого уравнения является инвариантным подпространством относительно оператора дифференцирования. Однородные уравнения свертки для аналитических функций подробно изучались в работах Л. Эренпрайса [37], Б. Мальгранжа [39], Коробейника Ю. Ф. [9], Красичкова — Терновского И. Ф. [14], Леонтьева А. Ф. [20], Напалкова В. В. [24], Юлмухаметова Р. С. [36] и т. д.

С указанными выше задачами тесно связаны задачи о базисе, интерполяции, представляющих системах и т. д.

В диссертации вместо пространств аналитических функций рассматриваются весовые пространства двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел. Решается следующая задача.

Для 1 < р < оо и вещест, венного cv < оо введем в рассмотрение нормированное полное пространство числовых последовательностей комплексных чисел.

Ар, а = {а = (а")2°-со: \а\Р>а =^Р апехр{-апр) < оо}.

Рассмотрим теперь индуктивные и проективные пределы семейства (по, а) таких пространст. в:

А[р, оо) = = = []Ар-а,+Ь, а а а.

А[роо] = о] = ГАр>спАр о, — = П^р-а-Ь, а а а.

Снабдим их топологиями индуктивного и проективного пределов введенных банаховых пространств, соответсвенно.

Для удобства, в дальнейшем под А+ будем, подразумевать одно из пространст. в: под А~ одно из пространств: а под, А будем понимать одно из пространств: А+, А~. В пространстве, А рассмотрим оператор сдвига.

Б: АА, (5а)&bdquo- = ап+ь, а = {а&bdquo-} Е А. ¦

Замкнутое подпространство? С, А назовем подпространством инвариантным относительно сдвигов, если, а Е IV тогда и только тогда, когда 5а Е V/.

Очевидно, подпространства ]? = А и ]? = {0} являются инвариант, ными. Они называются тривиальными инвариантными подпространствами. В дальнейшем рассматриваются только нетривиальные инвариантные подпространства, поэтому слово «нетривиальное» будем опускать.

Ставится задача: описать инвариантные подпространства в А.

Пусть Л — индексированное множество пар {Лгде лежат в полосе П = {г? С: 0 < Яе (г) < 27г}, а т&- - целые числа. Множество, А называется спектром нетривиального инвариантного подпространства И7, если И/Г содержит все экспоненциальные последовательности вида е^^Л^е^^^.-ЛМ^^е^^ДЛьт,) е Л, и не содержит других экспоненциальных последовательностей (число ???,? называется кратностью точки А&-).

Отметим, что пространства числовых семейств, операторы сдвига (вправо, влево) и операторы свертки на этих семействах изучались, например, в работах Ю. Ф. Коробейника (см. [8], там же можно посмотреть обзор литературы по этой теме). Указанная работа, в частности, посвящена представлению класса операторов, перестановочных с операторами сдвига, приведен общий вид нетривиального инвариантного относительно сдвига вправо подпространства пространства (односторонних) последовательностей в терминах степеней сдвигов вправо исходного пространства, когда выполняются следующие условия: 1). само пространство совершенно и инвариантно относительно правого и левого сдвигов- 2). пространство является алгеброй относительно свертки, в которой каждый элем.ент. имеет обратный (см. [8], с. 81−82).

Основным методом исследования в диссертации является описание сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа функционалов. Особенностью метода является то, что преобразование Лапласа функционала из сопряженного пространства является целой периодической функцией определенного роста.

Получены следующие основные результаты:

• в алгебрах целых периодических функций показано, что любой замкнутый идеал описывается нулевым множеством и более того — является главнымв частности, дано построение целой периодической функции по заданному нулевому множеству, найдены условия разрешимости интерполяционной задачи в этих алгебрах (случай простых узлов интерполирования);

• доказано, что любое инвариантное подпространство пространства А+ допускает спектральный синтез и совпадает с решением некоторого одного однородного уравнения свертки в А+;

• в случае, когда характеристическая функция оператора свертки в А+ имеет только простые нули, указаны достаточные условия базисности системы элементарных решений в пространстве всех решений однородного уравнения свертки;

• показано, что в любом инвариантном подпространстве пространства А~ существует такой элемент, множество всевозможных сдвигов которого образует базис в этом подпространстве.

Структура диссертации.

В главе 1 вводятся пространства целых периодических функций конечного порядка, рассматривается задача построения функций из этого класса по заданным значениям в заданных точках, исследуются замкнутые идеалы в этих пространствах.

В главе 2 вводятся весовые пространства двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел, а также подпространства в этих пространствах, инвариантные относительно сдвигов.

Глава 3 посвящена описанию инвариантных подпространств в пространстве А.

Краткое содержание Главы 1.

П. 1.1 Для 1 < g < оо и 0 < а < оо рассмотрим банахово пространство.

Р,&bdquo- = {/:/€ Я©, f (z+2x) = /(*), II / ||,= sup < и ПОЛОЖИМ pk 01 = П Pq-e, Pg+0 = П Pq+e.

0 ?>0.

Превратим P[g, o] и Pg+o в линейные локально-выпуклые пространства, снабдив их топологией проективного предела соответствующих банаховых пространств. Пусть РгоосЛ = U Ро, а — индуктивный пре.

U> ' (Т<00 дел банаховых пространств P5-(7.

Пространства Р[д, о], Р[?.оф Рд+о являются топологическими алгебрами. В дальнейшем через Р мы будем обозначать одну из алгебр:

P[g, 0]> Р[5,оо)> Рд+0.

П. 1.2.1 Пусть последовательность комплексных чисел Л = {A?}: к = 1,2,., 0 < Re (ЛА) < 2tt, Ai ф 0, |Ai| < |Л2[ < lim |А*| = к—iоо оо имеет показателем сходимости число т > 0, а верхней плотностью число А. Построим множество Q = {Л + 2im}, п = 0, ±1, ±2,., и через q обозначим показатель сходимости, а через Ai — верхнюю плотность этого множества. Справедливы следующие утверждения. Лемма 1 Числа т и q связаны соотношением: q = г + 1. Лемма 2 Числа, А и Ai удовлетворяют неравенствам л/2)[~ТА < Ai < 2А.

П. 1.2.2 Согласно теореме Вейерштрасса о построении целой функции по заданной последовательности комплексных чисел, имеющей единственной предельной точкой бесконечность, по множеству О, (см. пункт 1.2.1) можно построить целую функцию так, чтобы Q было нулевым множеством построенной функции. Этой функцией является каноническое произведение множества Q. Но каноническое произведение, вообще говоря, не является периодической функцией.

Однако, в работе [32] посредством умножения, а — функции Вейер-штрасса на специальную функцию, построена широко известная в теории эллиптических функций в — функция Якоби, которая является целой периодической. В данном случае, а — функция является каноническим произведением множества {ik + п}, к. п = 0, ±1, ±2,. Возникает естественный вопрос: существует ли для произвольного (см. пункт 1.2.1) множества Q такая фзгнкция (не имеющая нулей), умножение которой на каноническое произведение множества Q, дает целую периодическую функцию с нулями в Q?

Оказывается, на этот вопрос всегда можно ответить положительно. Так, в работе [27], пользуясь упомянутой выше идеей Вейерштрас-са, удалось построить целую периодическую функцию по достаточно произвольному (см. пункт 1.2.1) нулевому множеству О. Что касается роста построенной функции, то порядок ее оказался выше показателя сходимости О. В работе [28] построенная этим же способом функция уже имела порядок равный показателю сходимости Q.

В этом пункте диссертации приведен другой метод построения целых периодических функций.

Теорема 1' По любой последовательности комплексных чисел Л = {А*}, к = 1,2,., До = 0, 0 < Re{Хк) < 2тг, 0 < |Ai| < |Л2| < ., lim = оо, с показателем сходимости 0 < т < оо и верхк—> оо ней плотностью А, можно построить целую периодическую функцию, обращающуюся в нуль только на Л по формуле: п ^^ п п im (k)=0 п{лк) im{xk)<0 ^{-^k) /т (А*)>0 ri{Ak) где h (z) = 1 — expiiz). Порядок этой функции равен q = т +1. Тип при порядке q будет минимальный, максимальный, нормальный в зависимости от того, будет ли число, А равно нулю> бесконечности} числу отличному от нуля и бесконечности.

П. 1.2.3 Этот подпункт посвящен построению целых периодических функций по заданным значениям в заданных точках.

В пространствах целых функций задача интерполяции изучалась многими математиками (см., например, [1], [3], [4], [17], [19], [21], [23]). Например, в работе [19] А. Ф. Леонтьев рассмотрел алгебру целых функций порядка q конечного типа и, в частности, указал условия, при выполнении которых интерполяционная задача в этой алгебре разрешима. Эти условия касаются узлов интерполирования.

Оказалось, что для алгебры Р (q > 1) условия на узлы интерполирования можно ослабить, а именно: достаточно проверить их в полосе П•= {z Е С: 0 < Re (z) < 27г}. Справедлива следующая.

Теорема 2 Пусть последовательность различных между собой комплексных чисел Л = {А&-}: А&Е П, к — 1,2,., О < |Ai| < [А2.| < ., lim Xk =00 удовлетворяет условиям: fc—>оо к. 1.

1). lim-—г = А < оо- 2). lim ——ч, Лп1. 1= ар < со, j Afe) rXfc-oo|Jm (Ajfc)|? '^'(А*) 1 где F (z) Е Р[д, оо) функция с нулями в {А^}. Пусть далее — последовательность комплексных чисел со свойством:

1пск.

Тогда существует функция оо (г) Е Р[д, оо) — сь.

Для алгебр Р[?)о], Рд+о справедливы аналогичные утверждения.

П. 1.3 Здесь рассматривается задача описания замкнутых идеалов в алгебре Р.

Впервые в таком классе задача описания замкнутых идеалов рассмотрена в работе [28]. Как известно (см., например, [10], [11]), описание замкнутых идеалов в основном сводится к следующему вопросу. Пусть I замкнутый идеал в некоторой алгебре целых функций и.

Л/ = {Л&-} нули этого идеала. Пусть f Е I и А{ = {Ат} нули /. Спрашивается: будет ли идеал содержать функцию f/(z — А-) Е I для любого Е Л/, Аг- 0 Л/?

Очевидно, в случае периодических функций делением периодической функции на непериодическую функцию —¿-о) мы всегда выходим из класса периодических функций. Поэтому в работе [28] для алгебры Р вместо одночлена (г — го) предложена целая периодическая функция (1 — ехр{г{г — ¿-о))) — После такого изменения, используя классическую схему (см. например, [37], [10]), удалось доказать, что любой замкнутый идеал из Р описывается нулевым множеством (см. [28]).

Отсюда, в частности следз’ет, что если каноническое произведение (построенное по нулям рассматриваемого идеала) принадлежит алгебре Р, то оно принадлежит и идеалу I. Можно показать, что в этом случае I будет главным идеалом. Но как было ранее замечено, в случае алгебры Р, каноническое произведение по нулям идеала не является периодической функцией. Поэтому в работе [28] был предложен один способ построения целой периодической функции по заданному нулевому множеству (например по нулям идеала). Там же указаны условия, при выполнении которых замкнутый идеал будет главным.

Как отмечалось ранее, в диссертации предлагается другой способ построения целой периодической функции. Следствием этого является то, что от условий, сформулированных в работе [28], удалось отказаться.

Теорема 5 В алгебре Р любой замкнутый идеал является главным.

Краткое содержание Главы 2.

П. 2.1 Этот пункт посвящен исследованию пространства, А (см.выше). В частности, показано, что это пространство является полным рефлексивным пространством.

П. 2.2 Данный пункт посвящен описанию пространства А* - сильного сопряженного к пространству А. Так, например, показано, что.

А+* = А-, А-* = А+.

П. 2.3 Преобразованием Лапласа функционала Ь (в пространстве А+) называется функция оо.

Ь () = (Ь,{ехр (т)})= Е ЬпегпХ. п=—оо.

Показано, что преобразование Лапласа устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функционалами в пространстве А+ и целыми периодическими функциями.

Теорема 6 Пространства А~ и Р топологически изоморфны:

А[р,-оо — Р[д, 0]5 А[р,-0) — Р[д, оо), А>-0- Рд+0, где д, р > 1, ир + ^ = 1.

Показано, что А~ является алгеброй с операцией свертки в качестве умножения. Пусть /, д? А~. Тогда свертка (/ на, а Е А+ действует следующим образом: оо оо * 9, а) = X) /р Е 9пап+рр= — ОО П— — 00.

Краткое содержание Главы 3.

П. 3.1 В этом пункте вводятся инвариантные подпространства в пространстве, А и ставится основная задача: описать эти подпространства. Показано, что задача описания инвариантных подпространств в пространстве А" сводится к задаче описания замкнутых идеалов в алгебре Р.

П. 3.2 Здесь доказавыется следующий принципа двойственности: между совокупностью {И7} инвариантных подпространств в А+ и совокупностью {V} замкнутых идеалов в А~ имеет место взаимно однозначное соответствие по правилу: Ж V тогда и только тогда. когда Цг — V = И¹.

В силу этого принципа описание инвариантных подпространств в пространстве сводится к описанию замкнутых идеалов в алгебре Р.

П. 3.3 Пусть Ъ Е А". Он порождает следующий оператор:

Мь[а](р) = (Ь, {ап+р}) = (6,5ра), а = {а,.} Е А, р — целое, который называется оператором свертки в пространстве А+. Характеристической функцией оператора свертки называется функция Ь (А) -преобразование Лапласа функционала Ъ.

В данном пункте диссертации рассматривается однородное уравнение свертки в пространстве А+ :

Мъ[а)(р) =0, р — целое.

Теорема 7 Любое инвариантное подпространство V*/ С А+ является решением некоторого однородного уравнения свертки и решение любого однородного уравнения свертки является инвариантным подпространством.

П. 3.4 Пункт посвящен собственно описанию инвариантных подпространств.

Введем следующее обозначение: е (А, т) = {{етеА}п, {(?п)е'" пА}п, {(ш)УпА}",{(т^У^}, где, А Е П, а т целое неотрицательное число.

Теорема 8 Любое инвариантное подпространство V С А~~ имеет непустое «нулевое множество» А = [А/., ///-.} и имеет следующее описание.

V = {Ье А~: (Ъ, е (к, тк)) = 0, У (Аьтк) е А].

Теорема 9 Любое инвариантное подпространство У/ С А+ имеет непустой спектр и допускает спектральный синтез.

П. 3.5 Данный пункт диссертации посвящен построению базисов в инвариантных подпространствах.

Теорема 10 Пусть У/ СА^о] инвариантное подпространство и {Аь1} - спектр У/. Пусть далее выполнено условие где? I — Ж1, д = — 1) — Тогда система {е (А&, 1)} является абсолютным базисом в У/ — зрап{е (Хк, 1)}, т. е. для любого, а Е У/ верно представление со, а = Е аке (Хк, 1). к=1.

Аналогичные утверждения справедливы и для пространств о,+ .

Для однородного уравнения свертки в А+ эти утверждения удобно формулировать в терминах характеристической функции. Приведем формулировку такого утверждения для пространства: если характеристическая функция Ь (А) оператора свертки Мъ[а](р) в пространстве Ау>оа) имеет только простые нули {А^}, А&-? П и удовлетворяет условию 1 1.

Ип! -1=0, где я = р/(р- 1),.

1с->оо1т{]с) Ь'{ Хк) то любое решение однородного уравнения свертки можно единственным образом представить в виде абсолютно сходящегося ряда элементарных решений.

Для пространства А~ справедлива следующая Теорема 13 Для любого инвариантного подпространства V С А~ существует такой элемент Ъ Е V, что система является базисом, в этом подпространстве.

1. Братищев A.B. О разрешимости интерполяционной задачи в пространствах р (г), Н (в)) и [р (г), Н (в)]. — Механика сплошной среды. Ростов н/Д. 1981. С.49−54.

2. Драгилев M. М., Захарюта В. П., Коробейник Ю. Ф. Двойственная связь между некоторыми вопросами теории базиса и интерполяции. // ДАН СССР. 1974. Т.215. N 3. С.522−525.

3. Евграфов М. А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. М. Гостехиздат. 1954.

4. Казьмин Ю. А. К вопросу о восстановлении аналитической функции по ее элементам. // Изв. АН СССР. сер. матем. N30. 1966. С.307−324.

5. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1989.

6. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше. // Матем. сб. 1975. 97(139). N2(6). С.193−229.

7. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. И. Приложения к LN* пространствам и другие вопросы. // Матем. сб. 1975. 98(140). N1(9). С.3−26.

8. Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов н/Д. Издательство Ростовского университета. 1983.

9. Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в (выпуклых областях. // Матем. сб. 1968. Т.75(117). N2. С.225−234.

10. Красичков И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. // Изв. АН СССР. 1967. Т.31. N1. С.37−60.

11. Красичков Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Матем. сб. 1972. Т.87. N4. С.359−489.

12. Красичков Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Матем. сб. 1972. Т.88. N1(5). С.4−30.

13. Красичков Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза. // Матем. сб. 1972. Т.88. N3(7). С.331−352.

14. Красичков Терновский И. Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях. //ДАН СССР. 1971. Т.197. N1. С.29−31.

15. Кривошеее А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки. // УМН. 1992. Т.47. N6. С.3−58.

16. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат. 1956.

17. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1975. Т.39. N3. С.657−702.

18. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983.

19. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения. Труды математического института им. В. А. Стек лов а. 1951. т. 39.

20. Леонтьев А. Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1965. Т.29. С.269−328.

21. Леонтьев А. Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка. // ДАН СССР. Т.61. N5. 1948. С.785−757.

22. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространстве Смирнова. Дис.. канд. физ.-мат. наук. Уфа. 1992.

23. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и рштерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1988. Т.52. N3. С.559−580.

24. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982.

25. Напалков В. В. О базисе в пространстве решенрш уравнения свертки. // Мат. заметки. Т.43. N1. 1988. С.44−55.

26. Напалков В. В. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно сдвига. //Изв. АН СССР. сер. матем. 1972. Т.36. N6. С.1269−1281.

27. Напалков В. В., Шагапов И. А. Построение целой периодической функции заданного роста. В кн. «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. I. Комплексный анализ.» // ИМ с ВЦ РАН. Уфа. 1996. С.76−80.

28. Напалков В. В., Шагапов И. А. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых периодических функций.// Доклады РАН. 1997. т.354. N6. С.739−741.

29. Напалков В. В., Шагапов И. А. Об инвариантных подпространствах в некоторых пространствах числовых последовательностей. //Тезисы докладов междунар. конф. по комплексному анализу. ННГУ. Нижний Новгород. 1997. С. 46−50.

30. Никольский Н. К. О замкнутых идеалах в некоторых алгебрах целых функций. //СМЖ. 1968. Т.9. N1. С.211−215.

31. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.2. М.: Наука. 1968.

32. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука. 1984.

33. Рашевский П. К. О замкнутых идеалах в одной счетно нормированной алгебре целых аналитических функций. // ДАН СССР. 1965. Т.162. N3. С.513−515.

34. Себаштъян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. Математика. 1957. Т.1 N 1. С.60−77.

35. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир. 1969.

36. Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки. //ДАН СССР. 1991. Т.316. N2. С.312−315.

37. Ehrenpreis L. Mean periodic funetions. // Amer. J. Math. 1955. V.77. N2. P.293−326.

38. Ehrenpreis L. Fourire analysis in several complex variables New York: Wiley-Intersci. publishers. 1970.

39. Malgrange B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier 1955;56. V.6. P.271−355.

40. L. Schwartz. Theorie generale des fonctions mogenne-periodique. Ann. Math. 48. N4 (1947). P.857−929.