Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Оптимизация расчётов сейсмических волновых полей методом суммирования гауссовых пучков

Диссертация: Оптимизация расчётов сейсмических волновых полей методом суммирования гауссовых пучков
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Большинство задач современной сейсмологии в той или иной степени связано с расчётами высокочастотных полей сейсмических волн в сложных моделях реальных сред. Это и обратные задачи по оценке свойств среды по данным объёмных и поверхностных волн, и прямые задачи по оценкам рисков сейсмической опасности на основе расчётов синтетических акселерограмм и параметров очагов землетрясений по спектрам… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА. ОБЗОР РАБОТ ПО МЕТОДУ СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ МСГП) д
    • 1. 1. Концепция МСГП: история появления и основные идеи д
    • 1. 2. Математические основы метода 13 1.2.1 Скалярное волновое поле
      • 1. 2. 1. 1. Двумерный скалярный случай щ
      • 1. 2. 1. 2. Трёхмерный скалярный случай
      • 1. 2. 2. Поле упругих волн 24 1.2.2.1 Двумерный упругий случай 25 1.2.2.2.Трехмерный упругий случай
      • 1. 2. 3. Отражение и преломление гауссовых пучков 27 1.2.4 Синтетические сейсмограммы
    • 1. 3. Обзор и анализ результатов применения МСГП в практических задачах вычислений волновых полей
    • 1. 4. Современные проблемы
  • МСГП ГЛАВА
  • МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ ЗАРАНЕЕ ЗАДАННОЙ ШИРИНЫ ОСЛАБЛЕНИЯ
    • 2. 1. Двумерный случай
    • 2. 2. Трёхмерный случай
    • 2. 3. Почему удобно применять данную методику выбора начальных параметров в практических вычислениях?
  • ГЛАВА. СВЯЗЬ ЭФФЕКТИВНОЙ ШИРИНЫ ОСЛАБЛЕНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ С ПАРАМЕТРАМИ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ
    • 3. 1. Способы задания ширины ослабления Ь ()
  • 3−2 Влияние ширины гауссовых пучков на результат их суммирования для однородных и неоднородных сред
    • 3. 3. Оптимальная вычислительная процедура МСГП
    • 3. 4. Исследование возможности применения МСГП для расчёта головных волн
  • ГЛАВА. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МСГП В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ СЕЙСМОЛОГИИ
    • 4. 1. Алгоритм расчёта волнового поля и его реализация в виде программного кода
    • 4. 2. Расчеты ускорения почвы сравнение с методом суммирования нормальных мод)
    • 4. 2. Расчёт волн цунами в центральной части Тихого океана
    • 4. 3. Сейсмограммы объёмных волн в верхней мантии Земли
  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  • Список использованной литературы
  • Список публикаций ЮО
  • Приложение №
  • Приложение №
  • Приложение №

Оптимизация расчётов сейсмических волновых полей методом суммирования гауссовых пучков (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность проблемы.

Большинство задач современной сейсмологии в той или иной степени связано с расчётами высокочастотных полей сейсмических волн в сложных моделях реальных сред. Это и обратные задачи по оценке свойств среды по данным объёмных и поверхностных волн, и прямые задачи по оценкам рисков сейсмической опасности на основе расчётов синтетических акселерограмм и параметров очагов землетрясений по спектрам поверхностных волн, а также имеющая огромное практическое значение задача прогноза высоты волн цунами в океане в зависимости от глубины бассейна. Существующие методы расчёта волновых полей, используемые в тех или иных задачах, либо основываются на крайне упрощённых предположениях о строении среды (и даже на использовании простейших полуэмпирических формул), либо используют для расчётов методы, требующие чрезвычайно больших вычислительных ресурсов (метод конечных разностей и метод конечных элементов [Стренг 1977]), либо используют приближённые методы, которые характеризуются ограниченной областью применимости (лучевой метод [Бабич 1956], неприменимый в областях нерегулярности поля лучей, или метод суммирования нормальных мод [Panza 1985], неприменимый в случае горизонтальных вариаций структуры среды). В то же время существует в достаточной мере универсальный метод суммирования гауссовых пучков (МСГП) [Попов 1981,2009], который свободен от перечисленных недостатков. Данный метод хотя и получил широкое распространение в некоторых специальных задачах сейсморазведки [Чеверда 2009, Popov et al. 2010], однако в практических задачах сейсмологии применяется редко [Nowack 2003]. Последнее объясняется тем, что для корректного применения этого метода необходимо оптимальным образом задавать начальные параметры гауссовых пучков (ГП). Естественно предположить, что в разных задачах, эти параметры следует выбирать по-разному [Weber 1988а]. Именно данная трудность МСГП и объясняет тот факт, что в вычислительной сейсмологии для расчётов волновых полей до сих пор выбирают такие менее универсальные, но более прозрачные с точки зрения практической реализации методы как лучевой метод и метод суммирования нормальных мод. В то же время МСГП при адекватном выборе начальных параметров мог бы использоваться в разнообразных задачах сейсмологии, требующих расчётов волнового поля в неоднородных (как по вертикали, так и по горизонтали) средах. Поэтому задача выбора оптимальных начальных параметров ГП, определяющих универсальным образом их эффективную ширину, представляется весьма актуальной в современной сейсмологии.

Цель и задачи работы.

Целью выполнения данной работы являлось создание комплекса алгоритмов и вычислительных программ на основе МСГП для расчётов синтетических сейсмограмм в 21) и зБ моделях реальной Земли. Для достижения этой цели решались следующие задачи:

1. Разработка оптимизированной методики выбора начальных параметров, определяющих ГП любой заранее заданной ширины ослабления ?0 и, одновременно, имеющих минимальные осцилляции для выбранной ширины. Методика должна быть применима для произвольных сложнопостроенных 2Б/зБ сред (включая гладкие границы раздела).

2. Разработка вычислительной процедуры, учитывающей взаимосвязь между числом суммируемых ГП, их шириной, параметрами среды и волнового поля и гарантирующей получение точных и устойчивых результатов вычисления волнового поля в любых сложных 2Б/зБ средах.

3. Создание универсального алгоритма расчёта волновых полей, на основе процедуры п. 2, и его реализация в виде вычислительной программы.

4. Верификация результатов расчётов волновых полей для некоторых моделей сред путём их сравнения с результатами, полученными независимо другими авторами.

5. Численное моделирование волновых полей на примерах некоторых задач сейсмологии, иллюстрирующих широкий спектр потенциальных возможностей оптимизированного МСГП.

Экспериментальный материал.

В качестве исходных данных использовались материалы реального глубинного строения Земли и соответствующие им результаты расчётов ускорения почвы.

Romanelli et а1. 2010], данные глобальной батиметрии Тихого океана [ЕТ0Р05], данные о строении верхней мантии Земли на основе РЫЕМ.

Научная новизна.

Разработана оригинальная формализированная методика построения ГП любой заранее заданной эффективной ширины ослабления и одновременно, имеющей минимальную кривизну фазового фронта. Представлено её математическое обоснование и даны точные формулы для построения таких пучков как в двухмерных, так и в трёхмерных случаях.

Показано, что данная методика построения таких ГП работает, в том числе и для сложных неоднородных сред и позволяет автоматически фиксировать/контролировать ширину ослабления пучка на протяжении всего его времени распространения.

Предложена вычислительная процедура МСГП, гарантирующая получение в сложных неоднородных средах устойчивых результатов требуемой точности, что делает данный метод надёжным и по-настоящему универсальным для решений прямых задач сейсмологии.

Практическая значимость.

Предложенная оптимизационная процедура МСГП проста для реализации, надёжна и в то же время позволяет существенно сократить время вычисления волнового поля. Это достигается за счёт использования ГП фиксированной ширины (10) и минимальной кривизны фазового фронта, что даёт нам возможность предварительного расчёта необходимого числа лучей, которыми должна быть покрыта рабочая область (ЗЬ0) точки наблюдения, для вычисления интеграла суммы.

ГП требуемой точности.

Описанный механизм, вместе с тем обстоятельством, что алгоритм вычисления волнового поля не изменяется при наличии каустик или зон критического отражения, делает МСГП удобным методом для расчёта синтетических сейсмограмм в моделях сред реальной Земли, имеющих сложную структуру.

Защищаемые положения.

1) Для любых сложных сред эффективная ширина ослабления ГП, распространяющегося вдоль центрального луча высокочастотного волнового поля, может фиксироваться или изменяться по заранее заданному нами закону на протяжении всего его времени распространения. Данный закон может быть определён на основании свойств среды и параметров волнового поля. Соответствующие оригинальные математические формулы приводятся как для двумерных, так и для трёхмерных случаев.

2) Для выбранной эффективной ширины существует возможность задания ГП с минимальной кривизной фазового фронта.

3) Предложена оптимизационная вычислительная процедура МСГП: для достижения устойчивых результатов и гарантированной точности вычисления волнового поля в сложных неоднородных средах предлагается фиксировать эффективную ширину ГП L0 равной длине волны Л и затем последовательно увеличивать плотность веера лучей.

4) На основе данной вычислительной процедуры МСГП может быть успешно применён для расчёта высокочастотных волновых полей в практических задачах сейсмологии.

Апробация работы и публикации.

Промежуточные результаты работы докладывались на 7 Международной научно-практической конференции молодых специалистов «Геофизика-2009» (С.Петербург, Россия), на Международной конференции «Days on Diffraction 2010» (С.Петербург, Россия), на 8 Международной научной конференции «Проблемы Геокосмоса-20Ю» (С.-Петербург, Россия).

Работа была поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов 2010 года № 2.7/04−06/026.

По теме работы опубликовано 3 научные статьи (две из которых в рекомендуемых ВАК журналах) и 3 тезиса докладов.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. В работе приведено 36 рисунков. Общий объём диссертации составляет 99 страниц машинописного текста.

На основании проделанной работы формулируются следующие ВЫВОДЫ:

1. В работе предложена оригинальная методика построения 2Б/зБ гауссовых пучков любой заранее заданной эффективной ширины и одновременно имеющих минимальные кривизны фазовых фронтов. Методика построения таких гауссовых пучков универсальна — она работает для любых сред и даёт возможность автоматически контролировать выбранную ширину каждого пучка вдоль всего луча.

2. Предложена вычислительная процедура МСГП, гарантирующая получение в сложных неоднородных средах устойчивых результатов требуемой точности, что делает данный метод надёжным и по-настоящему универсальным для решений прямых задач сейсмологии.

3. Показано, что природа добавочных возмущений, которые проявляются в амплитудах отражённых волн при использовании очень широких ГП, связана с нарушением непрерывности фронтов ГП на границе раздела двух сред. Данные возмущения крайне нестабильны и не могут трактоваться как решения головных волн.

4. МСГП, на основе предложенной вычислительной процедуры, реализован в виде компьютерной программы, позволяющей рассчитывать волновые поля (стационарные решения и синтетические сейсмограммы) для широкого спектра моделей сред.

5. Её работоспособность подтверждена достаточно хорошим совпадением рассчитанных синтетических акселерограмм с акселерограммами метода суммирования нормальных мод.

6. Иллюстрируется удобство применения МСГП в практических задачах сейсмологии: моделируются амплитудные поля волн цунами в центральной части Тихого океана и объёмных волн в верхней мантии Земли. Продемонстрировано, что данный метод даёт хорошее качество получаемых результатов при сравнительно небольших затратах машинного времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Приведённые в настоящей работе примеры расчётов волновых сейсмических полей наглядно иллюстрируют тот факт, что использование предложенной в данной работе формализованной методики по контролю за эффективной шириной и кривизной фазовых фронтов гауссовых пучков позволяет получать устойчивые и достаточно точные результаты даже в сложных средах. Это, а также высокое быстродействие МСГП, делает его удобным инструментом для расчётов сейсмических волновых полей. В частности предлагается при расчётах пиковых ускорений почвы Земли (для получения входных данных для оценок рисков сейсмической опасности) от не слишком удалённых землетрясений применять МСГП вместо используемого в настоящее время метода суммирования нормальных мод.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология // Москва, Мир, 1980, т. 1, 520 стр.
  2. В. М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Доклады АН СССР, Математическая физика, 1956, Том но, № 3, стр. 355−357.
  3. В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн // Москва, Наука, 1972,456 стр.
  4. В. М., Булдырев В. С., Молотков И. А. Пространственно-временной лучевой метод // Ленинград, Изд. Ленинград, университета, 1985, 272 стр.
  5. В.М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции // Ленинград, Изд. Ленинград, университета, 1974,126 стр.
  6. В. М., Панкратова Т. Ф. О разрывах функции Грина смешанной задачи для волнового уравнения с переменным коэффициентом // Проблемы математической физики, Ленинград, 1973, стр. 9−27.
  7. В. М., Попов М. М. Метод суммирования гауссовых пучков (обзор) // Изв. высш. учеб. завед., сер. Радиофизика, 1989, т. 32, № 12, стр. 1447−1446.
  8. Г. Н., Гурвич И. И. Сейсморазведка // Тверь, Тверь-АИС, 2006, 744 стр.
  9. А. П., Применение квазифотонов для расчёта поля в упругой волновой среде // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1985, т. 148, стр. 89−104.
  10. А. П., Попов М. М., Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчёта высокочастотных волновых полей // Док. АН СССР, сер. Физика, 1981, т. 258, № 5, стр. 1097−1100.
  11. А. П., Попов М. М., Применение гауссовых пучков в изотропной теории упругости // Л., Препринт ЛОМИ Р-9−82,1982,14 стр.
  12. М. М. О вычислении геометрического расхождения в неоднородной среде с гладкими границами раздела // Препринты Ленингр. отд. Матем. инта АН, Ленинград, 1977, Р-3−77
  13. М. М. Новый метод расчёта волновых полей в высокочастотном приближении // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1981, т. 104, стр. 195−216.
  14. Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // Мир, Москва, 1977,351 стр.
  15. В. А. Восстановление скоростного строения неоднородных сред методом полного обращения волновых сейсмических полей // Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. наук, 2009, 260 стр.
  16. Т. Б. Особенности поля поверхностных волн в окрестности точки касания каустик // Физика Земли, 2004, № 12, стр. 3−10.
  17. Т.Б. Основы сейсмологии // С.-Петербург, Изд. С.-Петербургского университета, 2007, 260 стр.
  18. Янсон 3. А. Высокочастотная асимптотика решений волнового уравнения в случае волновода // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1972, № 3, стр. 15−24.
  19. Akima Н. A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting for irregularly distributed data points //ACM Trans, on Math. Software, 1978, Vol. 4, p. 148−159.
  20. B. G., Yanovskaya Т. В., Montagner J.-P., Mostinsky A. Z., Beucler E. Surface wave focusing effects: Numerical modeling and statistical observations // Phys. of the Earth and planet, inter., 2006, vol. 155, p. 191−200.
  21. Cerveny V. Expansion of a plane wave into Gaussian beams // Studia geoph. et geod., 1982, vol. 26, p. 120−131.
  22. Cerveny V. Synthetic body wave seismograms for laterally varying layered structures by the Gaussian beam method // Geophys. J. R. astr. Soc., 1983, Vol. 73, p. 389 426.
  23. Cerveny V. Gaussian beam synthetic seismograms // J. Geophys., 1985a, Vol. 58, p. 44−72.
  24. Cerveny V. The application of ray tracing to the numerical modeling of seismic wave fields in complex structures. In Seismic shear waves //London, Geophysical press, 1985b, p. 1−124.
  25. Karlova, Praha, 1977, 216 p.
  26. Cerveny V., Popov M. M., Psencik I. Computation of wave fields in inhomogeneous media Gaussian beam approach // Geophys. J. R. astr. Soc., 1982, Vol. 70, p. 109 128.
  27. Cerveny V., Psencik I. Gaussian beams in two-dimensional elastic inhomogeneousmedia // Geophys. J. R. astr. Soc., 1983a, Vol. 72, p. 417−433.
  28. Cerveny V., Ravindra R. Theory of seismic head waves // Toronto, Univ. Toronto Press, 1971, 296 p.
  29. Chapman C. H. Ray theory and its extensions WKBJ and Maslov seismograms // J. Geophys., 1985, Vol. 58, p. 27−43.
  30. Cormier V. F. Slab diffraction of S-waves // J. Geophys. Res., 1989, Vol. 94, p. 3006−3024.
  31. Cormier V. F., Spudich P. Amplification of ground motion and waveform complexity in fault Zones: examples from the San Andreas and Calaveras Faults // Geophys. J. R. astr. Soc., 1984, Vol. 79, p. 135−152.
  32. Cormier V. F., Su W. J. Effects of three-dimensional crustal structure on the estimated slip history and ground motion of the Loma Prieta Earthquake // Bull. Seism. Soc. Am., 1994, Vol. 84, p. 284−294.
  33. Felsen L. B. Geometrical theory of diffraction, evanescent waves, complex rays and Gaussian beams // Geophys. J. R. astr. Soc., 1984, Vol. 79, p. 77−88.
  34. Fluerasu A., Letrou Ch. Gaussian beam launching for 3D physical modeling of propagation channels // Ann. Telecommun., 2009, Vol. 64, p. 763−776.
  35. Fock V. A. Electromagnetic diffraction and propagation problems // New-York, Pergamon Press, 1965, p. 414.
  36. Friederich W. A new approach to Gaussian beams on a sphere: theory and application to long-period surface wave propagation // Geophys. J. Int., 1989, Vol. 99, p. 259−271.
  37. Gabillet Y., Schroeder H., Daigle G., L’Esperance A. Application of the Gaussian beam approach to sound propagation in the atmosphere: theory and experiments // J. Acoust. Soc. Amer., 1992, Vol. 93, p. 3105−3116.
  38. George Th., Virieux J. Madariaga R. Seismic wave synthesis by Gaussian beam summation: a comparison with finite differences // Geophysics, 1987, Vol. 52, No. 8, p. 1065−1073.
  39. Gray S. H. Gaussian beam migration of common-shot records // Geophysics, 2005, Vol. 70, p. 71−77.
  40. Green A., Bertoni H., Felsen L. Properties of the shadow cast by a half-screen whenilluminated by a Gaussian beam 11 J. Opt. Soc. Am., 1978, Vol. 69, No. 11, p. 15 031 508.
  41. Grikurov V. E., Popov M. M. Summation of Gaussian beams in a surface waveguide //Wavemotion, 1983, Vol.5,P- 225−233.
  42. Hanyga A. Gaussian Beams in anisotropic elastic media // Geophys. J. R. astr. Soc., 1986, Vol. 85, P-473−503.
  43. Hill N. R. Gaussian beam migration // Geophys., 1990, Vol. 55, p. 1416−1428
  44. Hill N. R. Prestack Gaussian beam depth migration // Geophysics, 2001, Vol. 66, p.1240−1250.
  45. Hubral P. A wave-front curvature approach to computing ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces // Studia geoph. et geod., 1979, Vol. 26, p. 131−137
  46. Jensen F. B., Kuperman W. A., Porter M. B., Schmidt H. Computational ocean acoustics. In AIP Series in modern acoustics and signal processing // New-York, AIP press, 1994, P-149−202.
  47. Jobert N. Mantle wave propagation anomalies on laterally heterogeneous global models of the Earth by Gaussian beam synthesis // Ann. Geophys., 1986, Vol. 4, p. 261−270.
  48. Jobert N. Mantle wave deviations from «pure-path» propagation on aspherical models of the. Earth by Gaussian beam waveform synthesis // Phys. Earth Planet Int., 1987, Vol. 47, p. 263−266.
  49. Katchalov A. P., Popov M. M. Application of the Gaussian beam method to elasticity theory // Geophys. J. R. astr. Soc., 1985, Vol. 81, p. 205−214.
  50. Katchalov A. P., Popov M. M. Gaussian beam methods and theoretical seismograms // Geophysical Journal, 1988, vol. 93, P- 465"475
  51. Klimes L. Hermite-Gaussian beams in inhomogeneous elastic media // Studia geoph. et geod., 1983, vol. 27, p. 354−365
  52. Klimes L. The relation between Gaussian beams and Maslov asymptotic theory // Studia geoph. et geod., 1984, vol. 28, p. 237−247
  53. Klimes L. The Discretization error for the superposition of Gaussian beams // Geophys. J. R. astr. Soc., 1986, vol. 86, p. 531−551.
  54. Klimes L. Gaussian Packets in the computation of seismic wave fields // Geophys. J. R. astr. Soc., 1989a, vol. 99, P- 421−433
  55. Klimes L. Optimization of the shape of Gaussian beams of a fixed length // Studia geoph. et geod., 1989b, vol. 33, P-146−163.
  56. J., (Serveny V. Numerical modeling of time-harmonic seismic wave fields in simple structures by the Gaussian beam method. Part I. // Studia geoph. et geod., 1984a, Vol. 28, p. 19−35
  57. Madariaga & Papadimitiou Gaussian beam modeling of upper mantle phases // Ann. Geophys., 1985, Vol. 3, P- 799−812.
  58. Nowack R., Aki K. The 2D Gaussian beam synthetic method: testing and application // Geophys. J. R astr. Soc., 1984, vol. 89, p. 1466−1494.
  59. Nowack R. Calculation of synthetic seismograms with Gaussian beams // Pure appl. geophys., 2003, Vol. 160, p. 487−507.
  60. Panza G. F. Synthetic seismograms: the Rayleigh waves modal summation //J. Geophys., 1985, Vol. 58, p. 125−146.
  61. Panza G. Romanelli F. Yanovskaya T. B. Synthetic tsunami mareograms for realistic oceanic models // Geophys. J. Int., 2000, Vol. 141, p. 498−508. Popov M. M. Ray theory and Gaussian beam for Geophysicists // EDUFBA, Salvador-Bahia, 2002,158 p.
  62. Popov M. M., Psencik I, Ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces // Geofisikalni sbornik XXTV, 1976, p. 111−128.
  63. Popov M. M., Psencik I. Computation of ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces // Studia geoph. et geod., 1978, vol. 22, p. 248−258. Popov M. M., Semtchenok N. M., Popov P. M., Verdel A. R. Depth migration by the
  64. Gaussian beam summation method // Geophysics, 2010, Vol. 75, No. 2, p. 81 93.
  65. Porter M. B., Bucker H. P. Gaussian beams tracing for computing ocean acoustic fields // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, Vol. 82, p. 1349−1359.
  66. Romanelli F., Magrin A. Pivate science message // 2010, 2 p.
  67. Seldguchi S. Amplitude distribution of seismic waves for laterally heterogeneous structures including a subducting Slab // Geophys. J. Int., Vol. 111, p. 448−464.
  68. Sutton G. R. The effect of velocity variations on the beam width of seismic wave // Geophysics, 1984, Vol. 49, p. 1649−1652.
  69. Tappert F. D. The parabolic approximation method // Wave propagation and underwater acoustics, Lecture Notes in Physics, 1977, Vol. 70. p. 224−287.
  70. Weber M. Computation of body-wave seismograms in absorbing 2D media using the Gaussian beam method: comparison with exact methods // Geophysical Journal, 1988a, Vol. 92, p. 9−24.
  71. Weber M. Application of the Gaussian beam method in refraction seismology // Geophys. J., 1988b, Vol. 92, p. 25−31.
  72. Weber M. Subduction Zones their influence on traveltimes and amplitudes of P-waves // Geophys. J. Int., 1990, Vol. 101, p. 529−210.
  73. Weber M. P-wave and S-wave reflections from anomalies in the lower most mantle // Geophys. J. Int., 1993, Vol. 115, p. 183−210.
  74. White B. S., Norris A., Bayliss A., Burridge R. Some remarks on the Gaussian beam summation method // Geophys. J. R. astr. Soc., 19S7, Vol. 89, p. 579−636.
  75. Yomogida K. Gaussian beams for surface waves in laterally slowly-varying media // Geophys. J. R. astr. Soc., Research note, 1985, vol. 82, p. 511−533.
  76. Yomogida K. Gaussian beams for surface waves in transversely isotropic media // Geophys. J. R. astr. Soc., Research note, 1987, vol. 88, p. 297−304.
  77. Yomogida K. Aki K. Waveform synthesis of surface waves in a laterally heterogeneous Earth by the Gaussian beam method //J. Geophys. Res., 1985, Vol. 88, p. 161−204.
  78. Yomogida K. Aki K. Amplitude and phase data inversion for phase velocity anomalies in the Pacific ocean basin // Geophys. J. R. astr. Soc., 1987, Vol. 88, p. 161−204.
  79. V. Гейер MA. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчёта теоретических сейсмограмм.// Тезисы VII международной научно-практической конференции молодых специалистов «Геофизика 2009», С. Петербург, 2009, с. 20−23
  80. VI. Яновская Т. Б., Гейер МЛ., Численный метод расчета поля поверхностной волны при наличии каустик // Физика Земли, 2007, № 8, с.35−43
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?