Численно-аналитическое исследование проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ

1. Предметная область.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов решения проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ. Проблема нахождения собственных значений возникает во многих задачах, встречающихся в различных областях механики и физики, поэтому присутствует необходимость в разработке новых численно-аналитических методов решения задач такого типа.

Существуют различные методы в теории задач на собственные значения. Три важнейшие из них используют дифференциальные уравнения, интегральные уравнения и вариационное исчисление.

Каждый из этих методов имеет свои особые преимущества [35]. Классическая теория интегральных уравнений Фредгольма, Гильберта и др. с одинаковым успехом приводит к цели как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае уравнений с частными производными. Трудности при этом переносятся на предварительную стадию, а именно на составление уравнений. В теории предполагается существование функции Грина, а следовательно, и ядра интегрального уравнения, но на вопрос о существовании решения эта теория в общем виде ответа не дает.

Вариационное исчисление использует минимальные свойства собственных значений. В этом случае дифференциальные уравнения и краевые условия выступают в качестве необходимых условий Эйлера для минимума. Эти минимальные свойства являются основой для численного решения задач на собственные значения.

Метод дифференциальных уравнений, согласно Камке [30], является наиболее эффективным для обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае самосопряженной pi полностью определенной общей задачи на собственные значения можно непосредственно обосновать минимальные свойства собственных значений [35].

К минимальным свойствам примыкает метод последовательных приближений, в котором приводится фундаментальная формула, применение которой связано с небольшими дополнительными условиями. Но если это условия выполнены, то во многих прикладных случаях можно получить достаточно точные верхнюю и нижнюю границы первого собственного значения.

В работе решение задачи Штурма-Лиувилля проводятся на основе метода ускоренной сходимости [98], с помощью которого при достаточно точной оценки собственного числа за несколько итераций получаем искомое собственное значение задачи. Но в задачах механики имеется множество постановок задач, в которых коэффициент уравнений являются комплексными функциями. Поэтому особое внимание в работе уделяется обобщению данного метода на случай комплекснозначных коэффициентов [69].

В качестве задачи на собственные значения, встречающейся в приложениях МДТТ, рассматривается задача о продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения (концентраторов) или, как их иногда называют, трансформаторов скорости.

В данной работе рассматриваются различные формы концентраторов напряжений и скоростей в случаях, когда на концах упругого стержня заданы скорости или напряжения (граничные условия первого или второго рода). Основной характеристикой является коэффициент усиления — модуль отношения функций в единице и в нуле (для граничных условий второго рода) или модуль отношения производных собственной функции в единице и в нуле. Для трех классических форм концентратора еще пятьдесят лет были получены аналитические выражения для коэффициента усиления, распределения скоростей и деформаций, но только для граничных условий второго рода. В работе получены выражения для коэффициентов усиления и в случае граничных условий первого рода.

2. Обзор работ по теме по теме диссертации.

Задача Штурма-Лиувилля возникает в совершенно различных областях ме: ханики. Здесь будет дан лишь краткий обзор работ по данной тематике, которые имеют отношение к задачам, рассматриваемых в диссертации. Более подробные обзоры можно найти в работах [35],[98].

Аналитическое исследование ультразвуковых концентраторов (трансформаторов скорости) конического, экспоненциального и катеноидального профилей при граничных условиях второго рода (на границах концентратора заданы производные функции) проведено в работе [49]. Поведение упругих концентраторов может моделироваться задачей о продольных колебаниях стержней с переменным поперечным сечением. Предполагается, что при прохождении волн напряжения волновой фронт остается плоским, а напряжение равномерно распределяется по сечению. В статье выведены уравнения для расчетов резонансных размеров концентраторов и коэффициентов усилений по колебательной скорости. Показано, что наиболее выгодным с точки зрения получения больших усилий, является катеноидальный концентратор (из рассмотренных). Проведенные в статье расчеты были проведены без учета радиальных смещений, поэтому проведено вычисление поправки для учета поперечных деформаций.

В статье [50] автор переходит от рассмотрения классических типов концентраторов к составным концентраторам, которые образованы соединением стержней постоянного и переменного сечений. Составные концентраторы позволяют получать значительно большие коэффициенты усиления по сравнению с концентраторами простейших типов (при одинаковых размерах оснований), поэтому их целесообразно применять в ультразвуковых установках, где требуются большие амплитуды колебаний и деформаций, при исследовании пластических свойств материалов, исследовании поглощения ультразвуковых воли больших амплитуд в твердых телах и т. д. В статье в общем виде получены выражения для условия резонанса, коэффициента усиления и входного сопротивления. Численно проанализированы практически важные частные случаи и найдены оптимальные формы концентраторов. Построены характеристики вдоль входных сопротивлений различных концентраторов вблизи частоты резонанса. Показано, что с точки зрения получения наибольших усилений наиболее выгодными являются ступенчатый концентратор и концентратор, состоящий из конического профиля с цилиндрическим стержнем на узкой части. Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований.

Первоначально для указанных целей использовались концентраторы, работающие только на продольных колебаниях. В работе [94] показано, что для расчета крутильных концентраторов можно использовать результаты анализа концентраторов, работающих па продольных колебаниях.

В работе [55] исследовано уменьшение коэффициента усиления фокусирующих систем и излучателей, обусловленное нелинейными искажениями формы волны. Получено выражение для параметра, позволяющее оценивать фокусирующие системы с точки зрения влияния нелинейных эффектов на их коэффициенты усиления.

В ряде работ, преимущественно Розенбергом [72], были рассчитаны коэффициенты усиления звукового давления и колебательной скорости в фокусе различных звуковых фокусирующих систем, характеризуемых неравномерным распределением амплитуды по волновому фронту. Полученные функциональные зависимости коэффициентов усиления от отдельных параметров этих систем позволили найти их оптимальные величины и сравнить между собой различные фокусирующие системы по их предельно-возможным коэффициентам усиления. В [80] описывается приближенный метод вычисления зависимости коэффициентов усиления фокусирующих систем от неравномерности распределения амплитуды по волновому фронту. Суть метода заключается в том, что в начале численно рассчитывается распределение амплитуды по волновому фронту. Затем эти числовые функции приближенно заменяются суммой членов ряда, для которого выполнено интегрирование и вычислены соответствующие таблицы. Это позволяет с необходимой для практики точностью определить коэффициент усиления любой радиально-симметричной звуковой фокусирующей системы и оценить его зависимость от отдельных параметров системы.

В [46] исследуется рассеяние плоской монохроматической звуковой волны на тонком ограниченном упругом стержне кругового сечения с учетом продольных и изгибных колебаний стержня. Найдено, что колебания стержня могут приводить, к изменению угловой характеристики рассеяния. Установлено, что при некоторых углах падения звуковой волны на стержень наблюдается сильное рассеяние в направлении, противоположном направлению падающей звуковой волны, так называемое незеркальное отражение. Отмечается, что при рассмотрении вопроса о колебаниях тонкого стержня (так же как и тонкой пластинки) под действием поперечной силы важно учитывать не только поперечные изгибные колебания, но и поперечные колебания сжатия (продольные колебания). Приводится неоднородное волновое уравнение при продольных колебаниях стержня с учетом поперечных внешних сил, действующих на стержень, а также эквивалентное ему уравнение для поперечных колебаний стержня (ставится задача Штурма-Лиувилля).

Концентраторы колебаний широко применяются для увеличения амплитуды колебательной скорости. Наибольший коэффициент усиления имеет ступенчатый концентратор. Однако он часто не может быть использован из-за чрезмерной концентрации напряжений, приводящей к его разрушению. Концентраторы с плавным распределением напряжений, как правило, имеют небольшой коэффициент усиления, но зато они прочные, так как напряжение по длине распределено плавно. Другие типы используемых концентраторов также имеют определенные достоинства, по ни один из них достаточно полно не удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к концентраторам. Это объясняется тем, что все используемые концентраторы получены путем анализа уравнения колебаний для отдельных случаев. Автор статьи [88] считает, что лучшие результаты могут быть получены путем синтеза. Рассматривается следующая постановка задачи синтеза концентраторов. Для заданного отношения площадей входного и выходного торцов концентратора требуется получить максимальный коэффициент усиления по амплитуде смещения, при условии, что напряжения в концентраторе не превосходят предельно допустимое значение.

Интенсивное и разнообразное использование концентраторов в технике и научных исследованиях приводит к необходимости выбора формы концентратора с учетом целого ряда требований. Раньше для проектирования концентраторов использовались традиционные методы перебора вариантов, сопровождающиеся расчетом или, более того, экспериментальным исследованием каждого из них. После этого на основании одного или группы критериев производился выбор «наилучшего» варианта. Зачастую рассмотрение ограничивается лишь теми конфигурациями стержней переменного сечения, для которых возможно аналитическое решение уравнения собственных форм, или их комбинаций — составными концентраторами. В [15] рассмотрены задачи оптимального проектирования концентраторов по критериям максимума коэффициента усиления, минимума максимальных напряжений и пкомпромиссное" проектирование по обоим критериям. Варьируются длина и форма концентратора при заданной его собственной частоте.

В [11] изучается спектральная задача Штурма-Лиувилля —и" + q (x)u (x) = Аи (х), и'(0) = 0, и'(тт) = mu (ir), где, А — спектральный, amфизический параметры. При m < 0 задаче ставится в соответствие самосопряженный оператор в пространстве Понтрягина П1. Используя этот факт и развивая аналитические методы теории операторов Штурма-Лиувилля, в работе находится динамика собственных значений и собственных функций задачи при m —" 0.

В [31] рассмотрены особенности оптимизации высокоамплитудных ультразвуковых стержневых волноводов-инструментов (ВИ) продольных колебаний, применяемых при аспирации мягких тканей, обработки инфицированных ран. Для ВИ с тремя типами рабочих окончаний поставлена и решена задача оптимизации геометрии при ограничениях на фазовые переменные и управление. Использовалась модель продольных колебаний бруса переменного сечения с учетом внутреннего трения и поправкой Рэлея на радиальные колебания. В результате решения задачи нелинейного программирования определялась форма продольного стержневого ВИ, при которой для заданной резонансной частоты, добротности и коэффициента усиления фактор формы волновода максимален.

В [90] рассматриваются стационарные задачи конвекции изотермически несжимаемой жидкости в горизонтальном слое. Границы слоя могут быть свободными недеформируемыми или абсолютно твердыми. В данной работе показано, что возникающие спектральные задачи принадлежат классу осцилляционных, откуда следует существование счетного числа простых положительных собственных значений. В рассматриваемых задачах роль собственных значений играют числа Рэлея, таким образом, строго доказано существование порога монотонной неустойчивости.

В статье [28] рассматривается известное в гидродинамике дифференциальное уравнение Орра-Зоммерфельда и предлагается новый алгоритм вычисления комплексных собственных значений, основанный на идеях теории операторов в гильбертовом пространстве. Приведены некоторые числовые результаты. В [37] рассматриваются вопросы получения приближенных аналитических решений линейных и нелинейных задач тепломассопереноса, теплового воспламенения и термоупругости для однослойных и многослойных конструкций, а также улучшения сходимости рядов Фурье-Ханкеля на основе спектральных задач Штурма-Лиувилля в теории интегральных преобразований в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приводятся практические таблицы интегральных преобразований в конечных и бесконечных областях, позволяющие по стандартной схеме выписать аналитические решения краевых задач нестационарной и стационарной теплопроводности в одно-, двухи трехмерном случаях при общем виде краевых условий. Рассматриваются аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами, новые интегральные соотношения для аналитических решений гиперболических моделей переноса, проблема теплового удара и динамическая термоупругость, новый подход к определению собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля.

В нанотехнологиях при облучениях кристаллов (диэлектриков) жестким рентгеном возникают протяженные структуры. Поперечный размер которых имеет порядок в несколько ангстрем. Простейшей моделью такой структуры в трехмерном пространстве является бесконечная тонкая цилиндрическая трубка. В работе [10] построены быстроосцилирующие решения уравнения Шредин-гера в тонких цилиндрических трубках. Длина волн волновой функции предполагается сравнимой с диаметром трубки. Рассмотрены две задачи: специальная задача Коши и спектральная задача. В первом случае решение описывает движение по трубке, во втором — стационарные и квазистационарные состояния. Ответ выражается с помощью одномерного канонического оператора Маслова.

Используя асимптотический метод в статье [109] автор исследует задачу Штурма-Лиувилля, получает некоторые факты, относящиеся к собственным значениям и собственным функциям, к расположению нулей собственных функций и др. С использованием теории расходящихся рядов получены также некоторые числовые результаты, в частности, дана таблица первых 20 собственных значений с 6 десятичными знаками. В работе [59] рассматривается задача по определению собственной частоты при кручении бруса прямоугольного поперечного сечения. Описывается брус постоянного прямоугольного поперечного сечения с цементированным поверхностным слоем, на одном конце которого закреплен диск, другой конец имеет жесткую заделку.

В [100] рассматривается задача Штурма-Лиувилля с граничными условиями третьего рода и при помощи теоремы Котельникова-Шеннона об отсчетах разработан очень эффективный вычислительный алгоритм для вычисления собственных значений с большой точностью. Метод не требует никаких интегрирований и позволяет получить аппроксимации для собственных значений с очень малой ценой машинного времени. В работе [13] рассматриваются некоторые частные случаи трансцендентных уравнений для определения собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля при расчете магнитного поля. Предлагаются аналитические решения этих уравнений.

В [2] проводится исследование собственных частот и форм поперечных колебаний стержня, вращающегося вокруг фиксированной на его конце оси. Рассматриваются случаи малых, умеренно больших и асимптотически больших угловых скоростей вращения. Детальный анализ проводится в случае однородного стержня с защемленным левым и со свободным правым концом. С помощью оригинального алгоритма построены зависимости собственных частот и форм от скорости вращения для низших мод колебаний. Установлена эволюция к модели, соответствующей колебаниям быстро вращающейся нити под действием центробежных сил инерции. Показано, что при увеличении угловой скорости вращения собственные частоты возрастают практически линейно. Результаты представляют интерес для технических приложений применительно к исследованию колебаний чувствительных элементов высокоточных приборов, быстро-вращающихся протяженных элементов механизмов (лопаток турбин, лопастей воздушных винтов и др.).

В статье [20] предложен метод решения уравнения Шредингера с анизотропным потенциалом конечной глубины для связанных состояний Е < 0. Одноча-стичная волновая функция представлена как суперпозиция собственных волновых функций задачи Штурма — Лиувилля. Проблема учета влияния непрерывного спектра на связанные состояния решается автоматически.

3. Содержание.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы.

Результаты работы опубликованы в [1], [69], [68].

Заключение