Анализ напряженно-деформированного состояния вблизи скважины в телах из трансверсально изотропного упругого и вязкоупругого материалов

Возможности и успехи современного производства практически во всех отраслях промышленности, добычи полезных ископаемых, нефти, газа, а также безопасность производимых работ обуславливаются в первую очередь предварительным изучением возникающих при этом проблем, а также проведением научных расчетов, теоретических исследований, экспериментов.

Экспериментальные исследования, безусловно, являются чрезвычайно эффективным методом изучения тех или иных закономерностей в науке, однако без их анализа на базе теоретических исследований они во многих случаях становятся формальными и не позволяют раскрыть физическую сущность происходящих процессов. Определяющую роль играет правильное моделирование изучаемого процесса при помощи существующих апробированных теорий или при развитии новых научных теорий и методов решения задач.

Определение напряженно-деформированного состояния тел, массивов, имеющих выработки, отверстия, полости, трещины., является основой для решения конкретных задач в различных областях механики, геомеханики, горного дела.

В частности, в настоящее время существует стабильный и устойчивый интерес к исследованиям в различных областях нелинейной теории упругости и вязкоупругости. Этот интерес объясняется возможностью приложения данной теории к расчетам напряженно-деформированного состояния в телах из материалов, способных испытывать и накапливать больше деформации. Основные положения нелинейной теории упругости и вязкоупругости сформулированы и изложены в работах [3,5,6,8,9,10,17.

18.34,44,59.62,67,68,70,72,76,78,93,1023.

Важными вопросами этих разделов механики, требующими дальнейшего развития, остаются [14,15,24,56,57,60,75,84,85, 1033: экспериментальные исследования для определения механических характеристик материалов;

— решение конкретных задач механики для данных материалов;

— разработка новых теорий и проведение подтверждающих эти теории экспериментов, в частности, для случая предварительно напряженных тел.

Изложение общей теории конечных упругих деформаций, методы решения краевых задач приводятся в [1,2,4,16,19,31−33, 39−43, 45,46,48,54,61,63,69,79 — 83,87,92,94,95]. Эта работы содержат обширную библиографию по данному вопросу.

В [14,15,20−22, 24−26, 35, 38, 52, 58, 60, 64, 75, 84,853 приводится обзор. гипотез и методов решений задач теории упругости и горной механики. Наиболее распространенными гипотезами при приложении методов механжси сплошной среды к решению горных задач являются:

1. Гипотеза сплошной средыиспользована в работах А. Н. Динника, Г. Н. Савина, И. В. Баклашова.

2. Гипотеза пластичной средыиспользована в работах Р.Феннера.

3. Гипотеза упруго-пластичной средыиспользована в работах А. Лабасса, К. В. Руппенейта, Ю. М. Либермэна, Л. В. Ершова.

4. Гипотеза наследственной ползучестииспользована в работах Ж. С. Ержанова.

В работах [14,15,24,60] указываются наиболее общие недостатки этих гипотез и методов решений горных задач:

1. Учитываются упругие деформации и относительно малые деформации ползучести при нагрузках в пределах 20−70% от разрушающих, т. е. рассматриваются малые деформации, тогда как в реальных условиях существуют большие деформации ползучести, пластичности, вязкость горных пород.

2. Решения осуществляются не на основе изучения физической сущности явлений, а формально, по произвольно принятым параметрам.

3. Гипотезы не учитывают реальной формы разрушений пород вокруг выработки, реальную структуру массивов пород, наличие в них трещиноватости и др. дефектов.

В работах [243, [743 рассматривается напряженное состояние выработок в наклонно-слоистом массиве при помощи теории ползучести горных: пород. Упругие постоянные заменяются по принципу В. Вольтерра — Ю. Н. Работнова соответствующими временными операторами.

В работах [7,14,15,25,643 и др. указывается, что материалы горных пород, минералов имеют анизотропную структуру. Такие породы как нефелин, гринокит, апатит и т. д. имеют свойства трансверсально изотропного тела с гексагональной системой кристаллической решетки. В [58] приводится решение линейной задачи Лехницкого С. Г. о напряженно — деформированном состоянии скважины в трансверсально изотропном массиве.

В [7,14,25,64,75,84,853,работах акад. Г. А. Ребиндрера и его школы рассматривается влияние среды на процессы деформирования. Указывается, что температура массива на о глубине 12−14 км. составляет от 200−600 С. Влияние температуры сводится к уменьшению предела текучести о^.Так для большинства осадочных пород нагрев до 200 С приводит к уменьшению о^ на 15−20%. Установлено, что изменения процессов деформирования и разрушения твердых тел под действием среда в основном обуславливаются физико-химическими явлениями, протекающими на поверхности раздела твердое тело-среда, к которым относятся смачивание, адсорбция и растворение. Рассмотрено изменение с глубиной плотности, давления, адиабатического объемного модуля сжатия, модуля сдвига, коэффициента Пуассона. Показано, что изменение упругих модулей на глубине порядка 10−15 км. незначительно.

В рамках теории нелинейной упругости и вязкоупругости представляют интерес задачи о поэтапном нагружении тел при больших деформациях.

Задачи наложения малых деформаций на большие подробно были рассмотрены в работах [20−22]. Постановки, и решения задач наложения больших деформаций на большие могут быть получены на основе разработанной Г. С. Тарасьевым, В. А. Левиным теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций [48,51,86,88,90]. Первый результат в этой области был получен В. Д. Бондарем [80] и представляет собой уравнения равновесия, записанные в координатах, отсчитываемых от метрики, определяемой первоначальным напряженным состоянием.

Основные постановки задач о нагружении упругого тела в два этапа (причем на первом этапе происходит статическое нагружение) были получены Г. С. Тарасьевым.

Распространенным методом решения ряда задач, является метод малого параметра, в общем виде изложенный в [23,31,36,37,45,89,100].

В частности, в [19] решена задача о концентрации напряжений около кругового отверстия в теле из несжимаемого упругого материала (вычислены 3 приближения). В [11,12,27−30,47−58,65,66,77,91, Ю4-Ю6] рассмотрены нелинейные задачи о концентрации напряжений в многосвязных упругих телах.

В работах [43,45,61] рассмотрено применение метода Ньютона — Канторовича [23] к решению нелинейных задач о концентрации напряжений.

Вопросы построения определяющих соотношений для вязкоупругих материалов, постановки краевых задач вязкоупругости (в том числе нелинейных) и общие методы решения этих задач приводится в работах [3,18,24,28−30,33−35,47−50, 71,73−74,80−82,95,97,101−103]. В монографии [341 рассмотрено применение метода последовательных приближений к решению задач вязкоупругости с использованием преобразования Лапласа для каждого приближения. В [27,47,49] для случая конечных деформаций методом последовательных приближений решены различные типы задач о концентрации напряжений около кругового, в момент образования, отверстия в предварительно нагруженном теле из вязкоутгругого материала. В упомянутых работах вычислены два приближения.

Важно отметить, что при применении рассмотренных методов к решению нелинейных задач возникает необходимость выполнения громоздких аналитических преобразований и вычислений. В связи с этим целесообразно использование при работе на ПЭВМ специализированных систем аналитических вычислений (GAB) для получения аналитических решений рассматриваемых задач. Системы аналитических вычислений нашли применение в механике сплошных сред, горной механике.

Целью данной работы является решение класса одномерных и осе симметричных задач теории наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций в телах из трансверсально изотропного упругого и вязкоупругого материалов, разработка алгоритмов и лрограмного обеспечения, реализующего эти алгоритмы решения поставленных задач.

Научная новизна работы заключается в решении ряда задач теории наложения больших деформаций для массивов из трансверсально изотропного упругого и вязкоупругого материалов, в которых концентраторы напряжений образуются в массиве с уже накошенными большими деформациями, вызывая возникновение дополнительных больших (по крайней мере в окрестности вновь образованной полости) деформаций и напряжений, которые накладываются на начальные.

Теоретическая значимость и практическая ценность работы состоит в том, что:

1) получено точное решение одномерной задачи о равновесии упругого полупространства, находящегося под действием силы тяжести, механические свойства материала которого описываются четырнадцатиконстантным потенциалом. Также получены решения данной задачи методом Ньютона-Канторовича и малого параметра. Проведен сравнительный анализ точности решений, полученных этими методами.

2) решен ряд осесимметричных задач о распределении напряжений вблизи вертикальной круговой в промежуточном состоянии скважины в трансверсально изотропном упругом и вязкоупругом массивах.

3) разработаны программы для решения на ЭВМ класса задач о наложении больших упругих и вязкоупругих деформаций.

Основные результата работы докладывались: на IV Международном симпозиуме по устойчивости и пластичности. (т.Тверь, 1998 г.).

По теме диссертации опубликовано 5 научных работ.

Материалы диссертации изложены на 131. странице машинописного текста. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложений, в которые вынесены полученные основные численны^ результаты, а также построенные графики распределения напряжений и деформаций.

1.Абрамов В. В., Тарасьев Г. С. Меры деформаций и их тензорное определение//В кн.:Исследования по механике деформируемых сред. -Тула, ТПИ, 1972. С.3−13.

2. Адамов A.A. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях//Структурная механика неоднородных сред. Свердловск, 1982. — С.8−11.

3. Адкинс Дж. Большие упругие деформации// Механика.Сб.переводовМ.:1957. N1. — С.67−74.

4. Арутюнян Н. Х. О принципе соответствия в теории ползучести при конечных деформациях// Изв. АН СССР, Мех. твердого тела. 1980. -N5. С.100−105.

5. Арупонян Н. Х., Дроздов А. Д., Наумов В. Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука, 1987. 472 с.

6. Арутюнян Н. Х., Колмановский В. Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. — 336 с.

7. Беликов Б. П., Александров К. С., Рыжова Т. В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород.- М.: Наука, 1970. 274 с.

8. Бленд Д. Теория нелинейной вязкоупругости.- М.: Мир, 1965.-191 с.

9. Бленд Д. Нелинейная теория упругости.- М.: Мир, 1972. 183 с.Ю.Блох В. И. Теория упругости.- Харьков: изд-во Харьк. ун-та, 1964.483 с.

10. Бондарь В. Д. Об одном классе точных решений уравнений нелинейной упругости // Динамика сплошной среды .-Новосибирск, 1987 .- Вып.28. С.30−42.

11. Бондарь В. Д. О конечных плоских деформациях несжимаемого упругого материала// Журнал прикладной механики и технической физики. 1990. — N2. — С. 155−164.

12. Бондарь В. Д. Об уравнениях совместности деформаций и напряжений// Прикл. математ. и механика. 33, N6,1969. С.1094−1104.

13. Борисов A.A. Механика горных пород и массивов. М. гНедра, 1980.-360 с.

14. Булатов В. В. Механика разрушения горных пород при сверхглубоком бурении. Новосибирск: Наука, 1966. — 205с.

15. Ворович И. И. Некоторые проблемы концентрации напряжений// Концентрация напряжений.- Киев, 1968. Вып.2. С.45−53.

16. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости.-М.: Наука, 1969. 336с.

17. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды.- М.: Мир, 1965, — 445с.

18. Громов В. Г., Толоконников JI.A. К вычислению приближений в задаче о конечных плоских деформациях несжимаемогоматериала //Известия АН СССР. Отделение технических наук, сер. Механика и машиностроение.- 1963. N2. С.81−87.

19. Гузь А. Н. Основы теории устойчивости горных выработок.-Киев: Наук. думка, 1979. 144с.21 .Гузь А. Н. О задачах устойчивости горных выработок// Докл. АН СССР. 1980. — 253, N3. — С.- 555.

20. Гузь А. Н., Кулиев Г. Г. Задачи устойчивости бурящихся скважин// Прикл.мех. 1983. — 19, N2. — С.3−13.

21. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Наука, 1974. 544с.

22. Ержанов Ж. С. Теория ползучести горных пород и ее приложения.- Алма-Ата: Наука, 1964. 175с.

23. Жарков B.H., Калинин В. А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: — Наука, 1968. 311 с.

24. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела.- М.: Наука, 1978. 208с.

25. Ильюшин A.A., Победря Б. Е. К вопросу о нелинейной теориивязкоупругости.-В кн.-" Прочность и пластичность" М.:Наука, 1971.-С.59−75.

26. Ильюшин A.A., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости.- М.: Наука, 1970, — 280 с.

27. Илыошин A.A. Механика сплошной среды.- М.: Изд-во Моск. унта, 1971 247 с.

28. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.- М.:Наука, 1984.-752 с.

29. Каюк Я. Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. Киев: Наук. думка, 1980. — 116 с.

30. Колгунов М. А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. -277 с.

31. Колтунов М. А., Трояновский И. Е. Метод упругих решений задач термовязкоупругости .-Механика полимеров, 1970, 4, С.588−596.

32. Колтунов М. А., Трояновский И. Е. Постановка задачи геометрически нелинейной теории вязкоупругости// Механика полимеров. 1975. — N2. — С. 234−240.

33. Космодамианский A.C. Распределение напряжений в изотропных многосвязных средах. Донецк. ДГУ, 1972. 265 с.

34. Космодамианский А. С., Клойзнер С. М. Некоторые задачи нелинейной теории упругости.- Донецк: Донецкий ун-т, 1971. -219 с.

35. Кошелев А. И. Метод Ньютона и обобщенные решения нелинейных уравнений эллиптического типа//Доклады АН СССР.- 1953. -91, N6. -С. 1263−1266.

36. Кристенсен Р.

Введение

в теорию вязкоупругости. М: Мир, 1974. -338 с.

37. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т.1. — М.: Наука, 1976. — 304 с.

38. Кутилин Д. И. Теория конечных деформаций. М: Гостехиздат, 1947.-275 с.

39. Левин В. А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала// Доклады АН СССР. -1988. 299, N5. С. 1079−1082.

40. Левин В. А. Краевые задачи наложения больших деформаций втелах из упругого или вязкоупругого материала. Дис.. доктора физ.-мат. наук. — Тверь, 1990. — 365 с.

41. Левин В. А., Булатов Л. А. Концентрация напряжений около кругового отверстия в теле из вязкоупругого материала // Механика композитных материалов. 1983. — N3. — С. 423- 426.

42. Левин В. А., Тарасьев Г. С. Об одном варианте модели вязкоупругого тела при больших деформациях// Прикладная механика. 1983. — 19, N7. — С. 38−42.

43. Левин В. А., Тарасьев Г. А. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний// Доклады АНСССР, 1980. 251, N1. — С. 63−66.

44. Левин В. А., Тарасьев Г. С. О напряженном состоянии вблизи вертикальной круговой скважины в полубесконечном массиве из вязкоупругого материала//Доклады АН СССР. 1982. — 264, N6. -С. 1316−1318.

45. Левин В. А. Об использовании теории наложения больших упругих деформаций для расчета напряженно-деформированного состояния массива вблизи горных выработок. ТГПИ, Деп. в ВИНИТИ, 1984. 8 с.

46. Левин В.А.(соавтор Г. С.Тарасьев)Исследование напряженного состояния вблизи вертикальной цилиндрической выработки с помощью теории наложения больших упругих деформаций. -Пршш.механика, 1982. 18, N10. — С. 115−117.

47. Левин В. А., Лохин В. В., Зингерман K.M. Способ оценки эффективных характеристик пористых нелинейно-упругих тел при конечных деформациях.- Труды IX конф. по прочности и пластичности, т. 2. Москва, 1996. С. 123−129.

48. Левин В. А., Лохин В. В., Зингерман K.M. Об оценке эффективных характеристик пористых материалов при больших деформациях. Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1996, N 6, с. 47−49;

49. Лехницкий С. Г. Распределение напряжений вблизи вертикальной цилиндрической выработки. Изв. АН СССР Отдел техн. наук, 1938, N7, С.69−76.

50. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М. — Наука, 1980. — 512 с.

51. Мажсимов А. П. Горное давление и крепь выработок.-М.:Недра, 1993.

52. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов. -М.: Наука, 1972. 327 с.

53. Мусхелишвшш Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. — 708 с.

54. Насонов JI.H. Механика горных пород и крепление горных выработок. М.: Недра, 1969. — 330 с.

55. Нечаев Л. М. О распределении напряжений около отверстий в упругих телах с начальными напряжениями// Работы по механике сплошных сред. Тула, 1985. — С. 103−117.

56. Нечаев Л. М., Тарасьев Г. С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле// Доклады АН СССР. -1974. 215, N2. — С. 301−304.

57. Новожилов В В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. -370 с.

58. Новожилов В. В., Толоконников Л. А., Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости// Механика в СССР за 50 лет. М., 1972. — Т. 3. С. 71−78.69.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1976. — 464 с.

59. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. — 502 с.

60. Победря Б. Е. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной вязкоупругости. Докл. АН СССР, 1967,173, N1, C. 62−63.

61. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичносги. М.: Мир, 1968. -175 с.

62. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.:Наука, 1979. 744 с.

63. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.-752 с.

64. Ребрик Б. М. Механика в разведочном бурении. М.: Недра, 1992. -301 с.

65. Ржаницин А. Р. Теория ползучести. М.: Наука, 1968. — 418 с.

66. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. — 887 с.

67. Савин Г. Н., Койфман Ю. И. Общая нелинейная теория упругости (обзор)//Прикладная механика. -1970. 6, N12. — С. 3−26.

68. Савин Г. Н., Космодамианский А. С., Гузь А. Н. Концентрация напряжений возле отверстий// Прикладная механика. 1967. 3, N10. -С. 23−38.

69. Седов Л. И.

Введение

в механику сплошной среды.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.-284 с.

70. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Tl. М.: Наука, 1973. -536 с.

71. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т 11. М.: Наука, 1973. -584 с.

72. Сокольников И. С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. -373 с.

73. Спивак А. И., Попов А. Н. Механика горных пород. М.: Недра, 1975. — 200 с.

74. Спивак А. И., Попов А. Н. Разрушение горных пород при бурении скважин М.: Недра, 1986. — 208 с.Вб.Тарасьев Г. С. К теории наложения конечных упругих деформаций // Технология машиностроения. Тула, 1970. — Вып.20. С. 142−149.

75. Тарасьев Г. С. Некоторые вопросы и задачи нелинейной теории упругости. Дис. доктора физ.-мат. наук. — М., 1975.258 с.

76. Тарасьев Г. С. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. Прикл.механика. -1971. — 7, N2. — С. 26−33.

77. Тарасьев Г. С. Об оцвнке малого параметра в одной задаче нелинейной теории упругости. Прикл.механика. — 1980. — 16, N7. -С. 137−139.

78. Тарасьев Г. С., Толоконников Л. А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала// Прикл.механика. 1966.2, N2. С. 22−27.

79. Тиблевич В. М. Задача о равновесии тяжелого трансверсально изотропного полубесконечного массива (конечные деформации)//Механика и физика фрикционного контакта. ТГТУ, Тверь, 1997. — С. 80−83.

80. Толоконников JI.A. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. Прикладная математика и механика. — 1957. 21, N6. -С. 815−822.

81. Толоконников J1.A. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Высш. школа, 1979. 318 с.

82. Точилин Э. Л. Об использовании комплексных потенциалов при решении краевых задач наследственной упругости//Прикладная механика.-1971.-7,НЮ.-С. 114−118.

83. Трояновский И. Е., Колтунов М. А. Об одном методе решения задач вязкоупругости// Механика полимеров. 1969. — N6. — С. 15−23.

84. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.- М.: Мир, 1975. 592 с.

85. Филипов .Г. К нелинейной теории вязкоупругих изотропных тел// Прикладная механика. 1983. — 19, N3. — С. 3−8.

86. Цурпал И. А. Расчет элементов конструкций из нелинейноупругих материалов. Киев: Техшка, 1976. — 175 с.

87. Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman К.М. Model ofcrack growth in incompressible elastic body undergoing finite deformation. -International Journal of Fracture, 1996, vol. 80, N1, p. R9- R12;

88. Levin У.А., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Method of estimation of effective properties of porous bodies undergoing finite deformation. International Journal of Fracture, 1996, vol. 81, N 3, p. R79-R82;

89. Трансверсально изотропный физически линейный вязкоупругий материал (гринокит):А. =0,245- А2 =0,005- Аз = -0,09- А" = -0,01- Аз= 0,16- Аб = .=Ан = 0-В1 =-0,06- Вг =-0,001- Вз = 0,023- В4 = 0,002- В5= -0,04- Вб = .= Вм = 2,5- а1= .= ам = 0,5;