О разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений неклассического типа

В наше время воздействие математики на научно-технический прогресс и на ускорение темпов его развитие осуществляется через построение математических моделей, реализуемых с помощью ЭВМ.

Однако, прежде чем приступить к численному исследованию построенных моделей, необходимо убедиться в корректности поставленной математической задачи. Поэтому вопросы существования и единственности решения изучаемых задач имеют большое значение.

В связи с расширением сферы приложений математических методов в настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Примером такого уравнения является уравнение Буземана-Кармана ^ - - = 0.

Сейчас ещё недостаточно хорошо развита теория краевых задач для уравнений, обобщающих классические уравнения математической физики. Следовательно, представляет большой интерес дальнейшее развитие теории граничных задач, посредством которой можно было бы выделить корректные краевые задачи для неклассических операторов. Например, продольные колебания составных стержней, состоящих из упругих и упруго-вязких участков, описываются системой уравнений третьего порядка.

Некоторые задачи в теории мелкой воды и распространение 'длинных волн — пунами приводят к уравнению Кортевега де Фриза.

Уравнение Кортевега-де Фриза одновременно учитывает нелинейность и дисперсию волн. И поэтому является удобной моделью при исследовании нелинейных диссипативных процессов. В настоящее время эти уравнения получены в физике плазмы, гидродинамике, акустике, радиоэлектронике, оптике. Уравнение Кортевега-де Фриза имеет, с физической точки зрения, интересный класс решений, описывающий отдельные волны — солитоны.

Впервые на важность изучения уравнений смешанного типа указал С. А. Чаплыгин в 1902 году в своей работе «0 газовых струях». Начало систематическому изучению уравнений смешанного типа было положено в двадцатых годах в работах Ф. Трикоми результаты которого в тридцатых годах обобщил С. Гел-лерстедт [б2] .

В 1937 году в работе И. Г. Петровского [47] была исследована задача Коши в области неаналитических функций для систем вида.

7 > • • • «2 г * * ' '.

1> ' • • 5 ••• «1.

С «———п и.

Л/ > • •• «.

77 яу- - некоторые положительные числа.

В 1958 году в работе С. Л. Соболева⁶⁶ J была рассмотрена смешанная задача для уравнения дЬп д и дк+еи е =f (*> Ь Акб = const и е^тп в предположении, что выполнено условие корректности задачи Коши.

В том же году А. А. Дезин [l5] доказал существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи для уравнения.

Uocxoc -+LU =f (oc>y)) где L — эллиптический оператор по переменным с постоянными коэффициентами, 2) — ограниченная область в F77. После работы 1945 года Ф. Н. Франкла [бО] дальнейшее развитие теорий уравнений смешанного типа получила в исследованиях К. И. Бабенко [2], А. В. Бицадзе [б], В. Н. Врагова [ll-13 ], М. В. Келдыша [25], И. А. Киприянова [26], В. П. Михайлова [41], Л. В. Овсянникова [44], О. А. Олейник, Е. В. Радкевич [45], М. С. Салахитдинова [5l], М. М. Смирнова [52], С. А. Терсенова [55], Г. Фикера [59], П. Лакса [бз], К. Моравец [б4], Р. Проттера [б5] и других авторов.

Достаточно полную библиографию по исследованию уравнений смешанного типа можно найти в монографиях А. В. Бицадзе [б], Т. Д. Джураева [l9], О. А. Олейник, Е. В. Радкевич [45], М. М. Смирнова [52] .

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлен и исследован ряд краевых задач для уравнения составного типа. Отметим здесь основопологающие работы С. Л. Соболева [53], А. Джураева [l8], Т. Д. Джураева [19], Ж. Адймара [б9] - [70]. Исследования Ж. АдсАмара были продолжены О. Сестраидом [71−72], Р. Б. Дэвисом [73−74] и Л.КаттабридЯф. [75]. Р. Б. Дэвисом отмечается прикладное значение уравнений третьего порядка, связанное с изучением уравнений четвертого порядка с малым параметром при старших производных.

В дальнейшем вышеназванные уравнения исследовались в работах: Б. А. Бубнова [7] - [ю], В. Н. Врагова [ю] - [14], Т. Ш. Кальменова [24], М. Отелбаева [24], И. М. Петрушко [48], М. С. Салахитдинова [51], М. М. Смирнова [52], С. А. Терсенова [56] и др.. Исследование нелинейных уравнений неклассического типа — это. сравнительноновое направление. Отметим здесь работы Т. И. Зеленяка, В. А. Новикова, Н. Н. Яненко [22], А.И.Ко-жанова, Н. А. Ларькина, Н. Н. Яненко [27] и многих других^на которые мы будем ссылаться.

Сравнительно недавно были исследованы начально-краевые задачи для уравнения Кортевега-де Фриза: Jruj Уо^ъ [67], 7A. fana, [tej, Б. А. Бубнов [7] - [ю], С. М. Кружков, Н. В. Фоминский [30], В. В. Хаблов [§ 7]. В работе Б. А. Бубнова доказана однозначная разрешимость в целом по Ь и исследовано поведение решений при t —- оо краевых задач для уравнений Кортевега-де Фриза и Кортевега-де Фриза-Бюргерса.

В.В.Хабловым показана корректность постановки краевой задачи для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. У.У.АбылкаировЩ доказал разрешимость различных краевых задач для модифицированных уравнений Кортевега-де Фриза высокого порядка.

Настоящая работа, состоящая из введения и двух глав, объединенных девятью параграфами, посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений нечетного порядка.

Перейдем к рассмотрению содержания диссертации.

В первой главе рассматриваются начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка, вырождающихся на границе области.

§ I.I. В этом параграфе введены основные функциональные пространства и вспомогательные утверждения, которыми мы будем пользоваться.

§ 1.2. Пусть = (0,1)х (0,1) — ограниченная область в /?Л с достаточно гладкой границей. В цилиндрической области QT— fO, TJx Q рассмотрим дифференциональное уравнение.

ЩxUXXJC — UyyJHUjcjc +lufu = (0.1).

Краевая задача. Найти решение уравнений (0.1) удовлетворяющее начальным и краевым условиям и! = (0−2) t = o со — -, гс! =uj = О, и! =и/ = О. (0'3))зс= о! х=1 /Уо /У— 1.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема I. Пусть ^ е Lz (Qr)г U0(x)€W22(Q)n&, 1(Q)} xUoxxxel2{Q) -а ±, J3>0.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.1) — (0.3). И для решения задачи имеют место следующие оценки и//2 0 + Нин2 ±cm2 (о.4).

Zoo (0tTiV21m 4 (О, ТIV/&)) L2(0,T-L2(Q)y.

Пи J2 + HVUJ2 йС if и2.

Loo (0,T-L2(Q)) v L2(0,T-l.2(Q)) lt L2 (Qt) где С — постоянная не зависящая от zi, f .

В конце этого параграфа рассматривается слабое решение задачи fo. lj — (Q.3j .

Определение I. Слабым решением задачи fo. ljназывается функция удовлетворяющее тождеству.

Щ. 9) + (хг<�хх, Ъс) + (^xx, rj + tfUyy + stUxxJ, (f) + f/U/Pu,.

ДЛЯ любой функции Zp S0. T', /V2 {OJj.

Теорема 2. Пусть f a Lz (o, TL2m, % (*> $ Тогда существует и притом единственное слабое решение задачи (ъл) — (0.3) .

§ 1.3. В ограниченной цилиндрической области рассмотрим уравнение йМ — - -иихх — Л-и = f, (06) ot где — Й-а ~ /г 1/хх -± .

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.6) в области QT, удовлетворяющее краевым условиям и данным Коши.

U / = Х/с (X, У). (0.8).

It=o.

Определение 2. Сильным решением задачи (0.6) — (0.8) называется функция ue. L2 (О, Ту W*(Q% U{^LZ (iО, T', L2(Q)), удовлетворяющая (0.6) — (0.8).

Теорема 3. Пусть Uqe: М ~ >Л J3 > fte. Lz (o, T №/(&)) и tuj^fa^ctiдостаточно мало.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.6) -(0.8). И для решения задач имеет место оценка t LZ (0,TSLZ (&)) Lz (0,T •>№*(&)) (0'9).

§ 1.4. В этом параграфе изучаетсятеоремы существования и единственности для следующего дифференциального уравнения.

2 2.

UU ¦+ ос Ы Л = + —.(0.10).

XX ососос f Г- ^ tfyZ.

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.10) в области, а. удовлетворяющее краевым условиям.

U/x-o — и1х-1 = и/у=о = и1у=1 = (О.П).

Основным результатом этого параграфа является следующая я.

Теорема 4. Пусть выполнены условия ju —ft,.

Hf II ^ 8 — достаточно малая постоянная.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.10), (0.II). И для решения задачи имеет место оценка.

ЦхЫ //, х.

А также, в этом параграфе исследованы некоторые классы нелинейных уравнений обобщающих уравнение (0.10).

ХЦс-с* + Pn (U)Uxx +/tu = f, .(0.13) где, А — эллиптический оператор второго порядка, а РКМ полином пй степени с ограниченными коэффициентами. § 1.5. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения.

0.14) дх2 ду2 с начальными условиями ди / = О, и/ = о. (0.15) дх 1-х—й /1= О.

Теорема 5. Пусть //?//,, ¦ ^ к,.

Ъ L2(О, Т- !*/<&)).

К — достаточно малая постоянная, jnу- >sf>, > О-Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.14), (0.15) и для решения имеет место оценка ilUj. ll + //Ш + 4 (О, T, L2 (Я+у)) 12 (О, ГW2(R^)) Uxu // ^ С < оо. ,(0Л6).

L2 (О, ТL2 (R+y)).

Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи ддя некоторых классов нелинейных уравнений нечетного порядка вырождающихся внутри области.

§ 2.1. В области Qt=(0,T)*Q, Q = (-1,1)* (0,1) рассмотрим дифференциальное уравнение Ut — x'" *'VXJCX + -UUx-jCiAU = f, (0Л7) — целое число больше нуля.

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.17) удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

I О °.

— U / = и t = О, а/ = uf — о, (0.19) />=-/ / X— i /у^о /у=1 д2и / = dhi / = о. дх2 дх2 }х=1.

Теорема 6. Пусть f? L2(OjLz (Я))} UQ (x) e IV/(Q), juJJpJ > 5, 5 > 0,.

Тогда существует единственное решение задачи (0.17) — (0.19), и для решения имеют место оценки.

Ш, И + № 1/ ^ С < оо, v loo (0,Г-1г (Q)) L оо (О, ТW.'&)).

0.20).

Их 2 г?^иггг Ц + 1/UJJ? С < оо .

Lz (Qt) L2 (О, ТIV2(Q)).

§ 2.2. Рассмотрим в области QT= (OS) х Q начально-краевую задачу для уравнения.

Щ + Х2п+1ИлххjUA-ич- /u/PU = f C0.2I).

U J= О, (0.22).

П — целое число больше нуляI.

Чс = их/ = о, и! = -и! =0, (0.23) и/ = и/ = О. у— О.

Определение 3. Обобщенным решением задачи (0.21) — (0.23) называется функция U6 12{0.Г:&-/&-)), Щ&euroL2 (0,Т, L2(Q)) и удовлетворяющая следующему интегральному тождеству •.

Щ, (?) + /t vcp) +2 (2 n+i)^XZnUx ¦(f>Kdxdy + + (2п+1)2п ос2п~1 V (p docclu + p?. — «>•*> j oc2n^Ux c/xc/y = frtjpjf/u/ru, (p), Q V (pG ^(Q)mvlCQ).

Теорема 7. Пусть ytt > Ог J) ^-f.

— ft e. L2(OJL2 (Q)).

Тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (0.21)-(0.23). И для решения имеет место оценка.

Ш+t + //U// 0 ^ С < оо. .(0.25).

4 (О, т, 4 (Q)) i2 {О, Т — v’rQ)).

§ 2.3. Изучается разрешимость задачи Коши для уравнения.

— jUAU ±UUxx=f б #2x (ar) (0>26) вырождающегося внутри области. Теорема 8. Пусть f б Lz (o, T-, ivl (/?h ft 6 L2(o, T-L2m).

Тогда, при достаточно большом jU. yO, существует единственное сильное решение задачи (0.26), (0.27. И для решения задачи имеют место оценки о 9 и If л? с < ОО, с < oo. lz (#2J).

§ 2.4. В этом параграфе доказывается теорема существования и единственности решения следующей задачи.

Х*3ЦкххН гси^ = / S (0>29).

Q = (o.i)х к, /? = оо^ *< о, n/yxai = Л.

Теорема 9. Пусть ЦЦ^ ^ - достаточно мало. jt (+3o (уjt{Q, уло70, с< < О • ТогДа существует и притом единственное сильное решение задачи (0.29) и для решения имеет место оценка.

Нх*г// v- /г// + ^.

0,30).

Определение 4. Сильным решением задачи (0.29) называется функция U6 w*(Q) ъ Я3ЦхХсс? Lz (О) удовлетворяющая уравнению (0.29) почти всюду .

Основными методами, которые используются при получении этих результатов являются методы функционального анализа с использованием априорных оценок, метод «<5 — регуляризации», метод Галеркина, метод продолжения по параметру и теорем вложения.

Леммы, теоремы и определения занумерованы в диссертации двумя числами. Например, под теоремой 2.1 нужно понимать первую теорему главы 2. Для формул использована трехчисловая нумерация. Так, формула с номером (1.2.4) — четвертая формула параграфа 2, главы I.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск, 1980, 1981), на Всеказахстанской межвузовской конференции по математике и механике (г. Караганда, 1981), на семинаре «Уравнения смешанного типа» под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Н. Врагова (ИМ, СО АН СССР), на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений Института математики и механики АН Каз. ССР под руководством академика АН Каз. ССР О. А. Жаутыкова, на общегородском семинаре «по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям» под руководством доктора физико-математических наук, профессора М. О. Отелбаева (ИММ, АН Казахской ССР, г. Алма-Ата).

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителя!^ профессору В. Н. Врагову и доценту Б. А. Бубнову за руководство и постоянное внимание к работе. А также, кандидату физико-математических наук Ш. Смагулову за многочисленные консультации и помощь в работе. Основные результаты опубликованы в работах 76−79.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, следующие :

1. Доказана разрешимость задачи Дирихле для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка вырождающихся на границе области.

2. Изучена корректность краевой задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка.

3. Получены теоремы существования и единственности сильного решения: а) некоторых краевых задач для стационарных, нелинейных уравнений третьего порядка б) нестационарного нелинейного уравнения третьего порядка. в) смешанной задачи для нелинейного уравнения третьего порядка.

4. Исследована разрешимость начально-краевых задач для одного класса нелинейных уравнений нечетного порядка, вырождающихся внутри области.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.