Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами
Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия /^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами. Получены с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные… Читать ещё >
Содержание
В настоящее время все более широкое распространение получают вероятностные модели, которые в отличие от детерминированных более полно и точно отражают реальные процессы, происходящие в технике, природе и обществе. Описание этих моделей приводит либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, параметрами которых являются случайные функции времени, либо к стохастическим дифференциальным уравнениям. При реализации вероятностных моделей реальных процессов основное внимание обращается на их устойчивость, что привело к созданию соответствующего направления в теории устойчивости — стохастической теории устойчивости. Теоретические основы исследования устойчивости для систем дифференциальных уравнений со случайными параметрами были заложены А. Н. Колмогоровым в 1938 году.
В дальнейшем его подходы были развиты в работах P.JI. Стратоновича, Дж.Е. Бертрана и P.E. Сарачека, H.H. Красовского, A.M. Тихонова, И. Я. Каца, Р. З. Хасьминского, A.B. Скорохода, К. Г. Валеева, O. J1. Кареловой, Г. Н. Милыптейна и других авторов.
Работы всех исследователей опираются либо на изучение уравнений типа уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и вероятностные свойства решений стохастических дифференциальных уравнений, либо на анализ мо-ментных уравнений с последующим применением методов Ляпунова.
Наиболее разработанной является теория систем с «белыми шумами» и марковскими процессами. Теория устойчивости математических моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских процессов, является менее изученной. Поэтому рассмотрение и исследование математических моделей с полумарковскими коэффициентами является актуальным.
В работе К. Г. Валеева, O.JT. Кареловой, В. И. Горелова [26] введено понятие ¿^-устойчивости линейных систем со случайными параметрами. Исследование ¿¿-устойчивости позволяет обоснованно применять уравнения для первых начальных моментов при построении математических моделей систем.
Диссертационная работа продолжает исследования применения мо-ментных уравнений и
приложения введенного понятия ?? устойчивости к моделированию различных процессов со случайными параметрами.
Цель исследования. Целью диссертационной работы является исследование устойчивости математических моделей со случайными параметрами.
Объектом исследования являются математические модели с марковскими и полумарковскими коэффициентами, а также математические модели систем, находящих под действием возмущений типа «белого шума».
Предметом исследования является устойчивость рассматриваемых моделей на основе математического аппарата методов моментных уравнений и функций Ляпунова.
Задача исследования. Задачей диссертационного исследования является нахождение необходимых и достаточных условий ¿¿-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднем и среднеквадратичном математических моделей, представляющих собой линейные системы с марковскими и полумарковскими коэффициентами и возмущениями типа «белого шума», и применение полученных результатов для построения моделей народонаселения и динамики развития фирмы.
Поставленная задача декомпозируется на частные подзадачи:
1) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими коэффициентами-
2) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами-
3) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами-
4) получить с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия /^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами-
5) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿2-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами-
6) построить модифицированную демографическую модель народонаселения и модель динамики развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка-
7) разработать методику расчета построенных моделей изменения численности населения и развития фирмы.
Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании математического аппарата линейных дифференциальных и операторных уравнений, методов теории детерминированной и стохастической устойчивости, объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна полученных результатов.
1) Получено описание моментными уравнениями первого и второго порядка математических моделей со случайными параметрами, которые представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.
2) Известные методы моментных уравнений и функций Ляпунова, применявшиеся ранее для исследования устойчивости в среднем, среднеквадратичном и ¿^-устойчивости вероятностных моделей, обобщены на линейные математические модели марковского и полумарковского типа. Получены необходимые и достаточные условия? ¿-устойчивости рассматриваемых моделей.
3) Показано, что случайный процесс полностью описывается моментным уравнением первого порядка в случае, когда система ¿2-устойчива, либо ¿¿-устойчиво отклонение системы от математического ожидания.
4) Построена модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы на основе моментных уравнений вероятностных моделей с марковскими параметрами, позволяющая исследовать изменение со временем численности населения и динамику развития фирмы.
5) Разработана общая методика расчета предложенных моделей с учетом случайного характера коэффициентов, позволяющая получить значения численности населения и графическое отображение результатов моделирования.
Практическая значимость полученных результатов.
1. Исследование математических моделей со случайными параметрами, обладающих свойством /^-устойчивости, можно заменить исследованием поведения уравнений первых начальных моментов.
2. Предложенные математические методы применимы для исследования устойчивости вероятностных моделей из различных областей прикладной математики: демографии (прогнозирование численности населения), финансовой математики (исследование портфеля ценных бумаг, расчет опционов и др.), экономики (динамика развития отрасли хозяйства или фирмы, распространение рекламной продукции и др.), экологии, механики, теории управления и оценивания и др.
3. Предложенная методика расчета моделей народонаселения и динамики развития фирмы применима для широкого спектра задач, в которых уравнения изменения состояния описываются системами линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.
Реализация и внедрение. Модифицированная математическая модель народонаселения, методика расчета и ее программная реализация внедрены в практическую деятельность Территориального органа по Ставропольскому краю Федеральной службы государственной статистики (Ставропольстата), что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационного исследования. Отдельные положения использованы в учебном процессе СГУ при подготовке студентов по специальности Прикладная математика и информатика в рамках дисциплины «Случайные процессы и их
приложения".
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационном исследовании теоретических и практических результатов, формулировок теорем обеспечивается корректным применением аппарата математического и функционального анализа, теории случайных процессов, теории устойчивости.
Адекватность предложенной модели народонаселения реальным демографическим процессам подтверждается результатами численного расчета и их сравнением со статистическими данными. Относительная погрешность на срок 2 года (по отношению к статистическим данным на 2002 год) не превышает 1,058% и находится в пределах 0,005% — 1,058%, а на срок 15 лет (по отношению к прогнозу Всемирного Банка на 2015 год) — не превышает 4,876% и находится в пределах
0.181.-4.876%.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Моментные уравнения первого и второго порядка математических моделей с марковскими и полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном и ¿¿-устойчивость рассматриваемых моделей.
2. Необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.
3. Необходимые и достаточные условия /^-устойчивости (полученные с помощью моментных уравнений) математических моделей с полумарковскими коэффициентами.
4. Необходимые и достаточные условия ¿2~устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.
5. Модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы, построенные на основе применения моментных уравнений к вероятностным моделям с марковскими коэффициентами, и методика расчета этих моделей.
Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004 г.), первой Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004 г.), XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-18», (Казань, 2005 г.), Всероссийской конференции «Математика и ее
приложение в математическом образовании — 2″, (Улан-Удэ, 2005 г.), VII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (Таганрог, 2005 г.), V Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005 г.), V региональной научно-практической конференции «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2005 г.).
Опубликованносгпь результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах: из них 4 — в изданиях, включенных в перечень научных и научно-технических журналов, издаваемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени доктора наук
Известия Томского политехнического университета", «Известия вузов. Северо-Кавказский регион» и «Обозрение прикладной и промышленной математики»), 8 — в сборниках материалов региональных, Всероссийских и Международных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (содержащего 126 наименований). Основная часть работы изложена на 155 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков и 7 таблиц.