Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечным полем к = Fq. В этом случае у многообразия есть набор важных инвариантов Nr. Для данного натурального г число Nr — это количество точек на X = Ixj-!, координаты которых лежат в Эти инварианты можно объединить в дзета-функцию многообразия (см. определение 0.1). А. Гротендик доказал, что дзета-функцию многообразия над конечным полем можно вычислить через характеристические многочлены действия Фробениуса на этальных когомологиях.
В случае, когда X — поверхность, нас будет интересовать структура дзета-функции в терминах геометрии и комбинаторики X. Для некоторых классов поверхностей получена явная классификация. Например, обобщен результат из статьи М. А. Цфасмана [Ts96], где изучался вопрос о количестве к-точек на расслоениях на коники, а также построены поверхности дель-Пеццо степени 4, дзета-функции которых были классифицированы Ю. И. Маниным [Man72].
Поскольку любая поверхность получается раздутием минимальной, достаточно вычислить дзета-функции минимальных поверхностей. Для этого нам потребуется классификация минимальных поверхностей над конечным полем. Если размерность Кодаиры неотрицательна, то достаточно классических результатов Энриквеса над алгебраически замкнутым полем, которые были доказаны Бомбьери и Мамфордом в произвольной характеристике [ВМ77]. В остальных случаях можно воспользоваться результатами В. А. Псковских и Ю. И. Манина о классификации рациональных поверхностей и расслоений на коники [Isk79] и [Мапбб].
В диссертации вычислены дзета-функции следующих типов поверхностей: расслоения на коники над гладкими проективными кривыми (теорема 0.19), поверхности дель-Пеццо степени 4 (теорема 0.20), поверхности Куммера в характеристике не равной двум (теорема 0.23) и биэллиптические поверхности в характеристике не равной двум и трем (теорема 0.24). Для работы с поверхностями Куммера используется классификация-кручения абелевых поверхностей (теорема 3.19), где? — простое число, отличное от характеристики основного поля. Для получения этой классификации используется теорема 0.22 — один из центральных технических результатов работы.
Теорема 3.19 также используется для ответа на еще один вопрос. Пусть f (x) = x6+aix5+a2X4+a3XS—qa2X2+q2aiX—q3 — многочлен Вейля, соответствующий классу изогении трехмерных абелевых многообразий над конечным полем. Существует ли гладкая проективная кривая рода 3 над к, у которой был бы такой характеристический многочлен автоморфизма Фробениуса? Иначе говоря, есть ли якобиан гладкой проективной кривой в данном классе изогении?
Для абелевых поверхностей аналогичный вопрос был рассмотрен Рюкком [Ru90], который предложил некоторые достаточные условия для случая обыкновенных абелевых поверхностей. После этого многие авторы занимались дзета-функциями якобианов и разработали ряд методов (см. например, [Howe95][Howe96][Howe01]), которые работают не только для поверхностей. Окончательно вопрос для кривых рода 2 был закрыт статьей [HNR06], где также можно найти полный обзор истории этого вопроса.
Мы будем рассматривать случай, когда якобиан нашей кривой рода 3 изогенен произведению эллиптической кривой и геометрически простой абелевой поверхности. Сначала мы выясним, когда существует главная поляризация на таком многообразии, используя [Howe96], а потом применим результат из статьи [OU] и докажем, что над квадратичным расширением наше многообразие будет якобианом. Основные результаты здесь — теоремы 0.26 и 6.23.
Диссертация состоит из введения и шести глав. Во введении приведены основные обозначения и определения, базовые утверждения, необходимые в диссертации, а также формулируются основные результаты диссертации. В первой главе доказана теорема классификации дзета-функций расслоений на коники над произвольной гладкой кривой над конечным полем, и приводятся достаточные условия существования расслоений с данной дзета-функцией. Описаны дзета-функции расслоений над проективной прямой. Во второй главе результаты первой главы используются, чтобы построить поверхности.
