Статистическое моделирование процессов переноса в случайных полях скоростей на примере пористых и турбулентных сред

При решении научных и технических задач широко применяется математическое моделирование Для изучения многих сложных физических и естественнонаучных процессов часто используется статистический подход Статистическое описание естественно применяется в статистическои механике, теории турбулентности, физико-химической кинетике и других областях науки Одной из наиболее важных и актуальных проблем при этом является построение математических моделей, адекватно описывающих изучаемые процессы, и разработка численных методов, позволяющих эффективно решать поставленные задачи с использованием современной вычислительной техники В связи с этим, в последнее время остается высок интерес к методам Монте-Карло.

Основная часть данной диссертационной работы посвящена построению и исследованию стохастических моделей потоков в пористых средах Пористая среда — это двухфазная формация, состоящая из жесткой матрицы (твердая фаза), и соединяющихся друг с другом пустот (пор), которые могут быть заполнены жидкостью или газом (жидкая фаза) В данной работе мы будем считать, что деформации жесткой матрицы незначительны, и ее можно считать неподвижной.

Обычно практический интерес к математическому моделированию течения жидкости в пористых средах связан с изучением течений подземных вод Формирование подземных вод связано с процессами инфильтрации атмосферных осадков, снеготалых вод и конденсации атмосферной влаги Часто подземные воды делят по принадлежности к одной из двух вертикальных зон, в зависимости от степени заполнения пор водой «зону насыщения», в которой все поры полностью заполнены водой, и лежащую над ней «зону аэрации», в которой поры заполнены как водой, так и воздухом Границей между этими зонами является уровень грунтовых вод Движение грунтовых вод подчиняется силе тяжести и осуществляется в виде потоков по сообщающимся порам или трещинам Течение грунтовой воды называется фильтрацией Она зависит от наклона уровня грунтовых вод (или от гидравлического градиента), а также от водопроницаемости почвы.

Отличительная особенность естественных пористых сред — нерегулярное распределение форм и размеров пор Поэтому при детерминированном подходе провести необходимые измерения характеристик среды и использовать их, как данные для численной модели, обычно не представляется возможным Расчет для репрезентативной области (протяженность может достигать нескольких километров) потребует большого количества узлов (106 — 10°), и будет слишком трудоемким И, что даже более важно — сама процедура измерения может существенно изменить свойства среды.

Первые работы посвященные применению статистического моделирования для решения задач фильтрации были сделаны еще в середине прошлого века Методы Монте-Карло для них применялись в [5], [б] В [7] методом блуждания по решеткам решается задача неустановившейся фильтрации в безнапорном пласте Коэффициент фильтрации в модели считался постоянным.

В середине семидесятых годов прошлого века в исследовании подземных вод сформировался новый раздел — стохастическое моделирование потока и переноса примесей в почве Этот подход основан на стагистическом описании сильно меняющихся в пространстве физических параметров потоков При статистическом подходе не требуется знать точные значения параметров модели во всей среде Достаточно определить их вероятностные распределения В [18] Фриз проанализировал существовавшие в литературе данные о коэффициенте фильтрации (далее мы будем чаще употреблять термин — гидравлическая проводимость, в англоязычной литературе — hydraulic conductivity) К (х) Он первым предложил использовать для описания нерегулярного пространственного поведения ii (x) математический аппарат случайных полей и попытался найти вероятностное распределение, наиболее точно описывающее экспериментальные данные [16] Его результаты показали, что коэффициент фильтрации лучше всего описывается случайным полем с логнормальным распределением То есть In К можно считать гауссовским случайным полем N{rrif, Gf) со средним значением mj и средним отклонением ст/ При таком подходе и другие физические характеристики потока естественно рассматривать, как случайные поля.

Обычно при решении дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами для нахождения статистических характеристик решения используются два подхода метод малых возмущений и прямое численное решение дифференциальных уравнений с некоторыми реализациями случайных параметров.

Метод малых возмущений применим только в случае малости флуктуа-ций случайных параметров Несмотря на сильные ограничения, этот метод широко используется в статистической гидрологии Например, в приближении малых возмущений поля логпроводимости (малых aj) характеристики потока представляют в виде суммы убывающего ряда, где нулевой член соответствует решениям уравнений движения при aj = 0 или средним значениям этих характеристик Тогда решение задачи для п первых членов ряда называют решением в аппроксимации n-ого порядка В [9] Барк и др в аппроксимации первого порядка получили формулы для корреляционных функций гидравлического потенциала в случае одномерного и трехмерного потоков В продолжении этой работы в [23] исследовалась зависимость между <т/ и точностью вычисления дисперсии гидравлического потенциала сг| В одномерном случае относительная погрешность результатов, полученных для аппроксимации первого порядка по сравнению с точными значениями дисперсии составила 7% при оj = 1 и увеличилась до 50% при сг/ = 2.

Используя спектральные методы и аппроксимацию второго порядка, Да-ган [15] вывел поправку для корреляционной функции потенциала в трехмерном случае Он заметил, что аппроксимация первого порядка достаточно точна Даже при значении дисперсии In К, равном единице, поправка второго порядка аппроксимации для дисперсии гидравлического потенциала составляет меньше 10% от результатов аппроксимации первого порядка В [17] проводилось исследование точности приближения первого порядка при вычислении дисперсии скорости Авторы пришли к выводу, что при а^ << 1 поправка второго порядка аппроксимации относительно мала, но при значениях а^ сравнимых с единицей она уже становится существенной.

Статистический подход применялся также для описания переноса примесей в пористых средах, например в [35], [20], [21], [14] Обширный обзор работ по данной теме можно найти в монграфиях [16], [22] Существуют модели, основанные на статистическом описании других физических величин, например, коэффициента химической абсорбции [12] или деградации констант [26] Асимптотический анализ параметров переноса и сравнение двух процедур осреднения по статистическому ансамблю приведены в [36].

В общем случае, когда флуктуации случайных параметров не малы, строгое решение задачи можно получить только прямым численным моделированием Этот подход позволяет также решить задачу в сложной области, но требует больших вычислительных ресурсов Было сделано несколько попыток построить модель потока в трехмерной пористой среде для произвольных значений сг/.

В [45] и [46] проведен анализ одномерного и двухмерного устойчивых грунтовых потоков в ограниченной области Модельная область имела блочную структуру с коррелириванными значениями гидравлической проводимости в соседних блоках Для такой блочнопостоянной аппроксимации поля проводимости методом конечных разностей численно решалось уравнение Дарси и находились реализации поля гидравлического потенциала Это позволило авторам оценить дисперсию гидравлического потенциала, не используя предположения о малости возмущений 1п К Нужно заметить, что такой метод моделирования случайного поля не гарантирует ни его однородности ни заданной корреляционной структуры Модифицированная версия, основанная на методе прямой матричной инверсии, использовалась в [11], однако эта моделирующая процедура отличается большой трудоемкостью.

Попытка построить модель трехмерного стационарного насыщенного потока, свободную от предположения малости флуктуаций поля гидравлической проводимости, была сделана в [8] Однако авторы столкнулись с существенными вычислительными сложностями В частности, им удалось использовать 125 000 узлов сетки, хотя по их собственным оценкам для получения содержательных результатов необходимо N > 106 узлов В работе была получена оценка дисперсии гидравлического потенциала, проведено сравнение с полученными в аппроксимации первого порядка асимптотическими формулами Авторы пришли к выводу, что для оценки статистических характеристик случайного поля скорости, в случае сильно гетерогенной среды, необходимо использовать большую расчетную область, и меньший шаг сетки Как продолжение этой работы, в [48] была построена модель переноса примеси в трехмерной пористой среде Статистические характеристики трехмерной скорости с помощью прямого моделирования оценивались также в [34].

Численно применимость аппроксимации первого порядка в двухмерном случае исследовалась в [24] Для этого вычислялась корреляционная функция скорости вдоль направления средней скорости потока Был сделан вывод, что модели, выведенные в приближении малых возмущений, достаточно точно воспроизводят корреляционную функцию продольной скорости даже при значениях <7/ порядка единицы Однако корреляционная функция поперечной скорости при этих сгf уже сильно отличается от результатов прямого моделирования.

В [13] методом Монте-Карло исследуется точность моделей трехмерного потока, основанных на аппроксимации первого порядка Полученные методом малых возмущений эйлерова и лагранжева корреляционные функции сравниваются с результатами прямого моделирования Для моделирования поля логпроводимости использовался алгоритм, описанный в [47] Случайное поле здесь представлялось, как суперпозиция одномерных случайных процессов, и такой алгоритм нельзя назвать эффективным Также, в расчетах методом конечных разностей, бралась слишком грубая сетка (два узла на одну длину корреляции поля логпроводимости).

В [34] построена первая стохастическая модель ланжевеновского типа, в виде системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающей положения частиц и их скорости Стоит заметить, что ранее такой подход также широко применялся в решении задач переноса в атмосфере, см [32],[43] Статистические характеристики поля скорости, необходимые для параметризации модели, в этой работе также оценивались с помощью прямого численного моделирования, но достаточной для получения искомых результатов точности достичь не удалось.

Другим важным примером статистического описания физических процессов является изучение турбулентных потоков [4] В [56] для исследования турбулентной диффузии Крейчнан построил формулы, моделирующие случайное поле скорости В [57], [65] моделировалось случайное поле скорости со спектром Колмогорова-Обухова.

Подобный подход используется в первой и в третьей главах данной работы Для построения стохастических моделей потока в пористых средах применяется техника моделирования случайных полей [40] по спектрам, выведенным из уравнений движения в аппроксимации первого порядка для малых значений сг/ В [44] моделирующие формулы Крейчнана [56] применялись также для анализа диффузии в статистически однородной пористой среде.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию стохастических моделей переноса в пористых и турбулентных средах Основная задача состоит в моделировании сложных полей скоростей потоков Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение

.

Построена стохастическая эйлерова модель трехмерного потока в статистически изотропной и анизотропной пористых средах в предположении малых флуктуаций поля гидравлической проводимости, основанная на спектральном представлении случайных попей.

Численные эксперименты показали высокую точность и эффективность моделирующего метода Полученные с помощью спектральных моделей численные результаты в случае малых флуктуаций хорошо согласуются с существующими асимптотическими формулами Это позволило определить область применимости этих асимптотик Вычислены основные статистические характеристики потоков дисперсии продольного и поперечного смещения, лагранжевы корреляционные функции, лагранжевы структурные функции и среднее расстояние между двумя частицами В частности, обнаружен временной интервал с режимом супердиффузии в поперечном рассеянии.

Предложена и реализована процедура прямого численного решения системы уравнений, описывающей трехмерный поток в пористой среде Коэффициент гидравлической проводимости среды в законе Дарси представляется как случайное поле с логнормальным распределением, при этом па величину флуктуаций поля гидравлической проводимости не накладывается ограничение малости Исследована область применимости метода малых возмущений Вычислено, что еще при а/ — 0 3 статистические характеристики потока, полученные прямым моделированием, хорошо совпадают с результатами, полученными на основе спектральных моделей При больших, а следует использовать предложенный метод прямого моделирования.

Разработана двумерная спектральная модель горизонтального потока со свободной поверхностью в случае статистически изотропной пористои среды в аппроксимации «мелкой воды» Дюпюи В поведении эйлеровых и лагранже-вых корреляционных функций и других статистичаских характеристик потока обнаружено подобие в предложенных безразмерных координатах для описания этих функции вместо длины корреляции случайного поля логпро-водимости и средней толщины водоносного пласта можно использовать их отношение, что существенно упрощает качественный анализ.

Предложенные стохастические модели позволяют рассчитывать различные статистические характеристики переноса частиц в случайных полях скоростей В частности, в задаче об относительном рассеянии двух частиц в развитом турбулентном потоке численно исследована стохастическая эйлерово-лагранжева модель, удовлетворяющая кубическому закону Ричардсона.