Краевые задачи для уравнения третьего порядка омешанного гиперболо-псевдопараболического типа

Известно, что решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [I], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [2], переноса влаги, тепла [5] и солей [б] в пористых средах, связано с необходимостью исследования краевых задач для уравнения третьего порядка.

-<�"= Ц^+аьуи,^* (I).

Например, рассмотрим процесс промывки засоленных почв на основе модели гетерогенной пористой среды [7~Ю], учитывающей её фильтрационную неоднородность.

В рамках такой модели объём пор «^о почвогрунта можно представить в виде где ~ объём транзитных пор, занятых движущимся со скоростью IX раствором солей с величиной потока.

50 ~ коэффициент, характеризующий дисперсию границы раздела промывная жидкость — почвенный раствор,.

— объём тупиковых пор, заполненных неподвижным раствором.

Уравнение материального баланса солей в одномерном случае тогда запишется в виде дС 3} Гл |Мл ЬЫ где С «- соответственно концентрации солей в транзитных и тупиковых порах в точке х в момент времениЬ, =.

V* ¦

При определенных предположениях из С2), следуя [б], получим уравнение вида (I) для описания процесса переноса солей при промывке засоленных почв. Отметим, что в рамках модели гетерогенной пористой среды в [II—рассмотрены процессы тепловлагопере-носа, экстрагирования и движения не-ньютоновских жидкостей, которые описываются аналогичными ^2) системами уравнений и уравнениями вида С1).

Уравнение (I) не относится к уравнениям типа С. В. Ковалевской и по терминологии [15] называют псевдопараболическим уравнением.

Известно, что корректные для параболических уравнений в прямоугольных областях классические краевые задачи и задача Коши и О, о) = ^ + > ° Ф являются правильно поставленными и для псевдопараболических уравнений. Аналитические и приближенные методы решения указанных задач для уравнений вида С1) рассмотрены в [I, 15~50 ] .

Наряду с этим, как показано в [51], корректная для параболических уравнений в области О. =: ^^ * О^Т} краевая, задача где (у) «(%) ~ монотонные достаточно гладкие функции, остается правильно поставленной для псевдопараболических уравнений лишь для сжимающихся областей. Различные краевые задачи для уравнений вида Ц) в не прямоугольных областях исследованы в [5153].

Для Ч) корректной является также характеристическая (по терминологии [20]) задача Гурса и (0,2) = , — Т, и).

С5) у, (®-, о)= к С"), ос. ± (б).

Заметим, что задача Коши (3) для псевдопараболических уравнений остается корректно поставленной и при у ^ О. Отмеченные свойства псевдопараболического оператора Ь позволяют использовать его в качестве регуляризующего оператора при исследовании некорректных для параболических уравнений [54] задач Коши ^3) при Гурса (4) — (6). Исследованию некоторых обратных задач для уравнений вида (I) и затронутых выше вопросов посвящены работы [49, 51″ 55−613. Характеристические задачи для псевдопараболических уравнений исследованы в [20, 48, 49, 51 ] .

А.А.Самарский в [62] отметил особую важность исследования нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных. Для модельного псевдопараболического уравнения А. М. Нахушевым в [33] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием, которое является обобщением хорошо известного нелокального условия Бицадзе-Самарского [63], а в [64] указано на глубокую связь между нелокальными краевыми задачами и нагруженными [64, 65] уравнениями. Широкий класс нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения С1) исследован М. Х. Шхануковым в [48, 49., 51, 53]. Нелокальные краевые задачи с условиями [33] для уравнений вида (1) исследованы в [61, 66−68 ]. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений предыдущими авторами не. рассматривались. Между тем, задачи расчета тепломассообмена с сосредоточенными источниками (стоками) переносимой субстанции [61] и, подобно [69, 70], задачи регулирования уровня грунтовых вод при орошении приводят к необходимости исследования краевых задач для нагруженных псевдопараболических уравнений.

С другой стороны, анализ свойств математических моделей вла-гопереноса, предложенных в [72−74], позволяют заключить, что процессы влагообмена с учетом капиллярного гистерезиса [71] наиболее адекватным образом можно моделировать на основе уравнений третьего порядка смешанного гиперболо-псевдопараболического типа.

Приведенные выше обстоятельства делают актуальным задачу исследования краевых задач для нагруженных псевдопараболических уравнений и уравнений третьего порядка сметанного гиперболо-псевдопарабол ичес кого типов. Исследованию указанных краевых задач посвящена работа, которая состоит из введения и трех глав. Сформулируем ниже основные результаты диссертационной.работы.

1. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных предс-тавлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. ПММ, I960, 25, вып.5, с.852−864.

2. Нерпин C.B., Чудновский А. Ф. Знерго и массообмен в системепочва растение-воздух.- Л.: Гидрометеиздат, 1975г360 с.

3. C/W Cwvtuk, M. Е. Он. си Tkuftg ?>/ V&cU CvkscUoestcm, ihsiroCiHK^ Ttw Тели-реяоЛилеЛ. de. Jhvfiettr. MaAiv. P^ys., 196 $, 19, p. 6ZI.

4. Дворкин Л. Б. К теории конвективной диффузии солей в пористыхсредах. Конвективная диффузия солей с учетом влияния «тупиковых» пор. Журнал физической химии, 1968, т.42, № 4.

5. Пеньковский В. И. К вопросу о математическом моделированиипроцесса рассоления грунтов. ЖПМ и Т§-, 1976, с. I86-I9I.

6. Моделирование водно-солевого режима на ЭВМ. М., Наука, 1976, 124 с.

7. Канчукоев В. З. Монотонные схемы для параболических уравненийобщего вида, связанных с процессом солепереноса в поч-вогрунтах. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения, Нальчик, 1977, вып.1, с. 129−134.

8. Рубинштейн Л. И. К вопросу о процессе распространения тепла вгетерогенных средах.- Изв. АН СССР, сер. географ., 1948, т. 12, № I, с. 27−45. Х2. Веригин H.H. Движение влаги в почве.- Докл. АН СССР, 1953, т. 89, № 2, с.

9. Жужиков В. А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий. М.: Химия, 1971, — 440 с.

10. Голубев B.C. Уравнения движения жидкости в пористой среде сзастойными зонами. Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 6, с.

11. ШкоцуйМел, Я.Е.-, Тси^ Т. Ш. VsaulepQfLCLiolic. рагЛсоЛcU {(елш^ЬсаЛ ел^шх^саия. fccuuo. С/. МаЛк,. And. 7 <97 0, 1, p. 1-ZG.

12. Вишик М. И. Смешанные задачи для уравнений, содержащих первуюпроизводную и приближенные методы их решения. Докл. АН СССР, 1954, т. 99, с. 189−192.

13. Coie. nuut, Я. Я., buJfctL %.</., Hczel К у. 9luuc^uzn?j ?uui HjyPLexLftetveie -?Ueote^tiS>- Atek. HaJ. Meek.

14. Янгарбер В. А. Сеточная схема для решения модифицированногоуравнения влагопереноса. Докл. ВАСХНИЛ, 1966, Ш, с.

15. Янгарбер В. А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса. 1ПМ и ТФ, 1967, № I, с. 91−96.

16. CoUon, %.L. ЬгиЛо-усиъсьЬойс, EfytUbtCobS ertb One. fyaczот л Di 4? i ¦> P.

17. Coito*ь &.L. Opvtu*. cuMi&ecc. 11июу ps-eLidopojLoJoe^e^uatcom. Quxivt. cf. Y9? s. г гз, р. rgz, 22. to-Uovu Ъ. L. сгртл^оъз cutd? ke, ??Ue?a?- S^j^ctojig. vufae, pz&S-eLtn,? $>ъ pse? tc?opctza#o&:

18. Гилев В. Д., Шадрин Г. А. Построение фундаментального решениядля одной двумерной задачи теории фильтрации. В сб.: Вычислительная математика и программирование. Изд. МОТ им. В. ИЛенина, 1976, вып. 4, с.99−101.

19. Гилев В. Д., Шадрин Г. А. Построение фундаментального решениядля уравнения, описывающего движение жидкости в трещиноватых средах. В сб.: Вычислительная математика и программирование, изд. МГПИ им. В. И. Ленина, 1976, вып. 4, с. I02−1II.

20. Гилев В. Д., Шадрин Г. А. Решение одного дифференциальногоуравнения третьего порядка. В сб.: Математическая физика. Изд. МГПИ им. В. И. Ленина, 1976, вып. 3, с. 6581.

21. Гилев В. Д., Шадрин Г. А. Решение одной задачи теории фильтрации. В сб.: Математическая физика, Изд. МГПИ им. В. И. Ленина, 1976, вып. 3, с. 154−160.

22. Гилев В. Д., Шадрин Г. А. Решение смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинесиа третьего порядка. В сб.: Математическая физика, Изд. МГПИ им. В. И. Ленина, 1976, вып. 3., с.161−168.

23. Гилев В. Д. Представление решения одной краевой задачи теориифильтрации, через функцию Макдональда. «В сб.: Математическая физика, изд. МГПИ им. В. И. Ленина, 1976, вып. 3, с. 82−85.

24. Гилев В. Д. Решение задачи для уравнения третьего порядка. В сб.: Математическая физика, изд. МГПИ им. В. И. Ленина, 1976, вып. 3, с. 150−153.

25. Slk&vfaiK, /•/., ?Lllim (M Ш. М&уиьшшрИмсСрЕе^. 1-f О H8.

26. Атаманов З. Р. О единственности и устойчивости решения многоточечной задачи для пседцопараболического уравнения. -В сб.: Вопросы корректности задач математической физики, Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1977, с. 12−22.

27. СаЛ'-/^ № Он, ike. exist елее, ?Uu? arfwftottc fekavicrwz. of ike. Soiu-tcen, oj? cl ^и^иЛо/^. va? u?. pze-g&z^i.- AnxlA? e jJctc/cftce а? г Орщ^^ба^с «У. fasi Гсуш, и? ZV, s.xt.f, /9?<Р, p.

28. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. ~ Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № I, с. 96−105.

29. Кожанов А. И. Краевая задача для одного класса уравненийтретьего порядка. Докл. АН СССР, 1979, т. 249, 3, с. 536−540.

30. Coleo^ 2).} W? n.

31. Кожанов А. И. Краевая задача для, одного класса уравненийтретьего порядка. ~ Дифференц. уравнения, 1980, 16, № I, с. 86−92.

32. Шишатский С. П. 0 типе устойчивости решения задачи Коши с данными на полуоси времени для пс. евдопараболического уравнения. В сб.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач, Новосибирск, 1980, с. 119−125.

33. Амиралиев Г. М. Об однозначной разрешимости одной краевойзадачи для одномерного псевдопараболического уравнения. Азерб. ун^г, Баку, 1980, 13 с. Рукопись деп. в ВИНИИТЙ 13 февраля 1981 г., № 502−81 Деп.

34. Намазов Т.к., Искандеров И. Т. Энергетическая оценка решениякраевой задачи для псевдопараболического уравнения. -Азерб. ун-т, Баку, 1981, 10 с. Рукопись деп. в ВИНИИТИ 13 марта 1981, № 974−81 Деп.

35. Ь. 7 МиЖеЛ Р. О-и, бке. м&яс'мше /><�ипл.(/>€&ог />!Шс1оралмЛо?ос. е^гсаёсо-кл. УпЛса*^гшг#>. У, зо? , р. ~.

36. ЬомАш Е^аЫ. ¿-¿-иъ. ртегеЖ^алс^о&е.ЬклоглЛсуклм, Ме/Исо-с&п,. ~. /¡-яаХ. у т6, />• 9& 99-,.

37. Сувейка И. В. Смешанные задачи для одного нестационарногоуравнения.- Математ.исследов., Кишинев, Штиница, 1980, вып. 58, с. 99−123.

38. Сувейка И. В. 0 разрешимости смешанных задач для нестационарных уравнений с исчезающей.вязкостью. Математ. иссле-дов., Кишинев, Штиница, I981, вып. 63, с.121−141.

39. Хилькевич Г. И. Аналог принципа Сен-Венана, задача Коши ипервая краевая задача в неограниченной области для псевдопараболических уравнений. УМН, 1981, 36, вып. 3, с" 229−230.

40. Шхануков М. Х. 0 некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. Дифференц. уравнения, 1982, т. 16,4, с. 689−700.

41. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач дляуравнения третьего порядка. Докл. Ж СССР, 1982, т. 265, № 6, с. 1327−1330.

42. Бакиевич Н. И. Выражение решений одного уравнения фильтрациижидкости со свободной поверхностью в многослойных средах через решения уравнения теплопроводности. Дифферент уравнения, 1982, т. 18, № II, с. 1977;1979.

43. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнениятретьего порядка и экстремальных свойствах его решений.- Докл. АН СССР, 1982, т.267, № 3, с. 567−570.52. # -иг44,?са?. Еуцси-бс^а > 8 7 2,8, р. 391/ —.

44. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнениятретьего порядка и экстремальных свойствах его решений.- Дифференц. уравнения, 1983, т.19, № I, с. 145−152.

45. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я" Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, — 285 с. 55. (?сшх&МИ/. о/ ??^-Алюъо-ъ, рагЬсаА ¿-¿-//"^¿-аЛ е^сш^оъ о^ср^АсЛ ¿-¿-оЛсь. /р£. Лгг/^ЮГО, 40, /О, р. ?31−2².

46. Атаманов З. Р., Мамаюсупов М. М" Обратная задача для псевдопараболических уравнений, В сб.: Исследования по интег-ро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1982, вып.15,с.

47. Атаманов З. Р. О регуляризации задачи .Ко ши для уравнения теплопроводности с обратным ходом времени. В сб.: йсследования по интегро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1979, с. 224−227.

48. Атаманов З. Р. Единственность и оценка устойчивости решенияодной некорректной задачи для псевдопараболического уравнения. В сб.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1979, с. 218−224.

49. Нахушев А. М., Карданов Р. Г. О некоторых способах идентификации. математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги. В сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983, с. 3−20.

50. Тхагапсоев Х. Г., Шхануков М. Х., Хапачев B.C., Абрегов М. Х. Определение контактной температуры при правке абразивных кругов алмазным инструментом. Сверхтвердые материалы, 1983, № 4, с. 44−48.

51. Канчукоев В. З. Краевые задачи для уравнений псевдопараболического и смешанного гиперболо-псевдопараболического типов и их приложения к расчету тепломассобмена в поч-вогрунтах. В св.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983, с. 131−138.

52. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальныхуравнений. Дифференц. Уравнения, 1980, т. 16, № II, с. 1925;1935.

53. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач.- Докл. АН СССР, 1969, т. 185, f- 4, с. 739−740.

54. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с. 86⁹⁴.

55. Нахушев А. М. 0 задаче Дарбу для одного вырождающегося натруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Дифференц. уравнения, 1976, т.12,№ I, с.103−108.

56. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения вла-гопереноса. Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 2, о. 280−285.

57. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьегопорядка с нелокальным условием А. М. Нахушева.- Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № I, с. 162−166.

58. Водахова В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. В сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983, с. 74−80.

59. Кочина Н. И. Вопросы регулирования уровня грунтовых вод приполивах. ~ Докл. АН СССР, 1973, т.213, № I, с. 51−54.

60. Нахушев А. М., Борисов В. Н. Краевые задачи для нагруженныхпараболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № I, с. I05-II0.

61. Бондаренко Н. Ф. Физика движения подземных вод. Л.: Гидрометеоиздат, 1972, 215 с.

62. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976, — 352 с.

63. Кулик В. Я. Исследование движения почвенной влаги с точкизрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований. В сб.: Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух. Л., Наука, 1972, с.

64. Лыков A.B. Применение методов. термодинамики необратимых процессов к исследованию теплои массообмена. Инженерно-физический журнал, 1965, т. 9, № 3, с. 287−304.

65. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 295 с.

66. Самарский A.A. Теория разностных схем. ~ М.: Наука, 1977,656 с.

67. Самарский A.A. Однородные разностные схемы на неравномерныхсетках для уравнений параболического типа. I. вычислит. матем. и матем.физ., 1963, т. 3, $ 2, с. 266−298.

68. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующихвторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. I. вычисл.матем. и матем.физ., 1968, т. 8, № 6, c" I?218−1231.

69. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимсяоператором, апроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения. I. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, № 2, с. 337−349.

70. Шхануков М. Х. Разностный метод решения одного нагруженногоуравнения параболического типа. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № I, с. 163−167.

71. G>eHwrt?sM S. Siot имв, ?fyitcutco^ сисх desUv^spovtcellbs cUtype ^¿-хЛе. ~ /ft&iv Afa.iL. y kdt. otL ??$?1 u 9, /93?, В. 25 А.

72. Смирнов В. И. %рс высшей математики. М.: Наука, 1974, т. 4, ч. I, «336 с.

73. Канчукоев В. З. Краевая задача для уравнения третьего порядкасмешанного гиперболо-псевдопараболического типа. -Дифференц.уравнения, 1980, т. 16, № X, с. Х77-Х78.

74. Никольский С. М. Курс математического анализа. М.: Наука, 1975, с.

75. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1977, — 736 с.

76. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: ИздательствоАН СССР, Х950, 164 с.

77. Елеев В. А. Аналог задачи Трикоми для смешанных парабологиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, № 1,с. 56−63.

78. Бжихатлов Х. Г., Карасев И. М., Лесковский И. П., Нахушев А. М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик, 1972, — 290 с.

79. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент.: Издательство ФАН, 1974, — 156 с.

80. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанно-составного типов. Ташкент.: Издательство ФАН, 1979, — 238 с.

81. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981, — 448 с.

82. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск, Вышейшая школа, 1977, 158 с. 97. (Гг/йл^/г^Трикоми ф. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: Иностранная литература, 1957, — 443 с.

83. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963, 358 с.