О бирациональных преобразованиях дифференциальных систем с полиномиальной правой частью

I, К р, а т к и й о б з о р п о т е о р и и и н в, а р и, а н т о в д и ф ф е р е н ц и, а л ь н ы х с и с т е м. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению инвариантов двумерных автономных дифференциальных систем при однородных бирациональных преобразованиях и редукции этих систем при помощи билинейных и дробно-линеиных преобразований фазовых переменных. Алгебраическая теория инвариантов зародилась в Англии в середине прошлого столетия. Многие фундаментальные проблемы теории были решены в 90-х годах в работах Д. Гильберта tl]. Классическая теория инвариантов изложена в книгах Г. Вейля LS], Дж. Грэйса и А. Юнга [З], Г. Б. ГУревича [4], И. Шура [б] и других авторов. Обзор работ по этой теории: иi обширная библиография даны В. Ф. Мейером [б] и Р. Вейтценбёком [7j. В последнее время в связи с применением теории инвариантов в самых разнообразных областях к ней вновь стали проявлять интерес. Об этом свидетельствуют, например, книги Ж. Дьедонне, Дж, Керрола, Д. Мамфорда [.8], Э, Спенсера [9], Т. Э. Спрингера tiol и Д. Хаджиева [ и ] .В дифференциальные уравнения теория инвариантов проникает еще в работах французских математиков Э. Лагерра [12, 13],^ Ж. Альфана ll4], Р. Лиувилля [15−18], П, Аппеля [l9−2l], ГГ. Пенлеве [22−243, Э. Гурса [253, Э. Вессио [26] и др. Рассматривались, например, инварианты дифференциальных уравнений определенного вида относительно произвольного преобразования независимого переменного и линейного или дробно-линеиного преобразования искомой функции с переменными коэффициентами. Обзор работ по теорийинвариантов дифференциальных уравнений дан Э. Вессио 1273. В последние десятилетия инварианты дифференциальных систем при степенных и аналитических преобразованиях неизвестных изу> 4 чаются А. Д. Брюно f28, 29], Л. А. Беклемишевой [ЗО], Г, Р. Белицким Isi], Л. М. Мархашовым [32]. Вопросам группового и геометрического анализа дифференциальных уравнений, восходящим к работам Ли и Э. Картана, посвятили свои исследования Л. В. Овг сянников £ззЗ, Н. X. Ибрагимов Е34], В. А. Дородницын [Зб], Н. В ^ Степанов [36, 3?], В. И, Близникас, 3. Ю. Лупейкис [зз], А. М. Виноградов [39] и др. В г. Кишиневе с 1963 г. группа математиков под руководством К. Сибирского занялась изучением совместных полиномиальных инвариантов автономных систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями при различных группах линейных преобразований фазового пространства. Результаты исследований опу— бликованы в работах Сибирского и его учеников Д. Булараса, Н. И. V Булпе, Э. Ф. Гасинской-Кирницкой, Данг Динь Бика, А. Н. Косачевой, В. А. Лункевича, А. В. Маринчук, И. И. Плешкана, М. Н. Попа и В. Д. Таку. В монографии К. Сибирского Х40″ ] излагаются г основы исследований в указанном направлении. Ниже приведены некоторые определения и результаты из этой монографии. Линейное преобразование СЬ будем записывать в виде ^ = (уХ, (0.2) где 'Ч—('Ч I’M J—-1J /" вектор новых искомых функций, а СЬ (Tt Х’Л) -матрица.Сделав преобразование (0.2) в системе (O.l), придем к новой системе Обозначим через Ц совокупность всех коэффициелтов системы (0.3). Ясно, что О п р е д е л е н и е 0.1: Полином от коэффициентов системы (O.l) xlOU) называется полиномиальным инвариантом системы (0.1) при группе Gl, если существует такая функция XLQM), завися^ щая только от элементов группы, что имеет место тождество IlJ&)=At (J,)I (*) (0−4) -* при всех <�ув1э1 и любых 01/6 п. Функция Л (С1/) называется мультипликатором. Если A (C|/)^i, то инвариант I (OU) называется абсолютньм, в противном случаеотносительны!^.О п р е д е л е н и е 0.2: Полином К (СЬ, 00) от коэффициентов системы СO. l) и искомых переменных X, ^ ,…, Х называется комитантом системы (0.1) npns группе tl, если существует такая функция Я.((1/), что при любых.

1. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 2. Algebra. 1.-variantentheorie. Geometrie. Zweite Auflage. Berlin — Heidelberg — N. Y.: Springer, 1970, 453 S..

2. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.: ПИИЛ, 1947, 408 сг..

3. Grace J. Hi, Young A. The Algebra of Invariants. Cambridge, 1903, 384 p.- N. Y.: Chelsea, 1965, 384 p..

4. Гуревич Г. Б. Основы теории: алгебраических инвариантов^. М.- Л.: ГИТТЛ, 1948, 408 с..

5. Schur I. Vorlesungen liber Invariantentheorie. Die Grund-lehren der math. Wiss. in Einzeldarstellungen., Berlin Heidelberg — N. Y.: Springer, 1960, Bd. 143, 134 S..

6. Meyer W. Fr. Invariantentheorie.- Enzyklopadie der math. Wissenschaften, 1899, Bd. 1, H. 3−4, S. 320−403..

7. Weitzenbock R. Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie.- Differentialinvarianten.-Encyklopadie der math. Wissenschaften, 1922, Bd. 3, Teil 3, H. 6, S. 1−71..

8. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М. Мир, 1974, 280 с..

9. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974, 156 с..

10. Спрингер Т. Э. Теория: инвариантов. М.: Мир,. 1981, 191с.-Новое в: зарубежней науке. Математика- 24..

11. Хаджиев Д. Теория инвариантов бинарных форм. Ташкент.: Изд.-во ФАН УзССР, 1978, 95 с..

12. Laguerre Е. Sur les equations differentielles lineaires du troisieme ordre.-C. r. Acad. Sci., 1879, t. 88, p. 116−119..

13. Laguerre E. Sur quel que s invariants des equations differentielles lineaires.-C. r. Acad. Sci., 1879, t. 88, p. 224−227. 148.

14. Liouville R. Sur une classe d’equations differentielles du premier ordre et sur les formations invariantes qui s’y rap-portent.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 460−463..

15. Liouville R. Sur une classe d’equations differentielles, parmi, lesquelles, en particulier, toutes cell. es des lignes geo-desiques se tanvent comprises.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 1062−1064..

16. Appell P. Sur les invariants des equations differentielles.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 55−58..

17. Appell P. Sur les invariants de quelques equations differentielles.-J. de math, pures et appli., 1889, t. 5, 4 ser., p. 361−423..

18. Painleve P. Sur les equations differentielles lineaires du troisieme ordre.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 104, p. 1829−1832..

19. Painleve P. Sur les equations differentielles lineaires.-C. r. Acad. Sci., 1887, t. 105, p. 58−61. 149.

20. Painleve P. Sur une transformation des equations diffe-rentielles du premier ordre.-C. r. Acad. Sci., 1890, t. 110, p. 840−843..

21. Goursat E. Sur les invariants des equations differenti-elles.-C. r. Acad. Sci., 1888, t. 107, p. 898−900..

22. Vessiot E. Sur quelques equations differentielles ordi-naires du second ordre.-Ann. fac. sci. Toulouse, 1895, t. 9, p. F1-F26..

23. Vessiot E. Gewohnliche DifferentialgleichungenElemen-tare Integrationsmethoden.-Encyclopadie der math. Wissenschaf-ten, 1900, Bd. 2, Teil 1, H. 2−3, S. 240−243..

24. Брюно А. Д. О локальных инвариантах дифференциальных уравнений.-Мат. заметки, 1973, т- 14, № 4, с. 499−507..

25. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974, 254 с..

26. Беклемишева Л. А. Инварианты полиномиальных систем дифференциальных уравнений относительно обобщенных степенных преобразований. -ДАН СССР, 1978, т, — 243, № 6, с, 1365−1368..

27. Белицкий Г. Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979, 174 с..

28. Мархашов Л. М. Метод инвариантов в задачах об эквивалентности' обыкновенных дифференциальных уравнений.-В кн., Кибернетика и вычислительная техника. Ресгг. межвед. сборник. Киев: Наукова думка, 1978, вып. 39, с. 45−53..

29. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальны?: уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с..

30. Степанов Н. В. Дифференциально-геометрическая теория: Стъ) f— ,/, iTVlLуравнения =г (Х/чД ,.) .-В кн.: Проблемы геометрии. М., 1977, тг. 8, с:. 47−66..

31. Степанов Н. В. Геометрия дифференциальных уравнений.-В кн.: Проблемы геометрии: /Итоги: науки и техники/. М., 1981, т. 12, — с. 127−164..

32. Близникас В. И., Лупейкис 3. Ю. Геометрия дифференциальных уравнений.-В кн.:. Алгебра. Топология. Геометрия /Итоги: науки и техники/. М., 1974: ti. II, с:. 209−259..

33. Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений.-В кн.: Проблемы геометрии /Итоги науки и техники/. М,. 1980, т. II, с. 89−134..

34. Сибирский К. С.

Введение

в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев г Штиинца, 1982,. 168 с-..

35. Гасинская Э. Ф., Сибирский К. С. Аффинные, инварианты системы" с квадратичными нелинейностями.-Диф. уравнения,., 1973, т- 9, Р 8, с. I371−1382..

36. Буларас: Д., Попа М. Н. Комитанты системы" сз квадратичными: нелинейностями.-Диф. уравнения, 1978,. т:. 14, — Р 5, с. 835−842..

37. Буларас Д., Сибирский К. С. Центроаффинные" инварианты" квадратичной дифференциальной системы.-Изв-. АН. МССР,. 1979, Р I, 8.17..

38. Perron 0. Uber eine Matrixtransformation. Math. Z.s., 1930, Bd. 32, S. 465−473..

39. Самовол В. С. О приведении динамических систем к треугольному виду.-Диф. уравнения, 1969, т. 5, № 6, с. 1076−1082..

40. Toth G. On the Global Triangularizability of Planar Differentiable Dynamical Systems.-Studia Sci. Math. Hungar., 1976, Vol. 11, p 1−2, p. 211−228..

41. Toth G. On the Triangularizability of Planar Orthogonal Differential Equations.-Period. Math. Hungar., 1977, Vol. 8,3.4, p. 243−251..

42. Toth G. On the Triangularizability of Planar Differential Systems without Critical Points.-Studia Sci. Math. Hungar., 1977, Vol. 12, — F 3−4, p. 425−428..

43. Сыроид Ю. Б. Геометрический критерий линейной приводимости дифференциальной системы к треугольному виду.-Вестн. Бег-лорус. ун.-та, Сер. I, 1973, Р 2, с. 16−17..

44. Сыроид Ю. Б. Композиция дифференциальных систем.-Вестн. Белорус, ун.-та, Сер. I, 1974, Р 2, с. 19−22..

45. Сыроид Ю. Б. Треугольные и триангулируемые дифференциальные системы.-Диф. уравнения, 1974, т-. 10, Р 2, с. 266−269..

46. Риман Б. Сочинения. Гостехиздат, 1948..

47. Noether М., Brill A. Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie.-Math. Ann., 1873, Bd. 7..

48. Noether M. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens al-gebraischer Gebilde von beliebig vielen Dimensionen.-Math. Ann., 1870, Bd. 2- 1875, Bd. 8..

49. Clebsch A. Sur les surfaces algebriques.- 0. r. Acad. Sci., 1868, t. 67, p. 1238−1239..

50. Bertini E. Ricerche sulle transformazioni univoche invo-lutorie nel piano.-Annali di Matematica, ser. II, 1877, v. 8..

51. Enriques F. Superficie Algebriche. Bologna, 19⁹..

52. Шафаревич И. P. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972, 568 с..

53. Mumford D. Algebraic Geometry. 1. Complex Projective Varieties. Berlin Heidelberg — N. Y.: Springer, 1976 /русский перевод: Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. I. Комплексные-проективные многообразия. М. Мир, 1979, 256 е./.

54. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. Л.:. Гостехиздат, 1947, 448 с,.

55. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-5-е изд.-М.: Наука, 1976, 576 с..

56. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков: Научно-техническое изд.-во Украины, 1939, 719 с..

57. Ковачев В. X. Билинейные преобразования некоторых дифференциальных уравнений с рациональной правой частью.-Вестн. Белорус. ун.-та, Сер. I, физ., мат. и.мех., 1983, № 2, с. 45−47..

58. Ковачев В. X. О приведении некоторых дифференциальных уравнений с рациональной правой частью к «треугольному» виду прш- 153 помощи билинейного преобразования.-Вестн. Белорус, ун.-та, Сер. I, физ., мат. и мех., 1984, Р 2, с. 61−62..

59. Ковачев В. X. О некоторых билинейных инвариантах двумерных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональной правой частью.-Диф. уравнения, 1985, № 2,.

60. Ковачев В. X. О триангуляции дифференциальных систем при помощи дробно-линейного преобразования. Ред. журн. «Изв. вузов. Матем.» Казань, 198, 48 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ.