Разложения по собственным функциям функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием

Актуальность темы

Исторические сведения. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов, т. е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. Особенно возрос интерес к этой области в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом. Спектральный анализ самосопряженных и несамосопряженных операторов включает в себя задачи нахождения собственных значений и с.п.ф., разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., изучения полноты и базисности систем с.п.ф., исследования равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций и мн.др. Интерес к спектральной теории велик, и в ее развитие в последние десятилетия достигнуты значительные успехи.

Настоящая работа посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получению аналога теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов для разложений по с.п.ф. данного оператора, а также вопросу суммируемости по Риссу спектральных разложений этого оператора.

Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В. А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я. Д. Тамаркина [4, 5], М. Стоуна [6] для дифференциального оператора произвольного порядка га—2.

1[у] = у{п) + г е [0,1], рк (х) Е С [0,1], к = 0, (п — 2), (1) к=О с произвольными краевыми условиями п-1.

Uj (y) = °) + W*}(!)] = 0. з = (2) к=О удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа [7, с. 66−67]. Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в U3(y) (после приведения их к нормированному виду [7, с. 65−66]).

Оператор (1), (2) при произвольном п впервые был исследован Дж. Биркгофом в 1908 году [8, 9]. При выполнении условий регулярности им были получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций и было доказано, что ряд Фурье по с.п.ф. всякой функции fix) ограниченной вариации сходится к {/ (а- -± 0) + / (х — 0)} /2 в каждой точке х G (0,1), а в точках 0 и 1 он сходится к а/ (0 + 0) + bf (1 — 0), где, а и 6 определяются граничными условиями. Я.Д. Тамар-кин [4, 5] для таких операторов нашел обобщение теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. и в тригонометрический ряд Фурье, доказанной первоначально для уравнений второго порядка В. А. Стекловым [1]. Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина*.

Теорема. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {h}, что для всякой f (x) 6 L[0,1] и люгде Sk (f) и &k{f) ~ частные суммы рядов Фурье функции f (x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к — число членов). Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя.

Результаты Дж. Биркгофа и Я. Д. Тамаркина были получены методом Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В. А. Ильин разработал новый подход получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций (основополагающие статьи [10]- [13]).

Если краевые условие регулярны, то М. Стоун показал [6], что имеет место равносуммируемость на любом отрезке [а, Ь] С (0,1) средних Рисса порядка ((? > 0) где R — резольвента оператора (1),(2), а контур |А| = г не проходит через собственные значения данного оператора, и аналогичных средних для обычного тригонометрического ряда Фурье произвольной функции / Е L [0,1]. Полное решение вопроса о равно.

В [6] М. Стоуном получен схожий результат при Рк (х) G L[0,1]. бого 6 в (0,½) lim ||Sfcl (/) — сгг (/)||с[5дг] = 0,.

Г—too.

3).

4) л|=г мерной сходимости на всем отрезке [0,1] средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) дано в [14], [15], причем в [15] исследуется и сходимость средних в про-странствае Ст [1, 0] (т = 1,2,.).

Далее, в [16] А. П. Хромовым установлена равносходимость на каждом [а, Ъ] С С (0,1) средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) и разложений в тригонометрический ряд Фурье произвольной функции из L [0,1] при достаточно больших? и в том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G (x, t, X) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. Наконец, в работах [17], [18] В. В. Тихомировым данный результат перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В. А. Ильина по равносходимости спектральных разложений (в [17] рассматривается и случай полиномиального пучка).

А.П. Гуревич и А. П. Хромов при исследовании суммируемости по Риссу разложений по с.п.ф. интегральных операторов (см., например, [19]—[21]) вводили в рассмотрение обобщенные средние Рисса следующего вида где Ял/ ~ резольвента рассматриваемого оператора, г такие, что на окружности |А| = г нет собственных значений рассматриваемого оператора, д (А, г) удовлетворяет следующим условиям:

1) д (Х, г) непрерывна по, А в круге |А| < г и аналитична по, А в круге |А| < г при любом г > 0;

2) существует такая константа С > 0, что д (А, г) < С при всех г > 0 и |А| < г;

3) существуют положительные Ci> h, такие, что где п — порядок обратного к рассматриваемому интегральному оператору интегро-дифференциального оператора;

5) а|=г о (мс). И < h при п = 4q,.

О (| — 7г|с), <р — 7г| < h при п — Aq + 2, д{гег*, г) =.

0{ 1<�Р-|1С)> |¥->-!|<Лприп = 2д + 1, Ц <Лпри71 = 2дг + 1,.

4) д (А, г) —> 1 при г —> оо и фиксированном Л.

В 1972 году в работе [22] В. А. Молоденков, А. П. Хромов рассмотрели дифференциальный оператор с краевым условием.

L0y (x) = iy'(ж), X G [ 7 Г, 7г] (б).

7 Г / г/(ж) = 0, (7) где сг (х) — функция ограниченной вариации на отрезке [—7г, 7г] и имеет скачки в точках —7г и 7 Г, и для ряда Фурье по с.п.ф. оператора (6), (7) получили аналог известной теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости обычных тригонометрических рядов [23], а именно.

Теорема. Всякая функция f (x) ограниченной вариации из С [—тг, 7г], удовлетворяющая условию (7), есть равномерный предел на всем отрезке [—тг, 7г] некоторой последовательности частных сумм ряда Фурье.

В 1975 году в статье [24] A.M. Седлецкий рассмотрел разложения функции из L [—7г, 7г] в ряд Фурье по системе.

Вл = {{Л^}&trade-" 0−1}~1, (8) где Л = {Ап}^=1 — занумерованная в порядке неубывания модулей последовательность.

7 Г корней целой функции L (z) = f elztda (t), тп — кратность Хп. Порождающая мера dcr (t).

7 Г имеет вид k (t) dt.

М*) = / La, 0 < a < 1, var k (t) < oo, k (тг-0)ф0, k (-тг + 0) ф 0. (9).

Ранее в литературе этот случай не рассматривался, его исследование связано с преодолением значительных трудностей. Для таких разложений была доказана равномерная внутри (—тг, тг) равносходимость и равносуммируемость с рядом Фурье по тригонометрической системе. С точки зрения спектральной теории операторов A.M. Седлецким была рассмотрена задача разложения функции из L [—7Г, 7г] в ряд Фурье по с.п.ф. оператора дифференцирования с граничным условием (7), в котором мера da (t) определяется (9).

Далее, A.M. Седлецкий исследовал вопросы сходимости и суммируемости разложений по системе экспонент вида (8) при k (t) dt da{t) = .|ча> 0 < а < 1, var k (t) < оо, к (а — 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0 (а — |с|) см., например, [25], [26]) и при k (t) dt da (t) = а 2vtt, 0 < а < 1, var < оо, к (а — 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0 (10) (а t) см., например, [27], [28]).

В данной работе рассматривается оператор L, порожденный функциональнодифференциальным выражением l (y)=/3y'(x)+y'(l-x)+pl{x)y (x)+p2(x)y (l-x), же [0,1], (11) где (З2 ф 1, pj (x) G С1 [0,1] (j = 1,2), и интегральным граничным условием 1.

U (у) = J Pit) y (i) dt = 0, p (i) = (12) о где 0 < а < 1, fc (t) 6 С[0,1] П V[0,1] и удовлетворяет к2(0) — 72²(1)) (/с2(1) — 72&2(0))^0, 7 = Р ~ VP^l. (13).

Оператор (11) с общим краевым условием U (y) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с инволюцией tD (x) = 1 — х, которая порождает оператор отражения Sy (x) = у (1 — ж). Операторы, содержащие оператор отражения, имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время [29]—[34]. Оператор (11) возникает, в частности, и при изучении разложений по с.п.ф. интегрального оператора 1.

Af = J t) f (t) dt, ядро A (x, t) которого имеет разрывы на линиях t = xut=l — х о см. [33]—[34]). Главная часть 1о (у) оператора (11), т. е. 1(у) при р{х) = ръ{х) = 0, обладает тем свойством, что Iq (lo (y)) = (Р2 — 1) у" (х). Таким образом, оператор (11) выступает как обобщение корня квадратного из оператора у" {х). Отметим еще, что оператор (11) приводится к системк Дирака частного вида (см. ниже).

Граничное условие (12) заменой т = ½ — t приводится к виду (10):

1 ½ 1/2 [ № [ к (½ — г) [ к (½ — г).

J ta{1 t) a — J (½ r) — (½ + T)" - J ((½)2 — r2)" ~ 0 -½ -½ V ' рассматриваемому A.M. Седлецким Для оператора дифференцирования A.M. Седлецким [35, 36] были получены теорема равносходимости и аналог теоремы Жордана.

Дирихле, а также установлена суммируемость по Риссу. А. П. Хромовым в работе [37].

Ьдесь и в дальнейшем запись k (t) е С[0,1] П V[0,1] означает, что функция k (t) непрерывна на [0,1] и является на этом отрезке функцией ограниченной вариации был изучен оператор (11),(12) при pi (х) = (х) = 0. Для него был получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. Оказалось возможным добавить потенциалы (функции Pj (x), j = 1,2), которые создают значительные трудности в изучении сходимости разложений по с.п.ф.

Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в том, чтобы для оператора (11),(12) доказать теорему равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получить аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов и исследовать суммируемость по Риссу спектральных разложений.

Методы исследования. Основной метод, применяемый в работе, — это метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты рассматриваемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, функционального анализа.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XVI» (Воронеж, 2005), на 13 и 14 Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006 и 2008), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XIX» (Воронеж, 2008), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах [38]-[44]. Среди них 1 статья в научном журнале [43], 2 статьи в сборниках научных трудов [40, 42] и 4 тезиса докладов на международных конференциях [38, 39, 41, 44]. 6 работ опубликованы без соавторов. В статье [43] результаты каждого автора имеют свой пункт и не перемешиваются, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая и вторая главы разделены на три и два параграфа соответственно. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и.

1. Hobson Е. W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions Текст] / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. — Vol. 8. — P. 349−395.

2. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme Текст] / A.Т. Haar // Math. Ann. 1910. — Vol. 69. — P. 331−371- - 1911. — Vol. 71. — P. 38−53.

3. Tamarkin I.D. Sur quelques points de la theorie des equations differentielles lineaires ordinaires et sur la generalization de la serie de Fourier Текст] / I.D. Tamarkin // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1912. V. 34. — P. 345−382.

4. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Текст] / Я. Д. Тамаркин. Петроград, 1917.

5. Stone М.Н. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. — Vol.28, № 4. — P. 695−761.

6. Наймарк A.M. Линейные дифференциальные операторы Текст] / A.M. Наймарк. -М.: издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1969. 528 с.

7. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter Текст] / G.D. Birkhoff // Trans Amer. Math. Soc., 1908. V. 9. — № 2. — P. 219−231.

8. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary differential equations Текст] / G.D. Birkhoff // Trans Amer. Math. Soc., 1908. V. 9. — № 4. — P. 373−397.

9. Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье Текст. / В. А. Ильин // Доклады АН СССР. 1975. — Т. 223, № 3. — С. 548−551.

10. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I Текст] / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. — Т. 16, № 5. — С. 771−794.

11. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II Текст] / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. — Т. 16, № 6. — С. 980−1009.

12. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент Текст] / В. А. Ильин // Доклады АН СССР. 1983. — Т. 273, № 4. — С. 789−793.

13. Freiling G. On uniform and I/p-convergence of eigenfunction expansions for indefinite eigenvalue problem Текст] / G. Freiling, F.-J. Kaufman // Integral Equations Operator Theoty. 1990. — V. 13, № 2. — P. 193−215.

14. Kaufman F.-J. Derived Birkhoff-series associated with N (Y) = XP (Y) Текст] / F.-J. Kaufman // Results in Math. 1989. — V. 15. — P. 255−290.

15. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов в конечном интервале Текст] / А. П. Хромов // ДАН СССР. 1962. — Т. 146, № 6. — С. 1294−1297.

16. Тихомиров В. В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора Текст] / В. В. Тихомиров // Матем. сб. 1977. — Т. 102, № 1. — С. 33−55.

17. Гуревич А. П. Суммируемость по Риссу разложений спектральных разложений одного класса интегральных операторов Текст] / А. П. Гуревич, А. П. Хромов // Дифферент уравнения. 2001. — Т. 37, № 6. — С. 809−814.

18. Гуревич А. П. О суммируемости по Риссу разложений разложений по собственным функциям интегральных операторов в пространстве Са 0,1] [Текст] / А. П. Гуревич, А. П. Хромов // ДАН. 2002. — Т. 386, № 5. — С. 589−592.

19. Гуревич А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов Текст] / А. П. Гуревич, А. П. Хромов // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 2003. — № 2(489). — С. 24−35.

20. Бари Н. К. Тригонометрические ряды Текст] / Н. К. Бари. М.: Физматгиз, 1961.

21. Седлецкий A.M. О равносходимости и равносумммируемости негармонических разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами Текст] /A.M. Седлецкий // Матем. заметки. 1975. — Т. 18, № 1. — С. 9−17.

22. Седлецкий A.M. Распространение сходимости квазиполиномов Текст] / A.M. Седлецкий // Известия АН СССР. Серия Математическая. 1980. — Т. 44, № 5. -С. 1131−1149.

23. Седлецкий A.M. О сходимости негармонических рядов Фурье по системам экспонент, косинусов и синусов Текст] / A.M. Седлецкий // ДАН СССР. 1988. — Т. 301, № 5. — С. 1053−1056.

24. Седлецкий A.M. О суммируемости и сходимости негармонических рядов Фурье Текст] / A.M. Седлецкий // Известия АН. Серия Математическая. 2000. — Т. 64, № 3. — С. 151−168.

25. Седлецкий A.M. Базисы из экспонент в пространствах LP (—7Г, 7г) Текст] / A.M. Седлецкий // Матем. заметки. 2002. — Т. 72. — Вып. 3. — С. 418−432.

26. Babbage Ch. An essay towards the calculus of functions Текст] / Ch. Babbage // Philosophical trans, of the Royal Soc. of London. 1816. — V. 11. — P. 179−256.

27. Dunkl Ch. Differential-Difference Operators Assosiated to Reflection Groups Текст] / // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. — V. 311, № 1. — P. 167−183.

28. Андреев А. А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом Текст] / А. А. Андреев // Дифференц. уравн. 2004. — Т. 40, № 5. — С. 1126−1128.

29. Платонов С. С. Разложения по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов Текст] / С. С. Платонов // Труды Петрозаводс. гос. ун-та. Сер. матем. 2004. — Вып. 11. — С. 15−34.

30. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст] / А. П. Хромов // Матем. заметки. 1998. — Т. 64, № 6. — С. 932 942.

31. Корпев В. В О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях Текст] / В. В. Корнев, А. П. Хромов // Матем. сб. 2001. — Т. 192, № 10. — С. 33−50.

32. Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II. Текст] / A.M. Седлецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6, 2003. — 162 с.

33. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации Текст] / A.M. Седлецкий. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 504 с.

34. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с нтегральным граничным условием Текст] / А. П. Хромов // Докл. РАЕН. 2004. — № 4. — С. 80−87.

35. Бурлуцкая М. Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией Текст] / М. Ш. Бурлуцкая, В. П. Курдюмов, А. С. Луконина, А. П. Хромов // Докл. Академии наук. 2007. — Т. 414, № 4. — С. 443−446.

36. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Текст] / И. М. Рапопорт. Киев: Изд-во АН УССР, 1954.

37. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования Текст] / А. П. Хромов Математика. Механика: Сб. науч. тр. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. — С. 130−133.

38. Голъдберг А. А. Распределение значений мероморфных функций Текст] / А. А. Гольдберг, И. В. Островский. М.: издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1970. — 592 с.

39. Джрбашян ММ. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной плоскости Текст] / М. М. Джрбашян. М.: издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1966. — 672 с.

40. Дьяченко М. И. Мера и интеграл Текст] / М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов. М.: Факториал, 1998. — 160 с.

41. Мацаев В. И. Об условиях существования интеграла Стилтьеса Текст] / В.И. Ма-цаев, М. З. Соломяк // Матем. сб. 1972. — Т. 88 (130). — № 4(8). — С. 522−535.

42. Зигмунд А. Тригонометрические ряды Текст] / А. Зигмунд. Том I. — М.: Мир, 1965.

43. Duren P.L. Theory of Нр-spaces Текст] / P.L. Duren. N.Y.: Academic Press, 1970.