Метод проективных неравенств и совершенные формы

§ 0. Краткая характеристика работы.

Настоящая работа непосредственно связана с проблемой разыскания плотней ших решетчатых упаковок равных шаров в евклидовом пространстве.

В общем виде (когда все центры шаров упаковки не обязательно образуют точечную решетку) эта проблема была поставлена Кеплером в его трактате «О шестиугольных снежинках» (рассматривался плоский и трехмерный случаи). На данный момент общая проблема упаковки шаров решена лишь для плоского случая. В трехмерном случае она до сих пор остается открытой.

Напротив, проблема плотнейших решетчатых упаковок шаров («решетчатая проблема») решена до размерности п< 8, здесь основные результаты принадлежат Лагранжу, Гауссу, Коркину, Золотареву, Вороному, Барнсу, Блихфельдту и Ветчинкину.

Впервые конечный алгоритм решения решетчатой проблемы для любого п (на языке положительно определенных квадратичных форм (ПКФ)) был получен Вороным. Им было введено понятие совершенной (квадратичной) формы, далее было доказано, что каждая «плотнейшая», т. е. дающая решетку плотнейшей упаковки, форма является совершенной и то, что совершенных форм с точностью до эквивалентности конечное число. Алгоритм Вороного заключается в некотором правиле перебора конечных граней максимальной размерности так называемого «совершенного полиэдра Вороного» (полиэдра П (и)). Каждой такой грани естественно ставится во взаимно однозначное соответствие ПКФ, которая оказывается совершенной. Существо алгоритма заключается в переходе от одной известной («первой») совершенной грани ко всем граням, смежным с исходной по гиперграням («стенкам»). Множество всех совершенных граней (форм), смежных с исходной и рассматриваемых с точностью до эквивалентности, называется окрестностью Вороного исходной формы. На очередном шаге алгорима Вороного, для каждой новой формы из окрестности исходной, отыскивается ее окрестность и т. д. Алгоритм Вороного заканчивается, когда для каждой из найденных на очередном шаге совершенных форм найдется эквивалентная ей форма, полученная на каком-либо из предыдущих шагов.

К настоящему времени алгоритм Вороного полностью проведен для всех п < 8. Для п < 5 он был проведен самим Вороным. Оказалось, что для п = 2,3,4,5 с точностью до эквивалентности существует, соответственно 1,1,2 и 3 совершенные формы. Кроме этого, для любых размерностей п > 6 Вороной провел первые два шага своего общего алгоритма. На втором шаге он полностью описал строение «второй» совершенной грани и для любых размерностей нашел одну из форм из окрестности второй грани — так называемую третью совершенную форму (отвечающую «большой стенке»). Однако он не стал перечислять все ее минимальные векторы и проводить третий шаг своего алгоритма.

В дальнейшем, другими авторами было показано, что совершенных форм существует всего: при «= 6 — семь, при п-1 — тридцать три. В 2000 году французские математики объявили,' что провели алгоритм Вороного (с использованием ЭВМ) для п = 8 и получили более миллиона попарно неэквивалентных совершенных форм. На следующем шаге, начиная с /7 = 9, проведение алгоритма Вороного для полиэдра П (и), оказалось трудно выполнимыми.

Основной целью диссертационной работы является развитие методов, позволяющих для любых размерностей преодолевать вычислительные сложности в задачах ПКФ, и применение этих методов для проведения третьего шага общего алгоритма Вороного для п>9. Это удалось сделать для всех размерностей вида п .

Работа состоит из четырех глав и Приложения.

§ 12.

Заключение

.

В работе [3] Г. Ф. Вороной построил теорию совершенных форм. Он доказал, что в каждой размерности п > 2 существует лишь конечное число классов эквивалентности таких форм. Для «= 2,3,4,5 он перечислил все классы совершенных форм, которых оказалось, соответственно 1,1,2 и 5. В дальнейшем, все совершенные формы были перечислены: для /7 = 6 — в [13] - их оказалось 7- для «= 7 — в[14]-их оказалось 33. Известно также, что все совершенные формы перечислены и для и = 8, где их оказалось около одного миллиона.

Кроме исследований для п < 6, Вороной для всех размерностей п > 6 провел первые два шага своего общего алгоритма по перечислению совершенных форм. А именно, 6н конструктивно описал строение первой и второй совершенных граней, отвечающих формам <�р^0п) и (рп). То есть для каждой размерности Вороной исследовал всего лишь по две формы. С учетом того обстоятельства, что уже для /7 = 8 количество совершенных форм оказалось очень большим, «результаты Вороного в [3] могли быть восприняты как «малая часть от общего объема». Это также дало основания считать, что в отношении практических вычислений, Вороной реализовал свой алгоритм «лишь в £-окрестности второй совершенной грани».

Наши исследования приводят к следующим выводам.

1. Результаты Вороного относительно строения второй совершенной грани один-в-один приложимы к исследованию и других совершенных граней (например, и Т&bdquo-).

2. Описание строения других совершенных граней удается сводить к результатам Вороного о строении второй совершенной грани.

Эти наблюдения подводят нас к следующему взгляду на результаты Вороного об окрестности второй совершенной формы, которые диаметрально противоположны тому взгляду, что это «лишь в сокрестности». И мы ставим следующий, важный с нашей точки зрения.

Вопрос. А не есть ли результаты Вороного о строении второй совершенной грани «вся теория целиком»?

В стремлении получить ответ на этот вопрос, мы предпринимаем дальнейшие исследования.